2015级硕士研究生凝聚态物理导论考试题目及答案(自己整理)

文档编号：YLWK1766172015年“凝聚态物理导论”课程考试题目（2015级硕士研究生，2016年1月）一、简答题（合计30分，要求给出简洁和准确的解答，字数不少于1000字）1.固体物理学的范式？。[1]2.凝聚态物理学的新范式？（2）元激发（3）缺陷（4）临界区域等四个不同的层次，而且这些层次之间又彼此相互关联。[2]3.Hartree-Fock近似？答：总的来看，Hartree-Fock近似是一种对“原子核和周围与其保持电中Hartree所有电子构成的电荷分布（通过）所决定的场里，引入电子之间的相互Ψ2作用势：eΨr212Vrdr（1）ijrriji0jiij来代替原先Hamilton量中的电子之间的相互作用势。之所以称为“自洽”是因为最终的方程组可以通过自洽的方式求解。另外一方面，如果考虑电子的自旋，总波函数相对于互换一对电子应是子的交换能。e12rdrdr（2）Errrr8ijrij0ij结合以上两种处理就是Hartree-Fock近似。4.密度泛函理论？答：密度泛函理论的含义从其英文“Densityfunctionaltheory”更能直观的反映出来，它应用“电子密度泛函数”来处理多体问题。而泛函数通常向量空间到实数的一个映射[3]文档编号：YLWK176617子实看作是不动（波恩-奥本海默近似）的时候，那么静态电子态的波动方程(r,...,r)将满足下面的静态薛定尔方程：1N2Ur,rˆˆˆˆΨTVUΨNNNΨΨ（3）HVrE22miiijiiiijHartree-Fock方系统。而密度泛函理论（以下DFT表示）则提供了一种从Hohenberg-Kohn定理,即体系的基态唯一的决定于电子密度的分布出发，通过自洽迭代求[4]解单电子多体薛定谔方程，的3N个空间变量直接减少到DFT中最主要的n(r)变量是粒子密度nr，对于一个归一化的有：ΨdrΨr,r,,rΨr,r,,r（4）（5）Ndr332N2N2N通过一系列变换与计算，可以得出单粒子有效势为：enr2VrVrdrVnrs3rrsXCsHartree最后一项是交换-关联势。5.绝热近似？答：相比于前两个问题中的Hartree-Fock近似与密度泛函理论，绝热近似是一种更加基础的近似。我们知道，固体晶格阵列的Hamilton量由五项组成，具体形式如下：1Ze222N2HRR222M2mpipppqii0pq1e122rR（6）rr0iji,pij0ip在固体物理学问题中在许多问题中，起作用的只是最外层电子，即价电子，归入，而相应的调整值，其次由于离子实的质量要远比电子大得多，ZMp相应的，其特征速度要比电子速度慢得多，所以不妨将离子实视为静止的，绝热近似”[5]谔方程的第一项（为0），第二项（为常数）都可以被略去，于是只剩下下面简化得多的Hamilton量：1e1N222rR（7）H22mrriii0ij0i,pijip文档编号：YLWK1766176.元激发？法加以阐述。二、论述题（合计70分，要求给予充分的论述，字数不少于6000字）1.相变和临界现象答：（一）相变：相是物理性质和化学性质完全相同且均匀的部分。具有特点：（1）相与相之间有分界面，可以用机械方法将他们分开。（2）系统中存在的相[6]可以是稳定、亚稳或不稳定的（当某相的自由能最低时，该相处于平衡态；稳态；若不存在这种能垒，则该系统处于非稳定态，这种状态是不稳定的，一定会向平衡态或者亚稳态转变）。（3）系统在某一热力学的条件下，只有当能量具有最小值的相才是最稳定的。（4）系统的热力学条件改变时，自由能会发生变化，相的结构也相应发生变化。[7]随着自由能的变化而发生的相的结构的变化称为相变，它指在外界条件发生变化的过程中，系统的相于某一特定条件下发生突变。连续变化。（3）某些物理性质的突变。相变的分类:我们从热力学角度（从其他角度也可进行分类），根据其中，一级相变指在临界温度、压力时，两相化学位相等，但化学位的一阶在临界温度、临界压力时，两相化学势相等，其化学位的一阶偏导数相等，而二阶偏导数不相等的相变。在临界温度、临界压力时，一阶，二阶偏导数的相变人们称为高级相变。波色-爱因斯坦凝聚就是一种三级相变。（二）临界现象有动力降低。临界现象包括不同量之间的标度关系，由临界指数描述的标[8]度律的发散，普适性，分形行为，遍历破缺等。临界现象一般发生在二级相变中，不过也不全是如此。2.有序相、无序相、序参量答：（一）有序相和无序相：[9]），当温度较低时，不同种类的原子在点阵位置上呈规则的周期型排列，文档编号：YLWK176617称有序相[10]对于体积恒定的系统，平衡态要求自由能：FFETS取极小值（为热力学温度，为系统的熵），在高温时的极小值与系统（8）TSF最大熵值有关，因而趋向于无序态；而在低温下，中内能占优势，平衡态F[11]式中两相的相对重要性。晶体由有序相转变为无序相称为有序-无序相变。有序化转变包括：位置有序化，位向有序化，电子旋转态的有序化和结构中缺陷引起的有序化。（二）序参量Landau在描述二级相变理论的过程中引入了一个热力学平衡条件决定的宏观变量——序参量（orderparameter）来描述有序-无序相变。序参[8]零（无序）连续地变为非零值（有序）。序参量的数值大小表示这个相的有序程度，数值越大，有序度越高，对称性越差，反之则有序性越低，对称性越高。对于二级相变，温度大于临界温度时，也就是说在高对称相中，序参决定。所以，序参量反映的是低对称相的对称性。件要求，奇次幂系数为零，且四次方项系数大于零：[2]（9）F,TFTATBT240AT)AT)应改变符号；而在某个临界温度T处，有T)0。通过一些计算，可以得c到自由能和序参量的关系如图1所示：cF图1.自由能和序参量的关系示意图F当有序固溶体升温时，它向无序状态的改变，并不都是在临界温度下完成的，在接近临界温度时，有序相逐渐降低，离临界温度愈近转变愈快，到临界点，长程有序度完全消失；但是也有一些情况是，在临界温度以下，有文档编号：YLWK176617一阶相变[12]有关。有序度又分为长程有序度和短程有序度，这里不作详述。[13]3.临界指数和标度规律。答：（一）临界指数用幂指数来描述一些热力学量在临界点邻域内的特性，其幂（负幂次）exponent）。人们实验发现，在临界点附近物[14]质特性的物理量与温度之间的关系均可以写成，称为临界指数。TTTc这些指数与平均场理论不符，之后卡达诺夫指出标度律（PowerLaw）概念的重要性，在临界点附近粒子之间的关联、涨落起重要作用。尽管没得到完全证明，人们认为临界指数具有普适性，它不依赖于物理dimensionofthesystem）；（2）相互作用的范围（therangeoftheinteraction）；（3）自旋维度（thespindimension）。这些临界指数的性质得到了实验数据支持，并且在高维数（维数大于等平均场理论（Meanfieldtheory）就不再适应了，这时，需要借助重整化群理论（Renormalizationgrouptheory）才能合理的说明。相变和临界指数同样可以出现在渗流系统以及随机图等中。下面将给出一个数学解释:相变发生在一个特定的温度，称为临界温度T，人们想从标度规律的角c度研究临界温度附近的比自由能（Specificfreeenergy）的变化行为。fTTTemperature）可以看出:cTc当时，发生相变，定义临界指数：0logfdefklim（10）log0而我们要寻找f,0，值得注意的是，当时，的渐0fk进行为。更加普遍地，我们可以得到：A1b1（11）fkk（二）标度规律law）描述了两个量之间的函数关系，[15]四倍。律提供了非常简便的方法：（1）标度不变性（Scaleinvariance）：我们考虑一个关系fxax，k如果我们用一个常数乘以参数，这对于上述关系本身，只会起到比例缩xc文档编号：YLWK176617cfxfxk放的作用，因为：fak（2）缺乏定义很好的平均值（mean）：一个标度规律只有当时，a2xa在时才可能有有限xa3以很好定义但方差不能很好定义的指数，这意味着它们满足“黑天鹅行为（blackswanbehavior）”。这导致了我们在研究标度行为时，基于方[16]差和标准差的传统统计学将不再适应。（3）普适性（Universality）：具有着特定指数的标度律等式在动力学过在这里，系统的临界点是吸引子（attractor）。这种相通的动力学性质的同一个普适类（UniversalityClass）。4.平均场理论和Landau相变理论答：（一）平均场理论（Meanfieldtheory）在物理和概率论中，平均场理论（MFT，同时也被称为自洽场理论）[17]求解，除了一些极为简单的模型（如随机场模型和一维Ising模型）。归纳起来，MFT借助选择一个合适的外场，用一个单体问题来取代这种多体问题，这种外场的作用取代了所有其他的粒子与任何粒子的相互作用。Hamiltonian量中MFTfield）。在可以用平均场周围的波动振幅展开，而MFT就可以看成是零级展开，这也意味着MFT中没有波动，但是这却和“平均场”的意义为研究一阶，二阶波动方程提供了一个很好的起点。MFT系统或者有长程力的系统时，都很适应。Ginzburgcriterion就是描述用MFT描述一个波动时适合程度的标准，它依据的就是所处理系统的粒子维度。下面给出平均场理论的数学描述：对平均场理论的正式描述是基于是Bogoliubovinequality的，一个系统的自由能的Hamiltonian为：HHH，存在上界：0defFFHTS（12）000文档编号：YLWK176617S是熵，平均值取自Hamiltonian为H的辅助系统的平衡系综。这里所选00取的辅助系统是无相互作用的，因此NHh（13）0iii1这里是统计系统（原子，自旋等）中一个单独部分的自由度的简写，我i们可以通过最小化不等式右边项来锐化上限。用无关联自由度（non-correlateddegreesoffreedom）的最小参考系统（minimizingreferencesystem）能最接近真实系统，这被称为平均场近似。对于最一般的情况，目标Hamiltonian只含有两两的相互作用V,（14）Hijiji,jP这里是相互作用对，定义Trf为可观测量在所有单个组成部分的自fPii由度的和（对于离散变量取和，连续变量则求积分）。可以得到，接近的自由能为：,,...,NFTrH,,...,PN01,2,...,N12012N,,...,logPN（15）kTTrP,,...,N1,2,...,N012N012N这里是找到特定参考系统的概率，它通过Boltzmann,PN012Nfactor来归一化：11NNPi（16）P,,...,eeH,hN012NiiZZ012NN0ii1i100这Z里为配分函数，那么0,PPPiNF（17）ji0i,jij0ji0i0ii,jPi1为了实现最小化，我们对单个组成部分的自由度概率取导数，使用Pi0拉格朗日乘子来确保归一化，最终的结果是一个自洽的等式：1iiN（18）PehiiZ0i0平均场为：（19）hMFiVj,Pjii,jij0jji,jP（二）Landau相变理论（Landautheory）Landau相变理论的提出是为了阐述一般连续相变（或二阶相变）过[18]程。Landau文档编号：YLWK176617HamiltonianofHamiltonian）根据这两个条件，就可以写出自由能在序参量下的泰勒展开形式。下面以Ising模型为例做一个简单说明：在Ising模型中，相变点附近的自由能可以写为以下的形式：24FarsH（20）这里是自旋的粗粒子场（coarse-grainedfieldofspins），我们一般可以省略4统稳定，具有最高幂的序参量的系数必须大于零，在这种情况下，因s0Tc量从0变为非零量，当参量的符号改变时，我们可以用把参量表示成温rr度的函数rrTT，其中r是一个与时间无关的常数，同时常数也a0c0可以被省略。Landau相变理论的应用十分广泛，在不知道参量和值的情况下，临sr界指数仍能被简单计算出，它只依赖于对称性和解析性的假设，在Ising模型中，序参量为：rTT（21）0c2s以上考虑的是无长程关联（nolong-rangecorrelation）的情况，对于包含长程关联（includinglong-rangecorrection）的情况,我们还用上述Ising模型来做说明：假设序参量和外加磁场H正为：2xfTxFdxaTrTxsTD24（22）（23）hxx;64这里面是总的空间变化维度，最终可以得到：DxeHxZ5.普适类（Universalityclass）[19]满足在重整化群流的过程中具有共同的标度不变性极限，在有限的标度下，临界指数,对于同一类中的所有模型都是适应的。由于关联长度趋于无穷，临界点附近不同体系的共性掩盖了个性的差异。[20]六十年代后期，在总结实验事实的基础上，人们提出了关于普适性的假设：各种物理系统按若干特征分为不同的普适类,同一体系具有相同的临界指数和临界行为。区分普适类的主要特征是空间维数，内部自由度数目nd和力程的长短。人们还发现，对于三维以上的维度，起到主要作用，二维d文档编号：YLWK176617以下，更加重要。临界行为与晶体的对称、相互作用的性质等因素都没有n结果与数，及力程的长短均无关，甚至不存在相变的情况下也预言了相dn适类。以临界指数为例，对于为0.335，对于液氦超流相变MnFn12n23为0.354，对于CrBrn3为0.368。[21]说，我们能问一个系统是否有Hamiltonian量HJSSDS（24）2zijii,ji空间维度为3的这个系统和同性Heisenberg模型具有相同的临界指数。这表明这个模型和的Ising模型有相同的临界行为。Jasnow和n1Wortis证明了空间维数是一个很重要的参数，他们研究了经典转动系统的HamiltonianHJSSSS（25）zzjijii,j在基态Hamiltonian中，当时，，当时，，当任意0n30n1时变成了Ising基态。[22]6.标度不变性（Scaleinvariance）[23]的数学形式在问题3Wienerprocess就是一种标度不变现象。图2Wienerprocess我们常用扩张（dilatation）这个术语来描述这些变化，而扩张可以形成更大的共形对称性（conformalsymmetry）。在数学中，标度不变性常常指单个公式或者曲线线形的不变性，一个非常相关的概念是自相似性（Self-similarity），满足自相似性的公式或者distributions）或者随机过程（randomprocess）都有可能存在某种标度不变性或者自相似性。这种理论往往描述了不考虑特征长度尺度下的经典物理过程。在量子场论中，标度不变性有基于粒子物理的理论解释。在量子标度不变性理论中，粒子相互作用力不依赖于参与其中的粒子。文档编号：YLWK176617在统计力学中，标度不变性是相变的一个重要特点。其中，最主要的发现是，在临近相变或者说是在临界点附近，在所有的标度上都会发生涨落，标度不变性统计场理论（Scale-invariantstatisticalfieldtheory）。是事实上，这和标度不变量子场论很相似。普适性的发现告诉我们一些很不相同的微观系统在一个相变过程中有着一样的行为。因此，在许多不同系统中的相变过程可以在一个共同的更加根本的标度不变性理论下进行描述。一般情况下，无量纲量（dimensionlessquantities）都是换标不变量（scalemoments），它们是变量统计下的换标不变量，而非标准化力矩则不属于其中。除此之外，标度不变性还有其他很多应用，如：不施加外力条件下的牛顿流体力学，计算机视觉技术（Computervision）等.......7.重整化群理论（Renormalizationgroup）是一种数学工具，它允许在不同[24]的距离标度下研究物理系统的变化（allowssystematicinvestigationofthechangesofphysicalsystemasviewedatdifferentdistance化：处于物理过程发生变化的能量标度时，能量/动量以及分辨距离标度在测不准原理下的有效共轭。标度上的一个变化叫做“标度转换（scaletransformation）”。重整会与原子，基本粒子，原子自旋有关联。它们可能是可变的耦合量，用来测这些组成部分可能更多地由相同的组成部分构成（Thecomponentthemselvesmayappeartobecomposedofmoreoftheself-samecomponentswhenonegoestoshorter量子电动力学中（quantumelectrodynamics），一个电子可以由电子群，正电子和光子组成，当我们在非常短的距离,以一个更高的分辨率去观察它的时候，在如此短距离下的电子与在远距离观察下的“裹电子（dressedelectron）”相比，电量有一些不同，这种在电量上的变化可以由重整化群等式（Renormalizationgroupequation）给出。下面给出一种重整化[25]群等式的具体形式。Wilson具体重整化群公式从概念上讲是最简单的一种重整化群公式，rotation）p，因此只存在小于的自由度，因此配分函数为：22文档编号：YLWK176617DS（26）的Zp22对于任意满足的（一个在傅里叶变换满足p0S22的配置域上）为：def（27）（28）expSDexpSp那么，我们就可以得到配分函数：DSZp228.列出物理学中三种典型的相变和临界过程答：三种典型的相变和临界过程分别为：一级相变（First-orderphasetransformation），二级相变（Second-orderphasetransition），无限相变（infinite-orderphasetransition）[8]heat）的问题，在一级相变过程中，系统单位体积吸收或放出固定量（一般是比较大）的能量。而且在固（以及等离子体）之间的相变过程）：等离子体—固体液体气体液化—电离—等离子体—重组表1相变相变条件下图所示：图3Phasetransition文档编号：YLWK176617phasetransition），在临界点附近以及关联的标度律减弱来描述，二级相变的实例有铁磁相变（ferromagnetictransition），超导相变（对于第一类超导体，零外场时的相变为二级相变；对于第二类超导体，normalstate-mixedstatemixed-superconductingstate都是二级相变）和超流相变。与粘性度（viscosity）相比，在玻璃的相变温度点，系统的热扩散和非晶材料的热[26]容量表现出了一种关联的突然改变,相变温度确保了差示扫描热量