专题6-2 角【十二大题型】（原卷版）

专题6.2角【十二大题型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1角的概念及角的度量】 2【题型2角的单位及其换算】 2【题型3角的计数问题】 3【题型4钟面上角的特征】 4【题型5方向角】 5【题型6与角平分线相关的角的运算】 7【题型7与角n等分线相关的角的运算】 8【题型8在三角板中的角的运算】 11【题型9余角和补角的计算】 13【题型10同（等）角的余角和补角相等的运用】 14【题型11对顶角的识别及其性质】 16【题型12点到直线的距离、垂线段最短】 17【知识点1角的概念】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．【知识点2角的表示方法】表示方法A图例A记法适用范围用三个大写字母表示BOBOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AAA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示111任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示【题型1角的概念及角的度量】【例1】（2022·甘肃兰州·七年级期末）下列说法中正确的是（

）A．由两条射线组成的图形叫做角B．角的大小与角的两边长度有关C．角的两边是两条射线D．用放大镜看一个角，角的度数变大了【变式1-1】（2022·山东淄博·期中）∠ACB的两边分别是（

A．射线AC、BC B．射线CA，CB C．线段AC，BC D．直线CA，CB【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为______°．【变式1-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（

）A．∠AOB也可用∠O来表示B．∠β与∠BOC是同一个角C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠1与∠AOB是同一个角【题型2角的单位及其换算】【例2】（2022·山东烟台·期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【变式2-1】（2022·全国·七年级单元测试）下面等式成立的是（

）A．83.5°=83C．15°48'【变式2-2】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．【变式2-3】（2022·天津南开·七年级期末）如图1是一个14【题型3角的计数问题】【例3】（2022·福建龙岩·七年级期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A．165 B．186 C．199 D．210【变式3-1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，∠AOB=90°，则图中锐角有（）A．12个 B．14个 C．15个 D．16个【变式3-2】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式3-3】（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（

）A．8个锐角，6个直角，2个钝角 B．12个锐角，9个直角，2个钝角C．8个锐角，10个直角，2个钝角 D．6个锐角，8个直角，2个钝角【知识点3钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【题型4钟面上角的特征】【例4】（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．3时30分，时针与分针的夹角是90° B．6时30分，时针与分针重合C．8时45分，时针与分针的夹角是30° D．9时整，时针与分针的夹角是90°【变式4-1】（2022·河南洛阳·七年级期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【变式4-2】（2022·山东烟台·期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时的时刻是______．【变式4-3】（2022·全国·七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．一天24小时中，当钟面角为0°时，时针与分针重合_____次．【知识点4方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【题型5方向角】【例5】（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（

）A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85° B．105° C．125° D．160°【变式5-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，渔船A的方向可以由距小岛20km和在小岛的西南方向这两个数据来确定．问：(1)渔船B相对小岛的位置应怎样表述？(2)小岛的北偏东30°方向，距离小岛30km处是哪艘渔船？【变式5-3】（2022·重庆綦江·七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“红军”两方．蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如图）．部队司令部在C地．C在A的北偏东60°方向上、在B的北偏东30°方向上．(1)∠BAC=______°；(2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到C地汇报各自的准备情况．红军一辆吉普车从B地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地．已知吉普车行驶了18分钟．A到C的距离是B到C的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）．【知识点5角的比较与运算】角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【知识点6角的和、差关系】如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．【知识点7角平分线】从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【题型6与角平分线相关的角的运算】【例6】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，(1)如图1，当OC在OB左侧，且α=80∘(2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE的大小与α(3)当∠DOE的度数为36°时，请直接写出α【变式6-1】（2022·山东烟台·期末）有公共顶点的两个角，∠AOB=∠COD，且OE为∠BOC的角平分线．(1)如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由；(2)如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；(3)若∠AOB=90°，∠AOC=64°，求出∠BOE的度数．【变式6-2】（2022·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【变式6-3】（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗教学研究室七年级期末）已知∠AOB内部有三条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“平分”条件改为“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度数为．【题型7与角n等分线相关的角的运算】【例7】（2022·贵州毕节·七年级阶段练习）如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝13∠ECA，∠FCE＝13∠(1)求∠DCF的大小，并说明理由；(2)当∠DCE＝1n∠ECA，∠FCE＝1n∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含【变式7-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝1n∠BOC，∠BOD＝1n∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含【变式7-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知:∠AOB和∠COD是直角．（1）如图，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；（2）如图2，当射线OA,射线OB都在∠COD外部时，过点О作射线OE，射线OF，满足∠BOE=13∠BOC，∠DOF=（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF:∠GOE=2:3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．【变式7-3】（2022·江苏淮安·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为（用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？【题型8在三角板中的角的运算】【例8】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）将一副三角板如图1摆放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．(1)∠MON=___________；(2)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图2的位置，求∠MON；(3)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图3的位置，求∠MON．【变式8-1】（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．【变式8-2】（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板ABC、ADE按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（∠EAD=30°、∠BAC=45°），并将三角板ABC绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持0°<∠CAD≤30°．(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则∠BAD=____；(2)在旋转过程中，如图3，当∠BAE=30°时．请说明AC平分∠DAE；(3)在旋转过程中，如图4，当∠BAE=4∠CAD时，求此时∠CAE的度数．【变式8-3】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=______；(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=______；②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE的数量关系为______；(3)将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=15∠AOE，求此时【知识点8余角和补角】（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．【题型9余角和补角的计算】【例9】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度数．(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的补角的15【变式9-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)图中∠AOD的补角是和；∠BOD的余角是和．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度数．【变式9-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．【题型10同（等）角的余角和补角相等的运用】【例10】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，AOE是一条直线，OB⊥AE,OC⊥OD，图中互补的角有（

）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【变式10-2】（2022·河北秦皇岛·七年级期中）如图，已知直线AB、CD、EF、MN相交于点O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，图中∠EOC的余角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-3】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，∠AOB=90°，直线b经过点O．在下面的五个式子中：①180°−∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3−2∠1−∠2；⑤180°−∠1，等于∠2的补角的式子的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【题型11对顶角的识别及其性质】【例11】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B．C． D．【变式11-1】（2022·广东·