学案 直线的方程 课件

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名师伴你行SANPINBOOK考纲解读直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定两条直线平行或垂直.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK考向预测

从近两年的高考试题来看，求直线方程是高考考查的重点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，无论是以何种题型出现，都与其他知识点交汇命题，难度属中、低档题，主要考查直线方程的求法，考查学生的运算能力.

预测2012年高考还会以求直线方程为主要考查点，考查直线方程的求法及学生的运算能力.返回目录

1.数轴上的基本公式若点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=

,d(A,B)=

.x2-x1|x2-x1|名师伴你行SANPINBOOK2.平面直角坐标系中的基本公式若A(x1,y1),B(x2,y2),则d(A,B)=.若M(x0,y0)为线段AB的中点,则x0=

，y0=

(中点坐标公式).返回目录

3.倾斜角与斜率

(1)倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与

叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为

.因此,直线的倾斜角α的取值范围为

.直线l向上方向之间所成的角0°［0°,180°)名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k=

.倾斜角是90°的直线没有斜率.(3)斜率公式：经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k=

.

tanα名师伴你行SANPINBOOK返回目录

4.直线的方程

(1)点斜式：

表示过(x0,y0)点且斜率为k的直线.(2)斜截式：

表示过(0,b)点且斜率为k的直线.y-y0=k(x-x0)y=kx+b(3)两点式：

表示过两点P1(x1,y1)，P2（x2,y2）

(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程.(4)截距式：

表示过两点(a,0),(0,b)(ab≠0)的直线方程.(5)一般式：

.Ax+By+C=0(A2+B2≠0)名师伴你行SANPINBOOK5.两条直线平行与垂直的判定

(1)两直线平行

①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2).l1∥l2

.②对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,

k1=k2

A1B2-A2B1=0A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2返回目录

名师伴你行SANPINBOOK2.两直线垂直（1）对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1⊥l2.（2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1⊥l2.k1k2=-1A1A2+B1B2=0返回目录

名师伴你行SANPINBOOK［2010年高考辽宁卷］已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.[0,)B.[,]C.(,]D.[,π)返回目录

名师伴你行SANPINBOOK考点1直线的倾斜角与斜率

【解析】∵y=,∴y′=.令ex+1=t，则ex=t-1且t>1,∴y′=再令=m,则0<m<1,∴y′=4m2-4m=4(m-)2-1,m∈(0,1).容易求得-1≤y′<0,∴-1≤tanα<0，得≤α<π.故应选D.返回目录

【分析】由导数求出y′的范围，由于k=y′，故k的范围可求，从而可转化为α的范围.名师伴你行SANPINBOOK

（1）直线的倾斜角与斜率的关系

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名师伴你行SANPINBOOK倾斜角0(0,)()斜率取值0(0,+∞)不存在(-∞,0)增减性递增递增返回目录

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（2）已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围时，若k为正数，则α的范围为(0,)的子集，且k=tanα为增函数；若k为负数，则α的范围为(,π)的子集，且k=tanα为增函数.若k的范围有正有负，则可把范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围.返回目录

若a∈〔,),则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是（）〔,)B.〔,)C.〔0,),D.〔,),名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=-cosα.又α∈〔,),∴0<cosα≤,∴-≤-cosα＜0.即-≤tanθ＜0,注意到0≤θ＜π,∴≤θ＜π.故应选B.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3)，求：（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边上的垂直平分线DE的方程.【分析】结合所给条件，选择恰当的直线方程并求解.名师伴你行SANPINBOOK考点2直线方程的求法返回目录

【解析】

（1）因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点，由两点式得BC的方程为

，即x+2y-4=0.

(2)设BC中点D的坐标(x,y)，则x=

=0，y=

=2.BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2）两点，由截距式得AD所在直线方程为

=1，即2x-3y+6=0.

(3)BC的斜率k1=-

，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2.名师伴你行SANPINBOOK

1.用待定系数法求直线方程的步骤：

（1）设所求直线方程的某种形式.

（2）由条件建立所求参数的方程（组）.

（3）解这个方程（组）求参数.

（4）把所求的参数值代入所设直线方程.

2.求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程.要注意若不能判定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论.返回目录

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求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-;名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】(1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.②若a≠0,则设l的方程为,∵l过点(3,2),∴,∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.

综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

解法二:由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-;令x=0,得y=2-3k.由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=,∴直线l的方程为:y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.名师伴你行SANPINBOOK(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.又直线经过点A(-1,-3),因此，所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.返回目录

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已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.（1）l1⊥l2，且l1过点(-3,-1);（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.【分析】可利用所求直线和已知直线的平行和垂直关系来确定a,b的值，另外直线方程中含有字母参数，应分类讨论.考点3两条直线的平行与垂直名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】（1）由已知可得l2的斜率必存在，∴k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b=0.又∵l1过(-3,-1),∴-3a+b=0,即b=3a（不合题意）.∴此种情况不存在，即k2≠0.若k2≠0,即k1,k2都存在，∵k1=1-a,k2=,l1⊥l2，∴k1·k2=-1,即(1-a)=-1.①又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②由①②联立，解得a=2,b=2.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在.∴k1=k2.即=1-a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数.即=b.④a=2a=,b=-2b=2.∴a,b的值为2和-2,或和2.由③④联立,解得或名师伴你行SANPINBOOK返回目录

当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1）,若用l1⊥l2A1A2+B1B2=0可不用分类讨论.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0.（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.名师伴你行SANPINBOOK（1）解法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1不平行于l2；当a=0时，l1：y=-3，l2：x-y-1=0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y=-x-3，l2：y=x-（a+1），

=-3≠-(a+1),综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.返回目录

l1∥l2解得a=-1.名师伴你行SANPINBOOK解法二：由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0,得a（a2-1）-1×6≠0,a(a-1)-1×2=0a(a2-1)-1×6≠0a2-a-2=0a(a2-1)≠6故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.返回目录

∴l1∥l2a=-1.名师伴你行SANPINBOOK（2）解法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，l1：y=-x-3，l2：y=x-（a+1），由(-)·=-1a=.解法二：由A1A2+B1B2=0，得a+2（a-1）=0a=.返回目录

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考点4与截距有关的直线方程的应用已知直线l过点P（3，2），且与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

【分析】先建立AB所在直线方程，再求出A,B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值.名师伴你行SANPINBOOK【解析】解法一：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为∵l过点P（3，2），∴,b=,从而S△ABO=a·b=a·=,故有S△ABO返回目录

名师伴你行SANPINBOOK当且仅当a-3=,即a=6时，(S△ABO)min=12,此时b==4,直线l的方程为=1,即2x+3y-12=0.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK解法二：设直线方程为

=1,代入P(3,2)得

,得ab≥24,从而S△AOB

=

ab≥12,此时

,k=-

=-

.∴方程为2x+3y-12=0.返回目录

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（1）“截距”与“距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与x轴的交点的横坐标，纵截距是指直线与y轴交点的纵坐标.截距可以为任意实数，而距离是大于或等于零的实数.

（2）题目中凡涉及“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距的绝对值”等条件时，一定要考查截距为零的情形.截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度.名师伴你行SANPINBOOK过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半轴交于A，B两点.（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程；返回目录

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（1）解：设直线l的方程为(a>0,b>0),则|OA|=a,|OB|=b,∴S△AOB=ab,又点P在直线l上，∴+=1.∵a>0,b>0,∴+≥2,即2≤1,∴ab≥8.即S△AOB最小值为4，当且仅当