新教材人教b版选择性必修第二册4.2.4第二课时离散型随机变量的方差学案

第二课时离散型随机变量的方差新课程标准解读核心素养1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求方差逻辑推理、数学运算2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的方差求解公式数学运算3.会利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问题数据分析、数学建模甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：次品数X10123P次品数X20123P[问题](1)由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？(2)试想利用什么指标可以比较加工质量？知识点一离散型随机变量的方差1．定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn．2．D(X)的算术平方根eq\r(D（X）)称为离散型随机变量X的标准差．3．方差与标准差反映了离散型随机变量的取值相对于均值的离散程度(或波动大小)．4．若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(aX＋b)＝a2D(X)．eq\a\vs4\al()对方差概念的再理解(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大，表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用eq\r(D（X）)来描述X的分散程度；(2)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的概率分布唯一确定；(3)随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X的取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．显然D(X)≥0，标准差与随机变量本身有相同的单位．随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？提示：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.知识点二两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)p(1－p)(其中p为成功概率)np(1－p)两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差．1．已知X的分布列为X－101P则D(X)＝()A． B．C． D．0解析：选BE(X)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×，D(X)×()2×()2＋×()2＝0.61.2．已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)，D(ξ)，则实数n，p的值分别为()A．4， B．12，C．8， D．24，解析：选B由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np，,np（1－p，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝12，,p＝0.4.))3．已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列说法正确的是()A．E(X)＝eq\f(7,2)，D(X)＝eq\f(13,2) B．E(X)＝2，D(X)＝4C．E(X)＝2，D(X)＝8 D．E(X)＝eq\f(1,4)，D(X)＝8解析：选B根据均值和方差的性质可得E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝7，D(2X＋3)＝4D(X)＝16，解得E(X)＝2，D(X)＝4.4．已知随机变量Y只取a，1这两个值，且P(Y＝a)＝a，则当E(Y)取最小值时D(Y)＝________．解析：因为随机变量Y只取a，1这两个值．且P(Y＝a)＝a，0＜a＜1，所以P(Y＝1)＝1－a，所以E(Y)＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，所以当a＝eq\f(1,2)时，E(Y)取最小值eq\f(3,4)，所以此时D(Y)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).答案：eq\f(1,16)离散型随机变量的方差[例1](链接教科书第86页练习A5题)随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Paeq\f(1,3)c若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)＝________．[解析]由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,3)＝1，,E（ξ）＝－a＋c＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6)，,c＝\f(1,2)，))因此，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).[答案]eq\f(5,9)eq\a\vs4\al()离散型随机变量方差的计算(1)由已知离散型随机变量的分布列求方差，主要是利用方差的概念进行求解，但若分布列中有待定字母，必须先利用分布列的性质求出待定字母的值，然后再求方差；(2)由已知离散型随机变量的方差求另一离散型随机变量的方差，主要是利用离散型随机变量函数的方差公式进行计算，即利用离散型随机变量的方差的性质求解；(3)对于特殊的分布列，可直接利用公式求解．[跟踪训练]随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A．2 B．3C．4 D．5解析：选C由分布列的性质得p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，由期望的定义可得E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，解得a＝3，所以D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4.实际问题中的方差[例2](链接教科书第86页练习A4题)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ的取值范围是{2，3，4，5，6}．故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列为ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由题意知η的分布列为η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9).化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3c，,b＝2c，))故a∶b∶c＝3∶2∶1.eq\a\vs4\al()随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释．例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低等等．[跟踪训练]有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ的分布列；(2)随机变量ξ的数字期望与方差．解：(1)随机变量ξ的取值范围是{0，1，2，4}，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ＝0)＝1－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)；“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P(ξ＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).故ξ的分布列为ξ0124Peq\f(5,9)eq\f(1,9)eq\f(2,9)eq\f(1,9)(2)E(ξ)＝0×eq\f(5,9)＋1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(2,9)＋4×eq\f(1,9)＝1，D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(5,9)＋(1－1)2×eq\f(1,9)＋(2－1)2×eq\f(2,9)＋(4－1)2×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9).常见分布列的方差[例3](链接教科书第86页练习B1题)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，)，则随机变量η的均值E(η)及方差D(η)分别为()A．6 B．2C．2 D．6[解析]∵X～B(10，)，∴由二项分布的数学期望公式得E(X)＝10×0.6＝6，由二项分布的方差公式得D(X)＝10××，∵X＋η＝8，∴η＝8－X，则E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.[答案]Beq\a\vs4\al()1．求离散型随机变量的方差和标准差的步骤(1)明确随机变量的所有取值，并理解随机变量取每一个值的意义；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出随机变量的分布列；(4)利用数学期望的公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xkpk＋…＋xnpn，求出随机变量的数学期望E(X)；(5)利用方差的公式D(X)＝∑n,i＝1[xi－E(X)]2pi求出方差D(X)；(6)利用方差与标准差的关系，求出随机变量的标准差eq\r(D（X）).2．对于服从两点分布、二项分布的随机变量的方差可以直接利用公式求解，若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，则D(X)＝np(1－p)．[跟踪训练]春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)，P(X＝3)＜P(X＝7)，则p＝________．解析：由题意可知X～B(10，p)，∵D(X)，P(X＝3)<P(X＝7)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10p（1－p，,P（X＝3）＜P（X＝7）))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100p2－100p＋21＝0，,p＞0.5.))∴p＝0.7.答案：决策问题[例4]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解](1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.所以y关于n的函数解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10n－80，n＜16，,80，n≥16))(n∈N)．(2)①X的取值范围是{60，70，80}，且P(X＝60)，P(X＝70)，P(X＝80)＝0.7.所以X的分布列为X607080P则X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×＋(80－76)2×＝44.②若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的分布列为Y55657585P所以Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝()2×＋()2×＋()2×＋()2×＝112.04.结合①可知E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y)．从利润角度看，购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润，所以花店一天应购进17枝玫瑰花，但D(Y)＞D(X)，且E(X)与E(Y)之间相差不大，即购进17枝玫瑰花时利润波动相对较大，且购进17枝玫瑰花没有比购进16枝玫瑰花的利润大很多，故购进16枝玫瑰花也可以．eq\a\vs4\al()利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好；(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近；(3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好．若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时，应依据选择较理想的平均水平还是选择较稳定，作出不同选择．[跟踪训练]如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的路线供选择：环城南路经过路口C，环城北路经过路口F，中间路线经过路口G.如果开车到五个路口B，C，E，F，G因遇到红灯而堵车的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，再无别的路口红灯．(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线？(2)对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差．解：(1)设这位工人选择行驶路线A—B—C—D，A—F—E—D，A—B—G—E—D分别堵车X1，X2，X3次，则X1，2＝0，1，2，X3＝0，1，2，3.由于P(X1＝0)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(X1＝1)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(X1＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,10)，则E(X1)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).由于P(X2＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2)，P(X2＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12)，P(X2＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)，则E(X2)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(7,12).由于P(X3＝0)＝eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2)，P(X3＝1)＝eq\f(1,5)×eq\f(5,6)×eq\f(3,4)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,6)×eq\f(3,4)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\f(1,4)＝eq\f(47,120)，P(X3＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,6)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(5,6)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,6)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,10)，P(X3＝3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,6)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,120)，则E(X3)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(47,120)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(37,60).比较知E(X2)最小，所以这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D.(2)由(1)知E(X2)＝eq\f(7,12)，P(X2＝0)＝eq\f(1,2)，P(X2＝1)＝eq\f(5,12)，P(X2＝2)＝eq\f(1,12)，则D(X2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(7,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(5,12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,12)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,12)＝eq\f(59,144)，所以堵车次数的方差为eq\f(59,144).随机变量函数的数学期望和方差1．(链接教科书第85页例4)某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取一球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动，则该家庭获得的返现金额的期望是()A． B．C． D．[解析]设3个人中取到黑球的个数记为随机变量X，则3个人中取到红球的个数记为随机变量3－X，记该家庭获得的返现金额为随机变量Y，则由题意知Y＝4X＋12(3－X)＝36－8X，因为每次取得黑球的概率为eq\f(14,20)，所以X服从参数为3，的二项分布，即X～B(3，)，所以E(Y)＝36－8E(X)＝36－8×3×0.7＝19.2.[答案]D2．某篮球运动员在三分球大赛的命中率为eq\f(1,2)，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣1分，则该运动员得分的期望与方差分别为()A．16，32 B．8，32C．8，8 D．32，32[解析]根据题意，该运动员命中球数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，∴E(X)＝8×eq\f(1,2)＝4，D(X)＝8×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝2.设该运动员的得分为随机变量Y，则Y的取值范围是{－8，－4，0，4，8，12，16，20，24}，且P(Y＝－8)＝P(X＝0)，P(Y＝－4)＝P(X＝1)，P(Y＝0)＝P(X＝2)，P(Y＝4)＝P(X＝3)，P(Y＝8)＝P(X＝4)，P(Y＝12)＝P(X＝5)，P(Y＝16)＝P(X＝6)，P(Y＝20)＝P(X＝7)，P(Y＝24)＝P(X＝8)，∴随机变量X，Y的关系为Y＝4X－8，∴E(Y)＝E(4X－8)＝4E(X)－8＝4×4－8＝8，D(Y)＝D(4X－8)＝42D(X)＝16×2＝32.[答案]B[问题探究]求解随机变量Y＝aX＋b(a≠0)的均值时，可以先求出随机变量X的均值E(X)，然后利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，求得随机变量Y的均值；也可以先求出Y＝aX＋b(a≠0)的分布列，然后利用均值的定义公式求出随机变量Y的均值．由以上两题可以看出，要求期望的随机变量Y本身并不服从超几何分布或二项分布，但它和另一个服从超几何分布或二项分布的随机变量X可以建立一个一次函数关系，这时通常先根据超几何分布或二项分布的期望公式求得X的期望E(X)，再利用期望的性质求得E(Y)；也可以直接对Y进行分析，求得其分布列，然后利用期望的定义求解．[迁移应用]网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题．梁某为网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20，22，24，26，28，30(km)，，，，，t，2t.(1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)网约车计费规则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，若行驶路程超过3km，则每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．解：(1)由概率分布的性质知，0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1，∴t＝0.1.∴X的分布列为X202224262830P∴E(