2022年高考数学 第一轮复习考点58 平面向量的应用 讲解

考点58平面向量的应用

【思维导图】

平

面

向

量

的

运

用

【常见考法】

考点一判断三角形的形状

（2020•全国）

1.点P是AABC所在平面上一点，满足|丽一定卜|丽+定一2啊=0,则A/3C

的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出福.衣=0,由此可判断

出AABC的形状.

【详解】点「是小钻。所在平面上一点，满足|丽-定卜|丽+定一2中|=0,

贝川丽一国=|丽+前一2酬，可得CB=AB+AC,即再一砌=|北+同，

等式|而-恁卜|恁+/两边平方并化简得通.而==0，.•.通，而，

因此，AABC是直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，

是中等题.

（2018.全国高二课时练习）

2.已知在AABC中，AB^a,AC^h,且7加<0，则AABC的形状为（）.

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【详解】••,£/=丽「os/BACvO,.••cosZR4c<0

/.90o<ZBAC<180°,故AABC是钝角三角形.

答案为：A

点睛:这个题目考查了向量数量积的运算，两个向量数量积小于0,则夹角不一定是

钝角，还有可能是平角，反之，当两个向量的夹角是钝角时，则向量数量积一定是

小于0的.对于锐角时，向量数量积一定大于0,向量数量积大于0,不一定是锐

角，也可能是0。.

（2018•黑龙江青冈）

3.若。为AABC所在平面内一点，且满足|砺-反上|砺+无-2砺|,贝

的形状为（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含AABC的边的向量等式，

再由模的意义即可得解.

【详解】AABC中，I而一反H砺+五一2方丽1=1（而一丽）+（反一函）|

O\AB-AC\=\AB+AC\C>（AB-AC）2=（AB+AC）2

OAB'-2ABAC+AC2^AB2+2ABAC+AC2^4ABAC=0

因而与祝均为非零向量，则而_1_/，即NBAC=90,AABC是直角三角形.

故选：B

（2019•重庆）

4.若AABC内有一点。，满足况+方+诙=0,且次.砺=方式，则AABC一定

是

A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为砺.砺=丽.反，所以OB二（。4-Ocj=3二。4一=0,

所以而_1_必，所以°在AC的高线上，又砺+而+玩=0,所以豆+而=一面,

设AC的中点为D,所以o/+o6=_o启=205,故。在AC的中线上，所以三角

形一定是等腰三角形.选D.

考点：平面向量数量积的运算

点评：本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题，

解决问题的能力.

考点二三角形的面积（奔驰定理）

（2019•恩施市第一中学）

5.已知。是三角形ABC内部一点，且砺+2砺+花=6，则△33的面积与

△OAC的面积之比为

13

A.—B.1C.—D.2

22

【答案】A

【解析】

B'

由题意，。是的重心，OB'=20B,所以钻的面积与AQ4C的面积之

比为故选A.

点睛：本题考查平面向量的应用.由重心的结论：若砺+砺+反=6,则。是

AABC的重心，本题中构造AABP,。是A4B'C的重心，根据重心的一些几何性

质，求出面积比值.

（2019.四川涪城）

___1___2___

6.如图所示，设P为AABC所在平面内的一点，并且可户=《4耳+14?,贝IJ

与AABC的面积之比等于（）

12

B.—C.-D.1

25

【答案】C

【解析】

【分析】由八钻尸与AABC为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角形面积

之比，连接CP并延长后，易得到CP与8长度的关系，进行得到AABP的面积与

AABC面积之比.

连接CP并延长交AB于D,

VP,。口三点共线,...通=；1而+〃/，且;l+〃=l,

1。/zO

设通.而，结合m=1A月得A"《A方+《北，

32

由平面向量基本定理，解之得4=弓，攵=3且〃=g,

；.AP=1AD+1AC,

55

__2__

可得「方二1琬，

•••AABP与AABC有相同的底边AB,高的比等于|丽|与|cD|之比，

2

AABP的面积与AABC面积之比为二.

故选：C.

【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的性质，考查逻辑思维能

力和运算能力，属于中档题.

7.已知。是AABC内部一点，OA+OB+OC^Q<丽.就=2且N84C=60。，则

△OBC的面积为（）

AV3R1「0n2

3223

【答案】A

【解析】

【分析】由丽+砺+了=0可得点。为三角形的重心，故得AOBC的面积为AABC

面积的再根据丽.蔗=2得至川祠•|而|=4,故可得AABC的面积，进而得到

所求.

【详解】•••丽+丽+了=0，

•••OA+OB^-OC>

...点。为三角形的重心，

AOBC的面积为AABC面积的1.

-AC=IABI-IAc|cosZBAC=2,ZJS4C=60°,

.•.网•函=4,

二A/WC的面积为而1J而卜inN84C=百，

•••AOBC的面积为立.

3

故选A.

【点睛】解答本题的关键是根据条件得到点。为三角形的重心，进而得到

△03C与AABC的面积比，然后根据三角形的面积公式求解，体现了向量具有

“数”和“形”两方面的性质.

8.（202。•山东滨州.高三三模）已知点。是AABC内一点，且满足

砺+2赤+加元=6,金皿=9,则实数”的值为（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【解析】

ODm

【分析】根据题意，延长。。交AB于O,求得==三，再求得面积比，结合已知

OC3

条件，即可求得结果.

【详解】由次+2方=-/〃反得：+=

设—竺花=而，则［砺+2丽=而

333

・•.AB,。三点共线

如下图所示:

•.•阮与0》反向共线，加＞0,

m

故选：D.

【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属综合中档题.

9.「是AABC内一点，满足2月(+3万+4定=0，则丛而：5曲：5”相=()

A.4:3:2B.2:3:4C.—:一：—D.一：一：一

432234

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得阳+|而+2斤=6.延长所到耳，使得西=|丽，延长尸。到

G，使得P0=2P(j,则P是MB［C］的重心，设S=3S,则S.APB,=S.APC、=S=S,

由此能求出S,C:S“CA:S.B的值.

【详解】解：••・0是A4BC内一点，且满足2万+3方+4P(j=0,

PA+-PB+2PC=0.

2

___Q___

延长PB到均，使得西=e而，延长PC到G，使得七=2斤,

连结PB］、PC］、AG,则PA+PB；+PC'=0.

是A4B|C1的重心，

设S：、=3s,则5AA啊=S*APG=S四。=S,

c_21c_1c

S^PBC-个乂］'，一飞5,

\2

S&PCA=3S，S骋AB=3S,

S^BC-S^PCA-S*A5=§S:—S:—S=2:3:4.

故选：B.

【点睛】本题考查三个三角形面积之比的求法，考查向量、三角形重心定理等基础

知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，

属于中档题.

考点三四心与平面向量

（2020.内蒙古通辽）

10.设。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足

―•—•ABAC

。尸=04+2（次引一-+„―4C[0,4W）,则点P的轨迹经过AABC的

ABcosBL4CcosCL'

（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

【答案】C

【解析】

【分析】由丽.反^=丽.前得出结合三角形的性质得出答案.

___\

ABBCACBC

【详解】OPBC=OABC+Z+

AB|COSB|AC|cosC

/

=O4-fiC+/l(-|BC|+|BC|)=0X-BC

则而灰一丽•而=0，即而灰=0，故"，3c

即点P的轨迹经过AABC的垂心

故选：C

（上海市七宝中学2020学年）

11.已知。是AABC所在平面上的一点，角A、B、C所对的边分别为a力,c,若

前=gPA+bPB+fPC（其中p是AABC所在平面内任意一点），则。点是△ABC

a+b+c

的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】

【分析】将所给向量表达式进行变形，表示成而与正方向上的单位向量的形式，由

向量加法运算的性质即可知O在角平分线上，即可得解.

【详解】因为所=aPA+bPB+cPC

Q+0+C

则(a+0+C)P。=aPA+/?PB+cPC,即aPb+bPb+cPO=aPA+bPB+cPC

^^\^aPA-aPb+bPB-bPO+cPC-cPb=^

gpa(PA-pd)+z?(PB-pd)+c(FC-pd)=6

则a西+b砺+c元=6

因为砺=）+而，玩=苏+恁,

所以疝^+跳西+硝+C怦+硝=6

化简可得“34+6及+如通+<7讴+。才忑=6,即（。+力+，）。4=一8漏一（^4。

设7为福方向上的单位向量,］为恁方向上的单位向量

所以福=»,蓝=炉

则(a+h+c)OA=-bet-bej

(a+/?+c)OA=-hc^i+/)

所以方=-he

a+b+cG+7)

则。在ABAC的角平分线上

同理可知。在NCA4的角平分线上

因而0为八钻C的内心

故选:B

【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式，化简

过程较为复杂，属于中档题.

12.已知P是A4BC所在平面内一点，且满足网•无+|西•序+同•方=6,则点产

是A4BC的()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的运算法则将原式变为前=一°同+向+网产后+同同,

分析出|觉|-3+|可•丽与角C的角平分线共线即可得解.

【详解】由题：同.元+|配而+同.丽=0

即：|^B|-PC+|BC|-(PC+C4)+|C4|-(PC+CB)=O,

(|AB|+|BC|+|G4|)-PC+|BC|-C4+|C4|-CB=6,

,CACB

因为同土同与角。的角平分线共线,

所以|而|+|而|•丽=|阿•］网.与角C的角平分线共线,

所以定与角C的角平分线共线，即点尸在。的角平分线上,

同理可得点P在A5的角平分线上,

所以点P是AABC的内心.

故选：B

【点睛】此题考查利用平面向量解决三角形四心的问题，熟练掌握三角形四心的向

量表达形式便于快速解题.

AO-ABAO-ACCOCACOCB

13.平面内△回€：及一点。满足则点。

|AC|5同

是△ABC的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

【答案】B

【解析】

AOABAOACCOCACOCB

【分析］由一尸=i一=一尸=i一，一尸二i一=一产=i一可得

|AB|\AC\|CA||CB|

cos^AO,AB^=cos^AO,AC^,cos（CO,C4）=cos（CO,CB）,从而可知AO,CO是

角平分线，即可得点。的性质.

AO-ABAOAC

【详解】解知

@一\AC\

M网cos(而，码|Xd||Xc|cos^AO,AC^

R=R'

gpcos(AO,AB)=cos(AO,AC),即NB4O=NC4O,则AO是々AC的角平分

线，

同理cos（国,而）=cos（国,而），即ZACO=NBCO,则CO是ZACB的角平分

线,

则点。是△ABC的内心.

故选:B.

【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，考查了三角形的

“三心”.本题的关键是结合数量积运算得到NB4O=NC4O,NACO=NBCO.在三

角形中，中线的交点为重心，角平分线的交点为内心，高的交点为垂心，三边垂直

平分线的交点为外心.

考点四平面向量与其他知识综合运用

（2019•四川彭州中学）

14.已知AABC的重心为点P,若GsinA・丽+GsinB・丽+sinC=0,则角

B为()

5兀

A.

【答案】D

【解析】

【分析】由AABC的重心，可得丽=-而-定，代入题中等式，结合而，无不共

['百sin6-6sinA=0=

线，可得〈「，进而可求得B=A,sinC=Gsin8,求得角8即

[sinC-V3sinA=0

可.

【详解】取8C的中点。，由AABC的重心为点P,可得而=2而，又

PB+PC=2PD＞所以西=一万一定，

所以GsinA•（—而一1）+GsinB.而+sinC.定=6,

即PB•（esin5-GsinA）+PC-卜inC-V3sinAj=O,

Gsin8-6sinA=0

因为丽，无不共线，所以＜

sinC-GsinA=0

B=A

故，

sinC=bsinA=sinB'

所以sinC=sin（A+3）=sin2B=2sin3cosB,故2sinBcosB=V3sinB，

又sinB/O,所以COSB=«3,

2

因为3«0,兀），所以8=g

6

故选：D.

A

P

BDt

【点睛】本题考查平面向量在平面几何中的应用，考查三角函数恒等变换，考查学

生的计算求解能力，属于中档题.

(2020•黑龙江松北)

15.如图，已知点。为AABC的边上一点，BD=3DC，纥("M)为边AC的

一列点，满足瓦”为,向瓦^-(34+2)瓦万，其中实数列｛%｝中可>0,4=1,则

｛4｝的通项公式为()

A.3・2"-'-2B.2"-1C.3"-2D.2?4-

【答案】D

【解析】

【分析】结合向量的线性运算，得到递推公式4M=34+2,再通过构造等比数列求

通项公式.

【详解］解：V=-an+IEJB-(3a„+2)^D,西=丽-瓯=%反-瓯，

E^A=BA-BE^,

/向正(34+2)(言一叫=丽一碣

用+34+3）8及=函+4%+|）BC,

・.•纥（〃€«）为边AC的一列点，

193

+3""+3=1+/+2，

化为：«„+|=34+2,即an+]+1=3（。“+1）,

二数列U+D是等比数列,首项为2,公比为3.

4+1=2x3"T,即4=2x3"-1-1,

故选：D

（2020・湖南雁峰阳市八中高三其他（文））

2

16.已知A,3,P为双曲线/一匕=i上不同三点，且满足西+方=2用（0为坐

4

“2

标原点），直线PAP8的斜率记为n〃，则,”2+ZL的最小值为

4

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【详解】由西+方=24有点。为线段A8的中点，设A（x”x）,P（X2，y2）,则

5（一西,一,）,所以“二%-'，〃=%：一，故加〃='%+y’%―弘'二q-,

々一%x2+xt（%2+玉）@2—内）考一不

22

由于点A,B,P在双曲线上，所以x；吟=1,考若=1，代入上式中，有

mn1,\2、4，所以疗+•2=租”—4，故最小值为4.选B.

户一芳）4V4

点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直

线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题.首先得出原点为线段AB的中点,再

求出直线PA,PB斜率的表达式，算出，〃〃为定值，再由基本不等式求出最小值.

（2020•海南高三二模）

17.设点6是八45。的重心，且满足2sin3・AB+3sinA,GA+2sinC,GC=0,则

cosC=()

A.-B.\C.-D.—

43316

【答案】B

【解析】

【分析】

由点G是AABC的重心可得GA+GB+GC^O，利用正弦定理可得

2bAB+3aGA+2cGC=Q,贝I2b(GB-GA)+3aGA+2c-GC^0,即

(3a-2b)GA+2bGB+2cGC=0,可得c="a=?，进而利用余弦定理求解即可.

【详解】因为点G是AABC的重心，

所以至+E+面=0,

因为2sin8・A6+3sinA-GX+ZsinC-GW=0,

由正弦定理可得2b-A分+3a-6X+2c，C=0,

所以26(6万—瓦)+3a•瓦+2c・加=0,

—.—.一4

即(3a-2b)GA+2bGB+2cGC=0,故a=2c=3a—26则c="。=,

2.,2_22及+及一方

则由余弦定理可得COSC="二1C-=上--------=.

2ab2x”xb3

3

故选:B

【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查利用余弦定理求角，考查利用正弦定理

化角为边.

考点五平面向量在几何中最值

(2020•浙江高三其他)

18.已知AB是半圆。的直径，AB=2,等腰三角形OC。的顶点C、。在半圆弧A8

上运动，且OC=。。，NCOD=120。，点P是半圆弧A8上的动点，则定•丽的取

值范围（）

333

A.[一■]B.[一7,1]

444

C.D.「W]

222

【答案】C

【解析】

【分析】建立直角坐标系，设出点C、。、尸的坐标，利用向量的数量积运算和三角

函数的性质可得选项.

【详解】以点。为原点，AB为X轴,垂直于A8的直线为y轴建立直角坐标系，如下

图所示，

不妨取C（1,O）,则0[4，咚），设尸（cose,sina）（ae[0,加），

'on\11垂^•]1.11.（兀

PC-PD=（1-cos6Z,-sinc?）----cosa,----sina=-------sinrz——cosa=——sina+一

、，（22J2222（6

因为a"],所以暇呜"所以sin（英卜――,所以

【点睛】本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标

运算和转化为已知向量的方法，属于中档题.

（2020・湖南雨花雅礼中学高三其他（理））

19.已知四边形A8C。是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则

苏.（丽+丽）的最小值是（)

1

A.0B.——cD.-2

4-4

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得出

'网+阿T

TA{PB+PD^>-2,可得选项.

2

/

详解】作出图形如下图所示

国H罔丫

可.（丽+丽］丽.2司2-2国］.附2-2而此时

2

7

(V

|西卜|所卜乎，所以丽.（而+丽2PA+P0-；,当且仅当网=|同

2

7

时取等号，所以丽•（而+两）的最小值是-;,

故选：B.

【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最

值，属于中档题.

（2019・武邑宏达学校高一月考）

20.在A4BC中，43=2AC=6,丽.而=丽？，点p是所在平面内的一

点，则当序2+而2+定2取得最小值时，APBC=

32

A.B.—9C.7D.----

55

【答案】B

【解析】

【分析】由题意结合平面向量的定义可得NCA8=1,建立平面直角坐标系，结合

平面向量的坐标运算法则确定当中2+而2+PC取得最小值时点P的坐标，然后求

解丽•配的值即可.

【详解】•：BABC=\BA\-\BC\cosB=\BA\1,BC|-cos