2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展五：圆的方程大题专项训练(40道)(解析版)

拓展五：圆的方程大题专项训练(40道)

善,高频考点

N©考点精析________________________________________________

类型一圆的切线问题(5道)

1.(2022•广东汕尾•高二期末)已知圆C过两点A(-2,0),3(2,4),且圆心C在直线2x-y-4=0上.

⑴求圆C的方程；

⑵过点P(6,4g)作圆C的切线，求切线方程.

【答案】⑴/+4X-12=0.(或标准形式(X-2)2+/=16)

(2)x=6或x-耳y+6=0

【解题思路】(1)根据题意，求出AB的中垂线方程，与直线2x-y-4=0联立，可得圆心C的坐标，求出

圆的半径，即可得答案：

(2)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案.

【解题过程】(1)

解：根据题意，因为圆C过两点4-2,0),8(2,4),设A8的中点为M,则MQ2),

因为",=占冬=1,所以A8的中垂线方程为广2=《-0),即y=2-x

|y2I2

又因为圆心在直线2x-y-4=0上，联立:一")八，解得一八，所以圆心。(2,0),半径一=忸。|=4,

[2x-y-4=0=°

故圆的方程为(x-2)2+y2=i6,

(2)

解：当过点尸的切线的斜率不存在时，此时直线x=6与圆C相切

当过点。的切线斜率A存在时，设切线方程为y-4G=Z(x-6)即fcc-y+4百-6Z=0(*)

由圆心C到切线的距离卜"一叫=“可得k=①

5/F7T3

将上=#代入(*),得切线方程为x-7^+6=()

综上，所求切线方程为x=6或x-6)，+6=()

2.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高二期末)已知点M(l,3),圆C：(X-2)2+(>'+1)2=4,/：x+y+4=0.

(1)若直线过点且被圆C截得的弦长为2石，求该直线的方程；

⑵设尸为已知直线/上的动点，过点尸向圆C作一条切线，切点为Q,求归。|的最小值.

【答案】⑴x=l或15x+8)-39=0

⑵典

2

【解题思路】(1)求出圆C的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；

(2)由题意可知当|PQI最小时，CP连线与已知直线/垂直，求出|色，再利用|尸0|=J|CP|2-。计算即可.

【解题过程】(1)

由题意可知圆C的圆心到直线的距离为也一行=1

①当直线斜率不存在时，圆C的圆心到直线距离为1,满足题意；

②当直线斜率存在时，设过"(1,3)的直线方程为：)，-3=A(x-l),即日-y+3-Z=O

\2k+l+3-k\_解得人=-£综上，过河(1，3)的直线方程为x=l或

由点到直线距离公式列方程得:

42+1O

15x4-8^-39=0.

(2)

由题意可知当IPQI最小时，CP连线与已知直线/垂直,

■•.|CP|=匕11+，=乎由勾股定理知：\PQ\=yl\CP\2-22=、件-4=手,

2V42

所以IP。I的最小值为叵.

2

3.(2022•贵州遵义•高二期末(文))在平面直角坐标系中，光线/过点A(-2,1),经工轴反射后与圆。：

(x-2『+(y-3)2=4有交点

(1)当反射后光线经过圆心。，求光线/的方程;

(2)当反射后光线与圆。相切，求光线/的方程.

【答案】⑴%+y+i=。

⑵y_]=_4^^(x+2)或y_]=_4+J

x+2)

【解题思路】(1)求出点A关于x轴对称的点为A,由光线的折射性质，反射光线经过圆心，由K“A=K。*,

代入可求出光线/的斜率，即可求出光线/的方程;

(2)设反射光线方程为y+1=%(x+2),由反射后光线与圆。相切可求出3即可求出光线/的方程.

【解题过程】(1)

点A(-2,1)关于x轴对称的点为4(-2,-1),由光线的折射性质，反射光线经过圆心0(2,3),所以=K°A，

易知K°A，=15m=1'所以%A=-1，

所以光线/的方程为x+y+i=o.

(2)

设经过A'(-2,-l)的直线方程为y+l=Z(x+2)由于折射光线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即4=华粤=2,

V1+F

化简得：3/_8左+3=0,解得&=或

33

所光线/的方程为y-l=-^^(x+2)或y-l=-^^(x+2).

4.(2022•上海徐汇•高二期末)已知M(2,l)是圆0：/+丁=4外一点.

⑴过M作圆。的切线/,求切线/的方程；

(2)过M任意作一条割线，交圆。于AB两点，求弦AB的中点C的轨迹方程.

【答案】(l)x=2和3x+4y—10=0

(2)x2+y2-2x-y=0(在圆。:d+丁=4内部)

【解题思路】(D根据切线斜率存在和不存在分类讨论可得；

(2)由圆性质得OC_LAB,C点在以QM为直径的圆上，求出圆的方程可得结论.

【解题过程】(1)

圆。的圆心是原点，半径是2,

过M且斜率不存在的直线是x=2与圆。相切，

当过”的切线斜率存在时，设切线方程为>T=4x-2),即履-y+l-2k=0,

由号望=2,解得k=一],

42+14

所以切线方程为一：3x—y+l—2x(—3)=。，即3x+4y—10=0,

44

所以切线方程为x=2和3x+4y-10=0；

(2)

C是AB中点，则OC_L48,即OCLCM,所以C点在以。例为直径的圆上，

O历中点坐标为(1,；),\OM\=y]22+\2=y/5,

所以以OM为直径的圆方程为(x-1)?+()，-1)2=净2,即炉+9一2x-y=0,

所以C点轨迹方程为/+丫2-2犬->=0(在圆。:炉+丫^二^^内部).

5.(2022•广东•红岭中学高二期末)已知圆C的方程为：x2+y2-2mx-4y+6m-9=0(we/?).

(1)求，”的值，使圆C的周长最小；

(2)过“1,-2)作直线/,使/与满足(1)中条件的圆C相切，求/的方程，并求切线段的长.

【答案】(1)加=3

⑵直线方程为x=l或3x-4y-ll=0,切线段长度为4

【解题思路】(1)先求圆的标准方程(x-m)2+(y-2)2=(机-3)2+4,由半径最小则周长最小；(2)由m=3,

则圆的方程为：(x-3)2+(y-2)2=4,直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x轴垂直和直

线与x轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.

【解题过程】(1)

x2+y2-2mx-4y+6m-9=0,

配方得：(x-ni)2+(y-2)2=(m-3)2+4,

当〃?=3时，圆C的半径有最小值2,此时圆的周长最小.

(2)

由⑴得，机=3,圆的方程为：(x-3y+(y-2)2=4.

当直线与》轴垂直时，x=l,此时直线与圆相切，符合条件;

当直线与X轴不垂直时，设为y=4x-l）-2,

\2k-2-2\3

由直线与圆相切得：।/,1=2,解得及=:,

y/k2+l4

311

所以切线方程为y=—即3尤-4y—11=（）.

44

综上，直线方程为x=l或版-4-11=0.

圆心与点P的距离d=J（1-3『+（-2-2）2=2石，

则切线长度为J（2石4=4

类型二圆的弦长问题（7道）

6.（2022•重庆长寿•高二期末）在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A（0,0）,以-2,0）,

C（-3,-3）.

⑴求BC边上的中线AD的所在直线方程；

（2）求4ABC的外接圆。被直线/:x-y+1=0截得的弦长.

【答案】（l）3x—5y=0

（2）273

【解题思路】（D先求8c边的中点。的坐标，再得的斜率即可求解；

（2）先求AABC的外接圆O,再求圆心到直线.直线/的距离，再由勾股定理可求解.

【解题过程】（l）TB（-2,0）,C（-3,-3）

.•.8C边的中点D的坐标为

---0R

二中线AO的斜率为T—=9,

---05

2

3

二中线AO的直线方程为：y-0=j（x-0）,即3x-5y=0

⑵

22

设△ABC的外接圆O的方程为x+y+DX+Ey+F=0,

B、C三点在圆上，

F=0

4-2D+F=0

9+9-3D-3E+F=0

D=2

解得：E=4

F=0

A外接圆O的方程为f+丁+2x+4y=0,gp(x+1)2+(y+2)2=5,

其中圆心。为(T-2),半径y石，

I-1—(-2)+111—

又圆心O到直线l的距离为d=\=V2,

3+(T)

被截得的弦长的一半为它方=x/3，

二被截得的弦长为26.

7.(2022•广东深圳•高二期末)已知圆C：一+/-2奴+2y+4a-4=0的半径为1.

⑴求实数。的值；

⑵判断直线/：%-丫-2=0与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长.

【答案】⑴a=2；

⑵直线/与圆C相交，夜.

【解题思路】Q)利用配方法进行求解即可；

(2)根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.【解题过程】(1)

将k+y--2ax+1y+4a-4=0化为标准方程得：

(x-a)2+(y+l)2=(a-2)2+1.

因为圆C的半径为1,所以(a-2y+l=l,得a=2.

(2)

由(1)知圆C的圆心为(2,-1),半径为1.

设圆心C到直线/的距离为d,则”」2+；2|=正＜],

V22

所以直线,与圆C相交，设其交点为A,B,则慎却=21/克]=72,即|A3|=0.

8.（2022•贵州•六盘水市第五中学高二期末）已知圆C:/+y2-6x-4y+4=（）.

（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为M（2,3）,求该直线的方程；

（2）设直线/：y=x+〃?与圆C交于A,8两点，把△CAB的面积S表示为，"的函数，并求S的最大值.

【答案】（l）y=x+l

⑵S=x与?，卜30-1<〃?<3夜-1,机工-1），最大值为|・

【解题思路】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，

利用基本不等式求出△C4B的面积S的最大值.

【解题过程】（1）

圆C:/+丁-6x-4y+4=0化为标准方程为：（x—37+（y-=9.

则%=1~^=-L

乙一3

设所求的直线为"八由圆的几何性质可知：k,„-kCM=-1,所以&=1,

所以所求的直线为：y-3=14-2）,即y=x+i.

（2）

设圆心C到直线，的距离为d,贝ijd=氏浮L且"）+/=改=9,所以手|

因为直线/：y=x+机与圆C交于4,8两点，所以0<4<3,解得：-30-1〈根<3五一1且加工一1.而△C48

的面积：S=g|AB|xd='-也”xlljd,（-3>/2-l<m<3>/2-l,m^-l）

因为j幽]+/=9

I2J

所以S=3AMX"4（当I]+/=£（其中网=[=迪时等号成立）.

2112[2）222

所以S的最大值为9]

9.（2022•内蒙古赤峰•高二期末（理））圆f+y2=8内有一点P（7,2）,A5为圆的过点尸且倾斜角为a的

弦.

⑴当a=135。时，求|AB|的长;

(2)当弦A8最短时，求直线48的方程.

【答案】⑴回=痴

⑵x-2y+5=0

【解题思路】(1)先求出直线AB的方程，然后求圆心到直线的距离d,再利用圆心距，弦和半径的关系可

求出的长，

(2)由圆的性质可知当P0J.A8时，弦48最短，从而可求出直线48的方程

【解题过程】(1)

直线A8的斜率Z=tana=-1,圆的半径r=20.

则直线A8的点斜式方程为k2=-(x+l),即x+y-l=0.

则圆心(0,0)到直线48的距离4="=变.

A/22

由垂径定理，得［苧］+屋=产，

解得|A8|=闻.

(2)当弦A8最短时，尸为A8的中点，PO1AB

由题意%<L=T,则%=g.

则直线48的点斜式方程为y-2=g(x+l),即x-2y+5=0.

10.(2022•湖北•高二期末)已知圆C：x2+y2-4x=0,直线/恒过点气4,1).

⑴若直线/与圆C相切，求，的方程；

(2)当直线/与圆C相交于A,B两点,且|A8|=2&时，求/的方程.

【答案】(l)x=4或3x+4y-16=0

⑵y=1或4x-3y-13=0

【解题思路】(1)分类讨论直线/的斜率存在与不存在，利用圆心到直线/的距离等于圆的半径计算即可;

(2)由题意知直线/的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.

【解题过程】(1)

由题意可知，圆C的圆心为(2,0),半径厂=2,

①当直线/的斜率不存在时，即/的方程为x=4时，此时直线与圆相切，符合题意；

②当直线/的斜率存在时，设斜率为A,，直线/的方程为丫-1=&。-4),

化为一般式：丘-丫+1-软=0,若直线/与圆相切，

^d=Lrr==2'即1-4Z+必2=4/+4,解得无=),

3

：--x-y+4=0,即/：3x+4y-16=0,

4

综上，当直线，与圆C相切时，直线/的方程为x=4或3x+4y-16=0；

(2)

由题意可知，直线/的斜率一定存在，设斜率为A,

直线1的方程为y-1=Kx-4),即辰—y+1-4%=0,

设圆心到直线/的距离为d,则"=月咨，

5+1

由垂径定理可得，/+(半)2=4,即咬-1)：+3=4,

2公+1

4

整理得，3二—必=0,解得左=0或%=§,

则直线/的方程为'=1或4x-3y-13=0.

11.(2022•重庆•高二期末)已知点〃(2,-1),直线/：or-3y+3=0,圆C:Y+丁+2尤-”+3=0.⑴若连接

点M与圆心C的直线与直线/垂直，求实数”的值；

⑵若直线/与圆C相交于48两点，且弦A8的长为生叵，求实数。的值.

10

【答案】(1)3

⑵实数”的值为1和9

【解题思路】(1)由直线垂直，斜率乘积为-1可得。值；

(2)求出加以到直线/的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值.

【解题过程】(1)

/C:(x+l)2+(y—2)2=2,.・.C(-l,2),.'.^=-1,勺=］，

,/1,LMC>—1)=-1>.".a=3

(2)

圆C半径为正，设圆心C到直线48的距离为d,

化简得:a2-10a+9=0>解得：。=1或a=9

所以实数。的值为1和9.

12.(2022•重庆市青木关中学校高二期末)已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(-3,0),8(-1,2).

(1)求圆C的标准方程；

⑵过P(0,2)斜率为2的直线与圆C相交于M,N,两点，求弦的长.

【答案】(D(x+l『+y2=4

⑵2G

【解题思路】(1)由圆的性质可得圆心在线段的垂直平分线上，由题意求出A3的垂直平分线方程，从

而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.

(2)由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂经定理可得圆的弦长.

【解题过程】⑴由题意设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=，«>0)

设AB的中点为。，则。(-2,1),由圆的性质可得CD

2—0

则j,您8=-1,又^AB一所以ho=T

-1-(-3)

则直线CO的方程为y-l=-(x+2),即y=T-l

则圆C的圆心(。,0)在直线CD上，即()=一〃一1,故a=T

所以圆心C(-l,0),半径r=[4。=2

所以圆C的标准方程为(x+lj+y2=4

(2)

aa

过P(0,2)斜率为(的直线方程为：y=；x+2

圆心C(-1,O)到该直线的距离为"

所以=2yjr2-d2=2>/4^T=2G

类型三圆与圆的位置关系(7道)

13.(2022•江苏镇江•高二期末)圆M经过两点8(0,-2),C(4,0),且圆心在直线x-y=0上.

⑴求圆M的方程；

(2)求圆M与圆N:(x-3)2+V=25的公共弦的长.

【答案】(1)。-1)2+(»-1)2=10

(2)275

，;为,从而可求圆的方

【解题思路】(1)设圆〃的方程为(x-a)2+(y-a)2=，，代入所过的点后可求

程.

(2)利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.

【解题过程】⑴设圆〃的方程为(》-4+()-。)2=巴

Q圆M过B(0,-2),C(4,0),

a2+(-2-a)2=r2J。=1

(4-a)2+a2=r2[r=710'

所以圆M的方程为(x-l)2+(y-l)2=10；

(2)

由圆〃的方程和圆N的方程可得公共弦的方程为：

(x—1)"+(y-1)--10—[(x-3)-+y-_25]=0,

整理得到：2x-y+4=0,

〃到公共弦的距离为左善1=6,

V5

故公共弦的弦长为：2g^=2右.

14.(2022•吉林•梅河口市第五中学高二期末)已知。：x?+y2=4与圆C：x2+y2-2(a+l)x-2y+2a+2=0

相交.

(1)求正数a的取值范围；

⑵若圆C与圆0的公共弦所在直线的方程是2x+y-4=0,求圆C的半径.

【答案】(1)[；，+8}

(2)1.

【解题思路】Q)根据两圆相交的性质进行求解即可；

(2)根据两圆相交弦的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.

【解题过程】(1)

圆C的标准方程是(x-a-l)2+(y-l)2=a2(a>0),

因为圆C与圆。相交，所以|。-2卜|0/<4+2,

即|“-2卜J(a+iy+1<a+2,解得a>；,

所以正数a的取值范围是+8)；

(2)

将圆。与圆C的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程是(a+l)x+y-a-3=0,即2x+y-4=0,

[a+1=2,

所以a解得a=l.

[-a-3=-4

所以圆C的标准方程是(X-2)2+(”1)2=1,

所以圆c的半径是1.

15.(2022•四川绵阳•高二期末)已知圆C：(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0).

⑴若r=3,直线/：x-y-4=0与C相交于A,B两点，求弦AB的长；

⑵已知点M(-LO),N(3,0),若C上存在点尸，使得PM6N,求r的取值范围.

【答案】(1)2；

(2)[3,7].

【解题思路】(D根据圆的垂径定理进行求解即可；

(2)根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.

【解题过程】(1)

圆心坐标为：C(4,4),它到直线x-y-4=0的距离为：

|4-4-4|_______

"="+(_])2=2及r,所以弦45的长：2炉方=26氐=2；

(2)

假设C上存在点P,使得因此点P也在以MN为直径的圆上，

设该圆的圆心为D(x,y),则有x=三坦=1,y=等=0,即DQO),

该圆的半径为：gj(-l-3)2+(0一0)2=2,|CD|=J(4-+(4-0)2=5,

因为点尸即在圆C上，也在圆。上，所以两圆相交或相切，因此有：

|r-2|<5<r+2=>3<r<7,故r的取值范围为：[3,7].

16.(2022•上海市复旦实验中学高二期末)已知圆C：x2+y2-6x-Sy+m=0,其中,”eR.

⑴已知圆C与圆：/+>2=1外切，求，〃的值；

(2)如果直线x+y-3=0与C相交所得的弦长为4石，求，”的值.

【答案】(1)加=9；

⑵机=-3.【解题思路】(1)解方程7(3-0)2+(4-0)2=1+y/25-m即得解；

(2)解方程(2立)？+(2石/=25-机即得解.

【解题过程】(1)解：由圆C:/+y2-6x-8y+w=0,可得+0-4了=25-m，则圆心。(3,4),半径

r=>/25-及，由圆除+与=1,可得圆心(0,0),半径氏=1,因为两圆外切，则J(3—0)2+(4—0)2=1+125-俏,

解得机=9.

(2)解：圆C的圆心坐标为(3,4),半径为J25-沉•圆心到直线的距离心生言2=2及，又直线x+y-3=0

与圆C相交所得的弦长为4方，，(2应产+(26)2=25-,〃，解得加=-3.，机的值为-3.

17.(2022•江苏南通•高二期末)已知圆M:(x-2y+y2=4,点尸(Tj)(fwR).

⑴若f=l,半径为1的圆N过点P,且与圆”相外切，求圆N的方程；

⑵若过点尸的两条直线被圆M截得的弦长均为26，且与>轴分别交于点s、T,|sr|=p求/.

【答案】(l)(x+l『+y2=i或1+|)=1

(2)f=±1

【解题思路】（1）设圆心"（a/）,根据已知条件可得出关于。、b的方程组，解出。、b的值，即可得出圆

N的方程；

（2）分析可知直线内、尸7的斜率存在，设过点小且斜率存在的直线的方程为y—=Mx+i）,即

kx-y+k+t=O,利用勾股定理可得出蝴+6h+产-1=0,可知直线PS、尸7的斜率勺、&是关于％的二次

方程以2+6雨+,2_1=0的两根，求出S、T的坐标，结合韦达定理可求得f的值.

【解题过程】（1）

解：设圆心N（a,b）,圆A/的圆心为M（2,0）,

2

(a-2)2+b2=9

a=-\5

由题意可得I,、，，解得X或

[(”+1)+(6-1)-=1

因此，圆N的方程为（x+iy+V=l或1+|[+卜_|）一=1.

⑵解：若过点P的直线斜率不存在，则该直线的方程为x=-l,

圆心M到直线x=-l的距离为3,不合乎题意.

设过点P且斜率存在的直线的方程为yT=%（x+l）,即依-y+Z+f=0,

由题意可得詈[=亚==1,整理可得8必+6H+/_i=o,

设直线PS、尸T的斜率分别为占、k2,

则区、k2为关于k的二次方程8犬+6k+--1=0的两根，

△=36r-32（/-1）=4/+32>0,

由韦达定理可得3=二,

48

在直线PS的方程A-y+《+r=0中，令x=0,可得y=K+r,即点S（0,£+。

在直线PT的方程3-"网+/=0中，令x=0,可得尸他+f,即点T（0&+f）,

所以，|S7|=%-川=Jd+-4柩2=,解得r=±L

18.（2022•广西•宾阳中学高二期末（理））已知圆C的圆心为C（1,2）,且圆C经过点P（5,5）.

⑴求圆C的一般方程;

⑵若圆x2+y="（机>0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围.

【答案】⑴x2+V-2x_4y-20=0

【解题思路】（1）设圆C的一般方程为V+y2+Dx+Ey+F=0.由圆C的圆心C（l,2）和圆C经过点P（5,5）求

解；

（2）根据圆0：/+产=机2（机>0）与圆C恰有两条公切线，由圆。与圆C相交求解.

【解题过程】（1）

解：设圆C的一般方程为/+丫2+m+6+/=0.

-不=1（D=—2

•.咽C的圆心C（l,2）,二；BP'

--=2.5T.

2

又圆C经过点P（5,5）,

/.52+52-2X5-4X5+F=0.

解得F=-20.

经检验得圆C的一般方程为/+丁一2》-4>-20=（）；

（2）

由（1）知圆C的圆心为C。,2）,半径为5.

•.•圆0:』+丁=/（,”>0）与圆C恰有两条公切线，

.•.圆。与圆C相交.

/.|5-/n|<|OC|<5+/«.

V\OC\=>/（1-0）2+（2-0）2=y[5,

••5-\[s<机<5+y/s♦

；.，”的取值范围是（5-石,5+石）.

22

19.（2022•浙江嘉兴•高二期末）已知圆G：x2+y2+2x+8）-8=0,^C2:（x-a）+（y-2a+2）=25.

⑴若圆C与圆G外切，求实数”的值;

⑵若圆G与圆G相交于A,B两点，弦A3的长为相，求实数”的值.

【答案】(1)。=-1±26

(2)a=2或a=-4

【解题思路】(D求出圆心、半径，结合两点间的距离公式即可求解；(2)法一，联立方程组，利用点到

直线的距离公式，弦心距公式即可求解；法二，由题意知，圆G与圆关于直线A8对称，利用弦心距公

式即可求解.

【解题过程】(1)

圆G:/+,2+2*+8,_8=(),即为(x+l)2+(y+4)2=25,所以G(—1,-4),4=5,圆

22

C2t(x-a)+(y-2a+2)=25,所以C?(。,24—2),4=5,

因为两圆外切，所以|C|G|=4+&=1。，得J(a+1)?+(2。+2)2=[0,

化简得(a+l)2=20,所以。=-1±2后.

(2)

222

法一：01C2:(x-a)+(y-2a+2)=25,即为A+9-2依+4(1—a)y+542-8«-21=。，

x?+y~+2.x+8y—8=0,

将圆G与圆Cz的方程联立，得到方程组，I,；八\<2。,。

X'+y--2ax+4(\-a)y+5a--8a-21=0,

两式相减得公共弦A8的方程为：(2+勿)工+(4+4”)》-5储+&7+13=0,

由于|A8|=后,得点G到直线AB的距离：d=

|-（2+2a）-4（4+4a）-5a2+8a+13|3石|5a2+10a+5|_36

所以即即|a+l|=3,

7（2+2a）2+（4+4（z）222>/5|a+l|一2

解得a=2或者«=-4.

法二：因为｛=4=5,所以圆G与圆C?关于直线A8对称,

因为同同=屈，得点G到直线AB的距离:

所以CGI=3石=J（4+l）2+（2a+2）2,

解得。=2或者a=-4.

类型四与圆有关的轨迹问题（6道）

20.（2022•湖北♦沙市中学高二期末）已知点M到两个定点41,0）,8（40）的距离比为g.

⑴求点M的轨迹方程；

⑵若过点P（L-3）的直线/被点M的轨迹截得的弦长为26，求直线/的方程.

【答案】（l）f+y2=4（2）4x+3y+5=0或x=l

【解题思路】（D设出M（x,y）,表达出直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考

虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用

垂径定理列出方程，求出直线方程.

【解题过程】（1）

设则四川=J（x-l）。+y。,+），，故----―,两边平方得：x2+y2=4

y/（x-4）-+y22

（2）

当直线斜率不存在时，直线/为x=l,此时弦长为2x51=26，满足题意；

当直线斜率存在时，设直线/：丁+3=可犬-1）,则圆心M（（）,0）到直线距离为1=卑"，由垂径定理得：

y/1+k'

（去'）+（6『=22,解得：k=~,此时直线/的方程为4x+3y+5=o,

综上：直线/的方程为x=l或4x+3y+5=0.

21.（2022•山西晋中•高二期末）在平面直角坐标系x。），中，已知A（-l,0）,3（l,2）.

（1）求直线AB的方程；

⑵平面内的动点户满足，到点A与点B距离的平方和为24,求动点P的轨迹方程.

【答案】（i）x—y+i=o.

⑵/+（丫-1）2=10.

【解题思路】（1）结合点斜式求得直线A8的方程.

（2）设P（x,y）,根据已知条件列方程，化简求得P的轨迹方程.

【解题过程】(D

2-0

T,

1-(-1)

于是直线AB的方程为y-0=lx(x+l),y=x+l,即x-y+l=0.

(2)

设动点P(x,y),于是［网2］叫2=24,

代入坐标得(x+1)2+r+。一1)2+(y-2)2=24,化简得x2+(y-l)2=10,

于是动点P的轨迹方程为x2+(>-l)2=10.

22.(2022•江西•南昌大学附属中学高二期末(理))已知圆G：(x+4)2+V=16,点A是圆C1上一动点,

点8(4,0),点C是线段A8的中点.

⑴求点C的轨迹方程；

⑵直线/过点(1,1)且与点C的轨迹交于A,B两点,若|明=26,求直线/的方程.

【答案】(1)炉+>2=4；

(2)x=1或产1.

【解题思路】⑴设线段A8中点为C(x,y),点4宙，％),用x,y表示知先,代入G方程即可；

(2)分/斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出/方程.

【解题过程】(1)

设线段A8中点为C(x,y),点A(为％),•.•8(4,0)

/.2x=x0+4,2y=y0+0,

:.x„=2x-4,y0=2y,

(2x-4+4>+4)，=16:.x2+y2=4,

即点C的轨迹方程为/+丁=4.

(2)

直线/的斜率不存在时，/为X=L

代入/+丁=4得>=±6,则弦长|A8|=2G满足题意；

直线/斜率存在时，设直线/斜率为&,其方程为=即日-y-A+l=O,

圆f+)，2=4的圆心到I的距离d=<4[詈J="b=1,

|1一4

贝(][=1=>%=0=>/：y=1.

42+1

综上，/为x=l或y=L23.(2022•福建龙岩•高二期末)已知平面直角坐标系上一动点P满足：到点A(0,2)

的距离是到点3(0,-1)的距离的2倍.

(1)求点P的轨迹方程；

⑵若点户与点Q关于直线》-丫+2=0对称，求|P。的最大值.

【答案】⑴/+/+4〉，=0

(2)4夜+4

【解题思路】(D直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.

(2)点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点尸到直线的距离最值的两倍就是|PQ|的距离，也可以求

出点。(乂)，)的轨迹方程直接求解归。的距离.

【解题过程】(1)

设P(x,y),由题意，得：

化简得/+y2+4y=0,

所以点P的轨迹方程为/+9+分=o

(2)

方法一：设Q(x,y),因为点尸与点。关于点x-y+2=o对称,

则P点坐标为(y-2,x+2),

因为点尸在圆Y+寸+4y=0,即/+0+2/=4上运动，

所以(x+4)2+(y-2)2=4,

所以点。的轨迹方程为(x+4-+(y-2)2=4,

所以两圆的圆心分别为(0,-2),(T,2),半径均为2,

贝11PQ\nm="(0+4)2+(-2-2>+4=4&+4.

22

方法二：由/+/+4）,=0可得：x+（y+2）=4

所以点尸的轨迹是以（0,-2）为圆心，2为半径的圆

轨迹P的圆心到直线x-y+2=0的距离为："=但琶4=2夜|尸01mx=2"2r=4亚+4

24.（2022•湖南永州•高二期末）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方

设计了一个矩形坐标场地A5CZ）（包含边界和内部，A为坐标原点），AO长为10米，在A3边上距离A点

4米的尸处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为外电子狗行走

速度为2v,若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点那么电子狗将被机器人捕获,

点M叫成功点.

B

F（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程;

"''-'»A/

（2）尸为矩形场地4。边上的一动点，若存在两个成功点到直线尸P的距离为|,且直线尸产与点M的轨迹没

有公共点，求尸点横坐标的取值范围.

【答案】（l）x2+（y-$2吟

⑵—但

【解题思路】（D分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意画=幽，利用两点间的距离公

2vv

式可得答案.

⑵由题意可得点M的轨迹所在圆的圆心到直线々的距离4e（g，2）,点〃的轨迹与y轴的交点N到直线

我的距离42；,从而可得答案.

【解题过程】（1）

分别以ARAB为X,y轴，建立平面直角坐标系，则£（0,2）,*0,4）,

设成功点M（x,y）,可得幽=幽

2vv

即G+<…=6+（…，化简得f+（y-乎4

V2v39

4

因为点M需在矩形场地内，所以

故所求轨迹方程为犬+

⑵

设P（a，O）,直线FP方程为^+9=1

a4

44

直线尸P与点M的轨迹没有公共点,则圆心（0，1）到直线FP的距离大于r=y

依题意，动点尸需满足两个条件：

点M的轨迹所在圆的圆心（0，?到直线仪的距离4仁2）

二-痴

3

即*<2

②点M的轨迹与）'轴的交点N（04）到直线严的距离%>|

2土2,解得心拽

即《

3

综上所述'尸点横坐标的取值范围是《,学

25.（2022•江苏•高二期末）已知线段A8的端点3的坐标是（2,0）,端点A在圆N:（x+2）2+V=8上运动,

4B的中点尸的轨迹为曲线T,圆心为C（3,-l）的圆C经过点比

⑴求曲线7的方程，并判断曲线7与圆C的位置关系；

⑵过x轴上一点G任作一直线（不与x轴重合）与曲线7相交于M、S两点，连接BM,BS,恒有ZMBG=ZSBG,

求G点坐标.

【答案】（l）f+y2=2,相离

⑵(1,0)

【解题思路】（1）设出P，A的坐标，利用户是线段A8的中点，确定P，A坐标之间的关系，根据点A在圆N

上运动，可得中点尸的轨迹，

即曲线7的方程，再利用题设写出圆C的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线7、与圆C的位

置关系；（2）先由图像分析，过点G的直线与曲线7相交于M、S两点，要满足"BG=NSBG,可知点

G必在圆内，

再讨论斜率存不存在，①当直线的斜率不存在时，显然有"BG=/SBG；②当直线的斜率存在时,

设出直线的方程，由勺《+勺8=0,联立方程直线和圆的方程，求出点G点坐标即可.

【解题过程】(1)

设点P坐标为(x,y),A(m,n),

/w+2

,火—2[m=2x—2

户是线段48的中点，且以2,0),由中点坐标公式得：,，即。，

v_«l〃=2y

又点4在圆N:(x+2/+y2=8上运动，.•.(2x-2+2)2+(2y)2=8,化简得产+丁=2,

所以曲线7的方程为：X2+/=2,又圆C的圆心为C(3,-l),设圆C方程：(x-3)2+(y+l)2=/,

又圆C经过点8(2,0),代入圆C方程得r=2,所以圆C方程：(x-3y+()，+l)2=2,

两圆的圆心距J(3-0『+(-l-0)2=屈＞/+4=2&,所以曲线7与圆C的位置关系是相离.

(2)

如图所示，若点G在圆外，直线与曲线7相交于M、S在点G的同侧，有NMBG片NSBG,所以点G必在

屈),过点G的直线分类讨论斜率存

当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有NMBG=NSBG；

v.2,2=2

当直线的斜率存在时，设直线的方程/：y=^x-a)(4w0),联立方程得：'/",化简整理得

y=k(x-a)

(k2+1)x2-2ak2x+k2a2-2=0,

设M(.y),S(七,%),则用+々”,x,x2=，

A:2+1-公+1

由题意知，ZMBG=4SBG,则直线MB,SB的倾斜角互补，即3.+&3=。

则工一+%=0,

人X2-2，

将％