新教材人教a版选择性必修第二册5.3.2第3课时导数的实际应用学案

第3课时导数的实际应用互动探究·关键能力探究点一导数的简单应用自测自评1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()A.B.C.D.答案：A解析：加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.2.将长为12米的铁丝围成一个矩形，则矩形的面积的最大值为()答案：C解析：设矩形的一边长为x，则邻边长为6-x，所以矩形面积S=x(6-x)=6x-x令S'=6-2x=0，得x=3，显然为函数的唯一极大值点，所以S3.炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f(x)=13xA.8B.20答案：C解析：原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)4.（★）已知长方体的上下底面是正方形，若长方体的表面积为96，当正方形边长为时，长方体的体积最大，最大值为.答案：4;64解析：设正方形的边长为a，长方体的高为h，则长方体的表面积S=2a2所以h=96-2a24a，长方体的体积V=a2h=12(48a-a3),得V'=解题感悟关于导数的简单应用的注意事项（1）通过审题，将问题转化为函数模型，确定函数的定义域.（2）利用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值，得到实际问题的解.探究点二导数在实际问题中的应用精讲精练类型1利润最大问题例1（2021山东东营高二质检）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价-（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？（2）若年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+53答案：（1）由题意得，本年度每辆车的投入成本为10×(1+x)，出厂价为13×(1+0.7x)，年销售量为5000×(1+0.4x)，因此本年度的利润为y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)(0＜x由(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)＞15000，得6x2（2）本年度的利润为f(x)=(3-0.9x)×3.240(-x2则f'(x)=3240(2.7由f'(x)=0解得x=59当x∈(0,59)时，当x∈(59,1)时，f∴当x=59时，f(x)取得极大值，f(因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以也是最大值，所以当x=59时，本年度的年利润最大，最大年利润为20000类型2成本最小问题例2现有一批货物从海上由A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为），其余费用为每小时960元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/时）的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？答案：（1）由轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，得每小时燃料费用为0.6x2（其中0＜x≤35则全程运输成本y=(0.6x（2）由上述得y'=300(1-1600x2)，令y'=0当x∈(0,40)时，y'＜0，函数在(0,40)上单调递减，所以函数在（0，35]上也单调递减，所以在速度为35海里变式2-1（1）若本例轮船的最大航行速度为50海里/小时，其余条件不变，为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？（2）若本例轮船的最大航行速度为v海里/小时，其余条件不变，为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？答案：（1）由上述得，当x∈(0,40)时，y'＜0当x∈(40,50]时，y'＞0，函数在(40,50]所以轮船在速度为40海里/小时时，全程运输成本最小.（2）由上述得，当x∈(0,40)时，y'＜0当x∈(40,+∞)时，y'＞0，函数在(40,+∞)若v＜40，则当x∈(0,v]时，函数单调递减，所以轮船航行速度为v海里若v≥40，则当x∈(0,40]时，函数单调递减，当x∈(40,v]时，函数单调递增，所以轮船航行速度为40海里/小时时全程运输成本最小.解题感悟解决优化问题的注意事项生产实际中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、成本最低等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具，解题时要注意：1.认真读题审题，将已知数量联系起来，建立相应的目标函数，明确定义域.2.利用导数研究函数的单调性、确定极值和最值，得到函数的最值，从而得到实际问题的解.3.利用导数研究利润最大或成本最小问题时，若目标函数有唯一的极值，则该极值就是相应问题的最值.4.解决优化问题的基本思路用框图表示为：迁移应用1.（2021山东枣庄高二模拟）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a（a为常数，2≤a≤5）元的管理费.根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex（e为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41（1）求分公司经营该产品一年的利润L(x)（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.答案：（1）设年销售量为Q(x)=kex，则∴k=500e40则年销售量Q(x)=500e年利润L(x)=(x-a-30)500（2）由上述得L'当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，因为35≤x≤41，所以L'(x)≤0当且仅当x=35时，L'(x)=0，L(x)取最大值，为当4＜a≤5时，35＜a+31≤36，令L'易知当x=a+31时，L(x)取最大值，为500e综上可得，L(x评价检测·素养提升课堂检测1.（2020广东清远高二期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品时，需要对原油进行冷却和加热.如果第x小时，原油的温度（单位：℃）为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)，则第答案：B2.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-x3900答案：D解析：设总利润P(x)=-x3900+400x-100x-20000=-x令P'(x)=0，可得x=300，当0≤x＜300时，P'(x)＞0故当x=300时，P(x)取得最大值.故选D.3.如果圆柱轴截面的周长为定值12，则该圆柱体积的最大值为()A.6 πB.8 πC.12 答案：B解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=12∴h=12-4r2V=πrV'=12 令V'=0，得r=0或r=2，又r∴r=2是函数唯一的极大值点也是最大值点，∴当r=2时，V取得最大值，最大值为8 π4.（★）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元）之间的函数关系式为p=24200-15x2，且生产x吨产品的成本为R=50000+200x（元）.答案：200;315万元解析：设每月生产x吨产品时的利润为f(x)，依题意，得f(x)=(24200-15x2令f'(x)=0，得x1因为在(0,+∞)内只有x=200使f'(x)=0，且x=200是极大值点，所以200就是最大值点，且最大值为所以该厂每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元.素养演练数学建模——建立模型解决实际问题1.（2021辽宁营口高二质检）请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1答案：设OO1为x m，则1＜于是底面正六边形的面积为6×3所以帐篷的体积V(x)=3求导数，得V'令V'(x)=0，解得x=2或x=-2当1＜x＜2当2＜x＜4时，所以当x=2时，V(x)最大.素养探究：根据几何图形满足的条件，建立几何体的体积的目标函数，利用导数求几何体体积的最大值，考查数学建模和直观想象素养.迁移应用1.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好