2022年安徽省六安市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年安徽省六安市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

2.

3.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

4.

5.

6.设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有

A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量

B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量

D.f(x)与g(x)为等价无穷小量

7.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件8.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

9.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f(x)=0有（）。A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根

10.

11.

A.arcsinb－arcsina

B.

C.arcsinx

D.0

12.

13.

14.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的阶数为

A.1B.2C.3D.415.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

16.

17.

18.A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续

19.

20.

A.1B.0C.-1D.-2二、填空题(20题)21.

22.设f(x)在x=1处连续，=2，则=________。23.24.

25.

26.

27.幂级数的收敛半径为______.

28.

29.过原点（0，0，0）且垂直于向量（1，1，1）的平面方程为________。30.幂级数

的收敛半径为________。31.

32.

33.

34.

35.

36.设f(x)在x=1处连续，37.

38.设y=ex，则dy=_________。

39.

40.

三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．44.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

46.

47.证明：

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.50.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求曲线在点(1，3)处的切线方程．53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

54.

55.56.57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．59.求微分方程的通解．60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．四、解答题(10题)61.

62.

63.y=xlnx的极值与极值点．

64.

65.66.67.68.设z=f(xy，x2)，其中f(x，y)有连续偏导数，求69.70.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．五、高等数学(0题)71.

则f(x)=_________。

六、解答题(0题)72.(本题满分10分)将f(x)＝ln(1＋x2)展开为x的幂级数．

参考答案

1.D解析：

2.A解析：

3.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

4.B

5.D解析：

6.C

7.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

8.B本题考查了一阶线性齐次方程的知识点。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解时也可用变量分离.

9.B

10.A

11.D

本题考查的知识点为定积分的性质．

故应选D．

12.C解析：

13.C

14.B

15.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

16.A

17.B

18.B

19.D

20.A

本题考查的知识点为导数公式．

可知应选A．

21.322.由连续函数的充要条件知f(x)在x0处连续，则。23.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。24.1．

本题考查的知识点为函数连续性的概念．

25.(-∞2)

26.1本题考查了一阶导数的知识点。

27.3

28.(-∞0]29.x+y+z=030.所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径R==1。31.0

本题考查的知识点为无穷小量的性质．

32.y=f(0)

33.[*]

34.

解析：

35.+∞(发散)+∞(发散)36.2本题考查的知识点为：连续性与极限的关系；左极限、右极限与极限的关系．

由于f(x)在x=1处连续，可知必定存在，由于，可知=37.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导．

38.exdx

39.0

40.

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％42.由一阶线性微分方程通解公式有

43.

44.由等价无穷小量的定义可知

45.

46.

47.

48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

49.

50.

则

51.

52.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

53.函数的定义域为

注意

54.

55.

56.

57.

列表：

说明

58.

59.60.由二重积分物理意义知

61.

62.

63.y=xlnx的定义域为x＞0y'=1+lnx．令y'=0得驻点x1=e-1．当0＜x＜e-1时y'＜0；当e-1＜x时y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点．极小值为y=xlnx的定义域为x＞0y'=1+lnx．令y'=0得驻点x1=e-1．当0＜x＜e-1时，y'＜0；当e-1＜x时，y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点．极小值为

64.

65.66.本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题。

极小值点为x=一1，极小值为曲线的凹区间为(一2，+∞)；曲线的凸区间为(一∞，一2)；

67.

68.本题考查的知识点为求抽象函数的偏导数．

已知z：f(xy，x2)，其中f(x，y)有连续偏导数，求．通常有两种求解方法．

解法1令f'i表示厂对第i个位置变元的偏导数，则

这里应指出，这是当每个位置变元对x的偏导数易求时，才采用此方法．相仿可解

有必要指出，由于第二个位置变元不依赖y，因此第二个位置变元对y的偏导数为0．

解法2令u=xy，v=x2，则z=f(u，v)．

69.70.相应的齐次微分方程为y"-y'-2y=0．其特征方程为r2-r-2=0．其特征根为r1=-1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)=3ex，1不是其特征根，设非齐次方程的特解为y*=Aex．代入原方程可得

原方程的通解为

本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程．

由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解y=相应齐次方程的通解Y+非齐次方程的一个特解y