2022年河南省顶级名校高考数学全真模拟试卷（文科）（5月份）（附答案详解）

2022年河南省顶级名校高考数学全真模拟试卷（文科）（5

月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合时=国^+1<0｝，N=｛x|*注｝，则MnN=（）

A.[0,1]B.[0,1）C,（l,4-oo）D.（—8,1]

2.设z=1+i,则（）

A.|z+1|=2B.|=1—iC.z2=—2iD.z•z=2

3.从四个连续的自然数中随机选取两个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（）

A.1B.|C.|

4.下列函数中，既是奇函数又是单调函数的是（）

A.y=xsinxB.y=%4-sinxC.y=xtanxD.y=x+tanx

5.设a,夕为两个平面，则al/?的充要条件是（）

A.a,/?平行于同一个平面

B.a,夕垂直于同一个平面

C.a内一条直线垂直于£内一条直线

D.a内存在一条直线垂直于£

6.已知a=0.22,%=3。汽c=log40.4,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

y<x

7.设％,y满足约束条件％+yN1,贝M=-x+2y的最大值为（）

2x-y<2

A.2B.3C.4D.5

8.已知椭圆C：||+3=l（a>b>0）的左、右焦点分别为居，F2,4为C上一点，且

FrF2-AF2=0>若tan乙4&F2=V，则C的离心率为（）

A.IB.更C.ID.匹

3355

9.设市方为两个互相垂直的单位向量，贝IJ（）

A.\a+b\=2B.\2a+b\=3\2a-b\

C.（2a+K）1（a-2b）D.a-（2a+b）=b­（,2a+b）

10.下列方程中，圆G：/一2x+y?=0与圆C2：4/+4y2=9的公切线方程是（）

A.%+V3y4-3=0B.x4-V3y—3=0

C.V3x+y+3=0D.V3x—y-3=0

11.记％为等差数列｛册｝的前九项和，且S4=S6=o,贝K)

A.%=0B.。4+。6<0C.S10=0D.S2+Sn<0

12.已知函数/(%)=/一3%2一攵在区间(o,3)存在零点，则k的取值范围是()

A.0)B.[-4,+8)C.(—4,0]D.[—4,0)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.双曲线/+q=1的焦距为.

14.已知等比数列｛即｝为递增数列，且&3=-3,。5=-1，则｛即｝的公比是.

15.函数/（x）=铲一2>i+3在（―8,勺的值域为.

16.球。的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展

开图的圆心角大小为,球。的体积与圆锥M的体积的比值为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.△4BC满足sinAcosB+百siMB=百，C=p

⑴求4

（2）若。为边8C上一点，目2BD=CD=2,求AD.

18.某商场记录了一周7天的客流量，整理得到下表:

日期周一周二周周四周五周六周日

日客流量（万

0.60.50.60.60.81.81.4

人）

（1）商场计划在下周开展一项优惠活动，并设计了两个方案：

方案一：以天为单位，每天随机抽选100位当天到访顾客发放优惠券;

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方案二：以周为单位，每周随机抽选700位当周到访顾客发放优惠券.

参考上面表格记录的客流量，你认为这两个方案哪一个更合理？说明理由;

(2)若这周商场收到了一封当天顾客写给商场的感谢信，求这封感谢信是周六收到

的概率；

(3)为了调研顾客在商场驻留时间，随访了男、女顾客各50人，得到如下列联表:

驻留时间少于1小时驻留时间不少于1小时

男顾客3515

女顾客2030

能否有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关?

nCad-bc)2

附：2

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

P(K2>fco)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BCD是正方形，顶点P在底面ABC。的射影是

正方形力BCD的中心，E为PC的中点.

(1)证明：PA〃平面BOE；

(2)若△PAB是边长为2的等边三角形，求点4到平面BDE的距离.

P

20.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,过户的直线/交C于A,B两点.

(1)当I的倾斜角为3时,若依尸|>|8尸|,求|4F|-2|BF|；

(2)设点P(4,0),且P4J.PB,求珀勺方程.

21.已知函数/'(x)=2ex-x-2,g(x)=x(l—Znx).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明：g(x)<1；

(3)设a,b为正数，且f(a)=b,证明：?<1哈

%=t--

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,；(t为参数).以坐标原点。为

y=£+；+1

极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为p(sin。cos。)=

1.

(1)求C和I的直角坐标方程;

(2)求C上的点到/距离的最小值.

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设a,b为正数，且a+b=l.证明:

(l)aVd+by/a.<y；

(2)(a2+b)(%2+a)>a2.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•.・M={x|±SO}={x|OSx<1},/V={x|2^<2}=[x|x<l},

；.MCN=[0,1).

故选:B.

求出集合M,N,然后进行交集的运算即可.

本题考查了分式不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，

属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：对于选项4忆+1|=|2+4=a7不芋=花，即选项4错误；

对于选项8,工=白=；一]，即选项8错误；

zl+l22

对于选项C,z2=(l+i)2=2i,即选项C错误；

对于选项。，zz=|l+i|2=l2+l2=2,即选项。正确，

故选：D.

由复数的运算，结合复数模的运算求解即可.

本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题.

3.【答案】A

【解析[解：因为四个连续的自然数中一定有2个奇数和2个偶数，所以两数之和为偶数

21

的概率为西=;.

故选：A.

四个连续的自然数中一定有2个奇数和2个偶数，以此可解决此题.

本题考查古典概型应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题.

4.【答案】B

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【解析】解：因为y=x,y=tanx,y=sbix均为定义域上的奇函数，

对于/：y=xsi/ix是偶函数，所以A错误；

对于8：y=%+sinx是奇函数，且y=1+cosx20,为单调递增函数，所以3正确；

对于C：y="anx是偶函数，所以。错误；

对于D：y=%+tern%是奇函数，当x=3时，x+tanx=4-1,当x=］时，无意义，

当x=?时，x+tanx=^-l,不是单调函数，所以。错误；

44

故选:B.

分析函数的定义域，以及根据奇偶函数的定义判断，判定是否满足函数是奇函数，排除

4、C,再借助导函数判定单调性.

本题考查函数的性质，考查学生的分析能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：a,0平行于同一个平面时，则。〃0,故A错误；

a，。垂直于同一个平面时，a,。可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，

故B错误；

a内一笥直线垂直于£内一条直线，a,夕可能垂直，也可能相互平移地，也可能相交但

不垂直，故C错误；

a内一条直线垂直于0,则al£,反之也成立，故D正确.

故选：D.

由面面关系及面面垂直的判定方法依次判断4个选项即可.

本题考查面面垂直的充要条件的判断，考查面面垂直的判定与性质等基础知识，考查推

理论证能力，是中档题.

6.【答案】C

【解析】解：：a=0.22=0.04,

b=30-3>3°=1,

c=log40.4<log4l=0,

■■■c<a<b,

故选：C.

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查三个数大小的求法，注意对数函数和指数函数性质的合理运用.

7.【答案】4

大,

z有最大值为2.

故选：A.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

8.【答案】4

【解析】解：瓦瓦・丽=0=F/21AF2,

设C的半焦距为c,则tan/4&尸2=翳=2，

贝1JMF2I=5m,|F1F2|—12m=2c,c=6m,=13m,

由椭圆定义可知MF/+\AF2\=2a,则Q=9m,

所以离心率e=£=署=|.

a9m3

故选：A.

由已知，&尸21AF2,tan^AF1F2=V，可设NF2I=5m,则|招尸2|=12m=2c,然后根

据勾股定理表示出=13m,然后再利用椭圆的定义表示出a,m之间的关系，代入

到离心率中即可完成求解.

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本题考查了椭圆离心率的计算，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：由己知可得|不=1,|K|=1,a-b=o,

对4|日+方|=J|a+K|2=J|a|2+\b\2+2a-b=®,故4错误；

对B：同理求得|2Z+方|=遍，2|2五一9|=2V5.即|2一+方|#2|2五-31，故8错误；

对C：（2方+石）•（百一2万）=2|五「一3小另一2|方『=0,即（2百+石）1（行一2方），故C

正确；

对。：a­（2a+b）=2\a\2+a-b=2,b-（2a+b）=2b-a+\b\2=1，

即五•（2五+5）*大（2五+5），故。错误，

故选：C.

利用平面向量的运算法则求解即可.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，向量模的求解，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：圆C"M-2%+y2=o的圆心（1,0）半径为1,圆。2：4/+4y2=9的圆

心（0,0）,半径为：|,

两个圆相交，设圆G与圆C2的公切线的方程为：y=kx+b,

[-4=—|（b=—1（b=-1

可得儒，解得k=一立或八=立

公切线方程：x+V3y+3=0或％—V3y+3=0.

故选：A.

利用圆系方程求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解即可.

本题考查两个圆的位置关系的应用，切线方程的求法，考查计算能力.

11.【答案】C

【解析】解：・・・S4=S6H0，•・.。5+06=°，

,,・密。。，否则=。，d=0,可得Qn=0,矛盾.

即2al+9d=0,

a4+a6=2al+8d=—dH0,—d可能大于0,也可能小于0.

・・

•Si。=5（a5+。6）=0,

S2+Sil=2a1+d+lla1+^pd=-l(i,则一|d可能大于0,也可能小于0.

综上只有C正确.

故选：C.

由54=5600,可得&5+。6=0,可得2a1+9d=0,d#0,再利用通项公式与求和

公式即可得出结论.

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：•.•函数/(%)=%3-3M_k在区间(0,3)存在零点，

即y=k与g(x)=x3-3/在区间(0,3)存在交点，

g'(x)-3x2-6x=3x(x—2),

•••0<x<2时，g'(x)<0,g(x)递减，

2cx<3时，g'(x)>0,g(x)递增，

又g(0)=0,g(2)=-4,g(3)=0,

-4<fc<0,

故选：D.

把问题转化为y=k与g(x)=x3-3/在区间(0,3)存在交点，研究g(x)=x3-3/在

(0,3)上的值域即可求解结论.

本题考查了函数的零点与方程的根的关系以及转化思想的应用，属于基础题.

13.【答案】2V2

【解析】解：因为；1>4一2,所以a2=4>0,b2=2-2.>0,

所以c?=a2+b2=A+2—A=2,解得c=V2,

所以该双曲线的焦距为2c=2V2.

故答案为：2a.

由4>4—2,可得。2=4>0,b2=2—A>0,从而即可求解.

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本题考查了双曲线的焦距，属于基础题.

14.【答案】更

3

【解析】解：•••等比数列｛即｝为递增数列，且a3=-3,a5=-l,

.“2一as一1

"q

...q='或q=-白(舍去)，

故答案为：叵.

3

由题意可知q2=结合数列｛a“｝为递增数列求解即可.

本题考查了等比数列的性质的应用，属于基础题.

15.【答案】[2,3)

【解析】解：函数/(0=钎一2'+1+3=(2丫-1)2+2,在(一8,刍上，2xe(0,V2],

当％=0时，f(x)取得最小值为2,

当x趋于-8时，2*趋于0,函数/(x)趋于3,

故f(x)的值域为[2,3),

故答案为:[2,3).

由题意，利用指数函数的性质，二次函数的性质，求得/(x)的值域.

本题主要考查二次函数、指数函数的性质，属于基础题.

16.【答案】yV2

【解析】解：设球。的半径及圆锥M的底面半径均为R,圆锥M的母线长为，，

则4兀/?2=兀/?2+兀比，所以/=3R,

圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为半=Y；

球。的体积为萼，圆锥的的高h=VPR=2鱼R，

圆锥M的体积为上兀/?2.2&R=出生，

33

所以球。的体积与圆锥M的体积的比值为近.

故答案为：号,应.

设球。的半径及圆锥M的底面半径均为R,圆锥”的母线长为I,再根据球与圆锥的表面

积公式求得1=3R,即可得圆锥M的侧面展开图的圆心角大小；根据勾股定理求得h=

2近R，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可

本题考查了球和圆锥体积的计算，属于中档题.

17.【答案】解：⑴根据题意sin4cosB=V5(l—siMB)=75cos

当cosB=0时，B=三,此时A=兀—8—C=/；

26

当cosB。0时，贝iJsizM=V3cosB=>/3cos(y-4)=—ycosA+gs出A,

所以三sinzl——cosA=sin(A—£)=0,

22'3，

因为OVAV拳所以4=全

综上4=｝或4=g.

o3

(2)BC=BD+CD=3,

由(1)可知，当B=],NBAC屋时，AB=BC-tanC=3V3,

所以4c=y/AB2+BD2=2夕；

由(1)可知，当NB4c=g时，B=pAB=BC=3,

由余弦定理可知A。？=AB2+BD2_2AB-BD-cosB=9+l-2x3xlx[=7,

所以4。=V7.

【解析】(1)由题意可求sin4cosB=gcos2B,分类讨论，利用三角函数恒等变换即可

求解.

(2)由题意解三角形可求4B,40的值，进而根据余弦定理即可求解.

本题考查了三角函数恒等变换，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和分类

讨论思想，属于中档题.

18.【答案】解：(1)方案二更合理.

理由：周六、周日两日的单日平均客流量为1.6万人，而周一到周五的单日平均客流量

仅为0.62万人，为周六、周日单日平均客流量的号=38.75%,

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如果选择方案一，那么顾客在周六、周日两天平均被抽选到的概率仅为周一到周五平均

被抽选到的概率的38.75%,因此选择方案二更合理.

L82

(2)感涉信发生在周六的概率为?

0.6+0.5+0.6+0.6+0.8+1.84-1.47

(3)根据列联表可知：a—35,b—15,c—20,d=30,a+b=c+d=50,Q+c=55,

b+d=45,ri=a+b+c+d=100,

所以K2TI(ad-be)2X9.09>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

故有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关.

【解析】(1)根据一周7天的客流量的不均匀性，可得结论；

(2)利用古典概型概率公式即得；

(3)利用公式可得K2,即得.

本题考查了古典概型的概率计算以及独立性检验，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：连接AC,交BD于0,连接OE,

四边形4BCD是正方体，二。平行4C,即04=OC,

•••E为PC的中点，,OE为△P4C的中位线，OE//PA,

■：OEu平面BDE,PAC平面80E,尸力//平面BDE.

(2)由(1)可知，点4到平面BOE的距离等于点P到平面BOE的距离，

•••△P4B是等边三角形，且顶点P在底面4BCD的射影是正方形力BCD的中心,

PCD也是等边三角形，

PC1BE,PC1DE,

•••BE,OE是平面BOE内两相交直线，

PC，平面BDE,

••PE的长即为点P至U平面BDE的距离，

vPC=2,：.PE=1,

二点4到平面BOE的距离为1.

【解析】(1)连接AC,交BD于点。，由E为PC的中点，得到。E〃P4再利用线面平行

的判定定理能证明P4〃平面BDE；

(2)由(1)得点4到平面的距离等于点P到平面的距离，再证明PCJ■平面BOE,能求出点4

到平面BDE的距离.

本题考查线面平行、线垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解

能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)由抛物线C：y2=4x的方程可得：焦点F(l,0),

由题意可得直线，的斜率k=tan45°=1,

所以直线I的方程为x=y+L设4(%,%),B(x2,y2),由用>出用,可得%>冷，

联立整理可得y2—4y-4=0,可得、=型若亘=2±2伤

所以％=y+1=3±2V2,

所以可知与=3+2&，x2=3-2V2,

由抛物线的性质可得|4F|=/+1=3+2夜+1=4+2近，\BF\=x2+l=3-

2V2+1=4-2A/2.

所以用一2\BF\=4+2V2-2(4-2V2)=6V2-4;

(2)显然直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x=my+1,设4(与,％),B(x2,y2),

联立｛；2>整理可得y2-4my-4=°,可知%+y2=4m，乃丫2=-4；

因为点P(4,0),且PA1PB,所以可•而=0，

即(与-4/1)•(X2-4,y2)=0=Qi-4)(x2-4)+yry2=0=»(my[+1—4)(my2+

22

1—4)4-yty2=0=(1+m)y1y2—3m(yt+y2)+9=0=—4•(1+m)—3m-

4m+9=0,

解得病=[所以n=+更，

16-47

所以直线/的方程为x=土乎y+1，BP4x+y/15y—1=0.

【解析】(1)由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由直线，的倾斜角可得直线，的斜率，设

直线1的方程，与抛物线的方程，可得4B的坐标，由抛物线的性质可得|4F|,田?|的

值,进而可得MF|-2|BF|的值;

(2)设直线珀勺方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由PA1PB,可

得数量积同•而=0,求出数量积的表达式，将两根之和及两根之积代入，可得参数m

的值，进而求出直线I的方程.

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本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，直线方程的求法，属于中档

题.

21.【答案】(1)解：因为/(x)=2靖一%-2,

所以/'(%)=2e*—1,令/'(x)=0,则％=—。2,

当x<Tn2时,f'(x)<0,即f(〈的单调递减区间为(-8,-m2),

当x>Tn2时,/'(X)>0,即/(x)的单调递增区间为(一)2,+8).

(2)证明：因为g(x)=x(l-Inx)定义域为(0,+8),

所以g'(x)=Tnx,令g'(x)=0,贝!|x=1,

当0<x<l时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以当％=1时函数取得极大值及最大值，

所以g(x)<g(l)=1.

(3)证明：由(2)可知其1-1吟w1,

所以In22平，

所以若《<匕，即a+a2<b,则贮<In2

bbba

因为/(Q)=b,即2e。-a—2=b

a

故只需证明/(a)=2e-Q—2>Q+Q2,

即证2e“一2a—Q?—2>0.

设/i(%)=2ex—2x—x2—2,则h'(%)=2ex—2—2%,

设3(%)=hz(x)=2ex—2—2x,

则当%>。时,(p(x)=2ex-2>0,?(%)在(0,+8)单调递增,

所以当%>0时，h!(x)=<p(x)><p(0)=0,九(%)在(0,+8)单调递增,

所以当%>0时，九(%)>/i(0)=0,即2靖—2%—%2—2>0,

综上，若/(a)=b,则?<1吟

【解析】(1)求出函数