2020中考数学一轮复习考点导练案 考点24 解直角三角形

考点24

解直角三角形一锐三函的义在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C=90°AB=，BC=，AC=b正弦：=

∠的对边a=斜边c

；余弦：cosA=

∠的边b=斜边c

；正切：=

∠的边a=邻边b

．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需通过辅助线来构造直角三角形二特角三函值α

α122232

cos322212

α33三解角角．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．．解直角三角形的常用关系：在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C=90°则：（1）三边关系a2

=2；（2）两锐角关系：∠A+；（3）边与角关系B

aba，cosA=sinB，A=；ccb（4）+cos

A=11

．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余.四解角角的用．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和平宽度l的叫做坡面的坡度（或坡比i=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，iα．坡度越大，角大，坡面越陡．．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角叫做方向角．

l

．．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角中依次求2

边，或通过公共边相等，列方程求．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案否符合实际意义，从而得到问题的解．求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角.（2）正确地表示出直角三角形的三边，常设某条直角边长为（有时也可设为1求角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三函数值．典2A2

45

的值为B

C．2

D．【答案】C【解析】把sin45°

2代入原式得：原式=2×2

=

2．选．．如图，在ABC，C=90°．若，=2则的值为A

23

B

53

C．

255

D．

52利用特殊角的三3

锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有.典已∠A锐角，且sinAAC．45°【答案】D

32

，那么∠A等BD．【解析】∵sinA=

32

，∴∠A=60．故选D．已知是角，sin=cos60°，则等AC．60°

BD．能定解直角三角形的应用解此类题的一般方法）造角三角形）清直角三角形的边角关系）用特殊角的三角函数值解答问题.典3某山的山顶B处一个观光塔，已该山的山坡面与水平面的夹角BDC为30°山高为100米，点E山脚D处米，在点处测得观光塔顶端A仰角为60°则观光塔高度是AB米C．米D．150米【答案】A【解析】如图，作⊥于F，EG⊥，eq\o\ac(△,Rt)DEG中，EG

=75，∴BF=BCCF=BC=100-75=25，EF=

BFBFBEFtan30

=25，4

∵∠AEF，∴∠A，∴AF=

EF253tanA3

=75，∴AB=-（米），故观光塔AB的度为50，故选A．．图，某湖心岛上有一亭子，亭子A的正方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子在偏西

45

方向上得树在偏东

方向上测得C

之间的距离等于

米，求A、之的距离（结果精确到米．（参考数据：2，

sin36cos36，，cot36

）．如图，在ABC，若∠°，则5

AsinA

a

Bsin=

bC．cosA

ab

D．=

ba．计算

2

12

的值为A

12

1

B

12

13

C．

14

D．

34．在Rt△ABC中9053BC则AB的长为A

B

C．m

D．m．在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠=90°，

AC

13

，则A等A

223

B

13

C．

D．

24．菱形的对角线AC=10cm，BD，么tan

2

为A

53

B

54

C．

534

D．

334．如图是边长为的小正方形组成的网格图其中点，，均格点，则sin∠为A

22

B

55

C．

105

D．

1010．在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠=90°，若=10，sinA

35

，则斜边上的高等于A5BC．．6

．如图，在边长为小正方形组成的网格中，ABC的个顶点均在格点上，则tanABC的为A

35

B

34

C．

105

D．．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的度是

1:

，堤坝高为，迎水坡面的是A

80m

B3m

3m．图，一艘海轮位于灯的北偏东55°向，距离灯塔为2海的点A．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长A2海

B2sin55C．

2cos55

海里

D．

海里11钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤A的度为∶2.4AB长米钓竿与平线的夹角是60°，其长为4.5米若钓竿AC与鱼线CD的角也是60°，则浮漂D河堤下端B之的距离约为（参考数据：732A米

B米

C．米

D．米．图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠=90°，tan=

125

，则B．7

．ABC中，AB=2，=，∠=

，则的长_．．已知相邻的两根电杆AB与高相，且相距50m．王为测量电线杆的高，在两根电线杆之间某一处E架测角仪如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为4523测角仪EF高1.5m，电线杆的高度约为________m精确到，参考数据：

，cos23

，

）．知：如图，在菱形中⊥，垂足为E对角线，∠（1）求边的；（2）求∠值．

12

．．图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱矩形ABCD)靠墙摆放，高AD，宽=48cm小强的身高为166cm其中下半身FG，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成角(∠，与洗漱的距离=15cm(点DC，GK在一线)．（1）此时小强的头部点与面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部恰在洗漱盆的中点的上方，他应向前或后退多少？(sin80°，，2≈1.41，果精确到0.1cm)8

．（2019天）2sin的等于A1C．3．（2019怀）已知α为角且sin=A°C．60

12

B2D．，则∠B45°D．°．（2019宜昌）如图，在的方形网格中，每小正方形的边长都是1的点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠值为AC．

4335

BD．

3445．（2019广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m斜坡的倾斜角是BAC，若∠BAC=

25

，则此斜坡的水平距离为9

AmC．m

BmD．12m．（2019苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB高度，将测角仪C竖直放置在与教学楼水平距离为1m的地面，若测角仪的高度为度是

1.5

，测得教学楼的顶部A处的仰角为o，教学楼的高D

30°

A

55.5

B

54

C．

19.5

D．

18．（2019•广西）小菁同学在数学践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高A为米她先站在处看路灯顶端O的角为35，再往前走米在处看路灯顶端的角为°，则路灯顶端到面的距离约为（已知°，cos35°，°≈0.7，°，°≈0.4，tan65≈）A3.2米C．米

B3.9米D．米（·杭州）如图，一块矩形木斜在墙边⊥，D在一平面内），已知=a，=，∠，则点A到OC的离于Aasinx+bxC．asinxcosx

BxbcosxD．x+10

．（2019甘肃）在△ABC中，∠C°，A=

，则B=__________．．（2019杭州）在直角三角形ABC，若，则cos=__________．（•天津）如图，面上一艘船由西向东航行，A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的角为31，再向东继续航行达处测得该灯塔的最高点的角为45，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据°≈0.52cos31°≈0.86tan31°≈．．2019•深圳）如图所示，某工队要测量隧道长度，=600米AD⊥，施工队站在点D处看向，得仰角为°，再由D走E处量∥，=500米测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°

43，°≈，°≈）．5511

．2019•河南）数学兴趣小组黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图示，炎帝塑像DE在的山EC，在A处得塑像部E的角为34，再沿AC方前进到B处测得塑像顶部D的角为°，求炎帝塑像DE高度．（精确到．参考数据：sin34°≈0.56cos34°=0.83°0.67≈1.73）．•甘肃）为了保人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～含）高度的范围是120mm～150mm（含）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图果如下别垂直平分踏步GH步互相平行=CD，ACD=65°，试问该中楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定结精确到1mm，参考数据：°≈0.906cos65≈0.423）．•江西）图是一台实物投影仪，图2它的示意图，折线B–A–O表固定支架AO垂水平桌面于，点B为转点BC可动，当BC绕B时针旋转时，投影探头CD终垂直于水平桌面OE，经测量=6.8cm，=8cm=30cmBC．结果精确到）．（1）如图2∠ABC=70°，BC．12

①填空：∠BAO．②求投影探头的端点D到面的离．（2）如图3将（）中的向旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的离为时，求∠大小．（参考数据：sin70°≈，cos20°≈，sin36.8°≈，cos53.2°≈）．（2019•安徽）筒是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长6米OAB°若点为行轨道的最高点，O的连线垂直于AB），求点到所直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈，°）13

．（贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中O为下水管道口直径可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP，OA为修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开被河水关闭过程中的值范围；（2为观测水位当水道的水冲阀门到达OB位时，在点处测得俯角=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（

=1.41，sin67.5°，cos67.5°=0.38，，，tan22.5°=0.41）变式拓展14

．【答案】A【解析】在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∵∠C°AB，，∴=．【答案】A

=，故选A．AB【解析】∵sin°

12

，∴=30°．故选A．【解析】如图，过点作，垂足为点H，由题意，得

，

，

，在eq\o\ac(△,Rt)

BHC，

，∴

sin36

，∵

sin36

，∴

BH117.6

，又

BCH

HCBC

，∴

HC，∵

，∴

HC

，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AHC中tan

，∵

，∴AH161.8，又ABAHBH，AB，∴AB（）．答：、之间的距离为279米．考点冲关．【答案】A【解析】A、sin=

a

，此选项正确；Bsin=C、cosA

ab

，此选项错误；，此选项错误；15

33D、cos=

b

，此选项错误；故选A．案】D【解析】原=．【答案】A【解析】如图，

1=1–=，选D．2244∵

BC

，∴AB

mcos53

，故选A．案】B【解析】如图所示：∵

AC

13

，∴=

1ABACABAB3

．故选．案】A【解析】如图，由题意得⊥，AO=

11，BO=BD，22则tan

2

=tan∠

AOBO3

故A.16

2△2△案】D【解析】如图所示：连接BD交于，由正方形的性质可得⊥，故BD=

，AB

，2则∠=

5

1010

．故选D．．【答案】【解析】如图所示，⊥AB，即斜边上的高，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C=90°AB=10，ABCBC，BC=6∴sin=AB5根据勾股定理得==8

35

，∵=

=CD•AB，∴=

ACAB

=4．，17

故选B．．【答案】【解析】∠所在直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan∠=故选B．案】A

34

．【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的比是：3，

BC1AC3

，∵BC=40m，∴=40

3

，∴=

AC

2

2

，选A．案C【解析】记灯塔的北方向为射线的向根据题意可知∠APC=55°PC∥AB，AP=2里∵PC∥，∠APC，∴=55°.∵在eq\o\ac(△,Rt)ABP中AP=2海，∠PAB=55°，∴AB=·cosPAB=2cos55°（里）.故选C.11【答案C【解析】如图，延长交DB延长线与点E，过点作⊥BE点，则∠，∵的比1，18

∴

AF，设=5，=12，BF12∵AB米∴在直角△，由勾股定理知3.9=25x+144x．解得x=

．∴AF=

，BF=12=，

∴EF=

AF60

,AE

AF60

，∵∠=∠=60°，∴△CDE等边三角形，∵AC米∴DE+AE=4.5+（），则=﹣EF﹣

3-2

766米），答：浮漂D与堤下端之的距离为米故选．5案】13【解析】在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠=90°BC，A=

12BC121212，得，55

，∴AC=5．由勾股定理，得=

AC2=13

．所以=

AC13

5，故答案为：．13．答案5【解析】如图，过点作AD交于D．∵

12

，设=，则BD=2x，∵AB=2，19

1菱形1菱形∴在△ABD中，由勾股定理得5）解得，x，x﹣2不符合，舍去），∴BD=4，

=2（x），同理，在△ACD中，由勾股定理得，DC

5

，∴BCDC+BD，故答案为：5．案】

【解析】过点作ABCD的垂线，垂足为点GH如图所示：设AG，则有DH=x，∵

AGAGx∴tan23°，得xtan45tan23∴AB．线杆的高度约为．答案是：．析）连接，与BD相于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴⊥，BO

12

=4，∵eq\o\ac(△,Rt)BOC中tan

OC1=，OC=2，OB2∴AB=BC

2

2

=

=2（2）∵⊥，∴==

12

BDAC∵AC=2OC=4，2

5

=

12

85，=，5∴BE

AE

=

65=，20

53∴=．2析）如图，过点FFN⊥DK于N，过点E作EM⊥．∵EF+FG=166，FG，EF=66，∵∠FGK，∴=100sin80°，∵∠=125°，∴∠EFM––10°=45°∴FM

33

≈46.53，∴=FN+FM，∴此时小强头部点地面DK相距约为．（2）如图，过点E作EPAB于，延长OB交H∵AB，O为中，∴BO=24，∵=66sin45°，∴PH≈46.53，CG，∴OH=24+15+17=56，=OH–=56–46.53=9.47，∴他应向前9.5cm．直通中考．【答案】【解析】锐角三角函数计算，

2sin60

=2×

=3，选A．．【答案】A【解析】∵∠锐角，且sinα=．【答案】

12

，∴∠=30．故选A．【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，，∴=

AD

2

CD

2=

2=5．21

CD∴sin∠==．故选D．5．【答案】A【解析】∵=90°，∠BAC=故选A．．【答案】

25

230，BC=30m，∴tanBAC=＝＝，解得AC，5ACAC【解析】过D作DEAB交，3，RtADE中

AEDE

，AE3

33

，

AB1.519.5(m)

，故选ADC

30°

EB．【答案】【解析】如图，过点O作⊥点E延长BD交OE于点F，设DF，∵tan65=∵tan35=

DFBF

，∴=°∴，，∴=（x）tan35，∴2.1x=0.7（），∴=1.5∴OF×2.1=3.15∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7故选．．【答案】22

【解析】如图，过点作AEOC于E，作OB于F，∵四边形ABCD是形，∴ABC，∵∠ABC∠AEC∠BCO，∴∠EAB=x∴x∵=a，ADb∴=FB+BO=•cos+•，故选D．1．【答案】2【解析】∵=

33

1，∴∠A=30°，∵=90，∴B=60°，∴cosB°．2故答案为：

12

．．【答案】

325或25【解析】若B=90°，设=，则AC=2，所以BCx2=，所以cosC=若∠A°，设AB，则ACx，所以BC=x)2x，

3；22所以cos=

AC2x2BC5x5

；5或．综上所述，cos的为535故答案为：或．25．解析】在eq\o\ac(△,Rt)中，tan∠=CD5则=≈CDtan

CD

，在eq\o\ac(△,Rt)CBD中∠°BD，∵AD，∴

53

CD+30，解得CD=45答：这座灯塔的高度约为．．解析】如图，在eq\o\ac(△,Rt)中，作EMAC于M23

则AMDE，=100在eq\o\ac(△,Rt)中tan53°=

CMCM=，=800EM6003∴BC–BM–（米）．答：隧道BC长米．．解析】ACE=