2022年中考数学压轴题附答案解析

2022年中考数学压轴题

1.抛物线y=f+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y=x+2与抛物线交于4B

两点（点/在点5的左侧）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点尸是抛物线上一点，若S/}B=2S&ABC，求点P的坐标；

（3）将直线Z8上下平移，平移后的直线y=x+/与抛物线交于4,夕两点（H在9的左

侧），当以点4,夕和（2）中第二象限的点尸为顶点的三角形是直角三角形时，求f的值.

(△=(m+2)2-16=0

畔>0

L

解得m=-6.

，抛物线的函数表达式是y=y-4x+4；

（2）如图1,过点。作CE〃力8交》轴于点区设直线48交y轴于点H.

由直线4氏y=x+2f得点〃（0,2）.

设直线CE：y=x+b.

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V^^x2-4x+4=(x-2)2,

：.C(2,0).

2+6=0,贝！]6=-2.

:.HE=4.

由S&IHB=2S&ABC,

可在y轴上且点//上方取一点F,使E/Z=2〃E,则F(0,10).

过点F作FP//AB交抛物线于点尸1、Pi.此时满足S△以8=2品《蛇，

设直线尸1、P2的函数解析式为：y=x+k.

VF(0,10)在直线Pi、尸2上，

.,.k—10.

直线尸1、P2的函数解析式为：y=x+10.

联立gk

解啮:丁I,

综上，满足条件的点P的坐标是Pi(-1,9),P2(6,16)；

(3)设/'(xi，y]),B'(%2，”)，

显然，NR4,B'W90°.

(i)如图2,当NHB'P=90°时，过点夕作直线肋V〃y轴，A'M_LMN于A/,PN

_LMV于N.

:直线B'的解析式是y=x+f,

:.乙B'/M=45°.

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进一步可得到△，夕M,XPB'N都是等腰直角三角形.

:・PN=NB',

.•.X2+1=9-歹2，即工2+72=8①

又”=X2+Z，②

X?=4—T-t

联立①②解得｛:.

32=4+讶t

将点(4-$4+,t)代入二次函数解析式，得4+，t=(4——2)2

解得力=0,f2=10(此时点H与点。重合，舍去)；

②如图3,当NHPB'=90°时，过点尸作轴，HELEF于E,夕F_LEF于

则EPs^PFB'.

.，ePF

"7F-而

.\+1_及-9

2-力亚+1’

AXIX2+(xi+x2)+1=9(yi^2)-yiy2-81.

令»-4x+4=x+3贝ijX2-5x+4-t=0.

则X\+X2=5,X1X2-4-t.

y\-^-y2—(xi+z)+(%2+f)=xi+x2+2f=5+2f.

y\y2=(xi+f)(JQ+Z)=x\x2+t(xi+、2)+理=於+4什4.

:.(4一，)+5+1=9(5+2f)一(户+4什4)-81.

整理，得15什50=0.

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解得八=5,f2=10(舍去).

综上所述，，的值是0或5.

2.已知直线八：y=-x+方与x轴交于点4,直线/2：y=学与x轴交于点5,直线4、

12交于点C,且C点的横坐标为1.

(1)如图1，过点”作x轴的垂线，若点尸(x,2)为垂线上的一个点，。是y轴上一

动点,若&cp0=5,求此时点0的坐标；

(2)若尸在过/作x轴的垂线上，点。为y轴上的一个动点，当CP+P0+QN的值最小

时，求此时P的坐标；

(3)如图2,点E的坐标为(-2,0),将直线/1绕点C旋转，使旋转后的直线/3刚好

过点E,过点C作平行于x轴的直线/4,点〃、N分别为直线*/4上的两个动点，是否

存在点〃、N,使得是以M点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点

的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)直线注尸会4一1号A，令尸1,则尸-4,故C(l,-4),

把C(I,-4)代入直线/1：y—-x+b,得：b=-3,则/i为：y—-x-3,所以4(-3,

0),

所以点尸坐标为(-3,2),如图，设直线4C交V轴于点收，

设心尸…得：色工/7,解得『二23

-1.5x-2.5，即M(0,-2.5).

S^CPQ=(xc-孙)=13c+2.5)X4=5,解得：％=0或-5,

二。的坐标为(0,0)或(0,-5)；

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（2）确定。关于过/垂线的对称点C'（-7,-4）、4关于y轴的对称点（3,0）,

连接力'C交过N点的垂线与点P,交y轴于点0,此时，CP+P0+0N的值最小，

将点/'、C点的坐标代入一次函数表达式：y=%'x+b'得：

则直线HC'的表达式为:尸|尸|，

即点P的坐标为（-3,一竽），

（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：

①当点M在直线/4上方时，设点N（〃，-4）,点M（s,一3—?），点8（4,0）,

过点N、8分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点??、S,

•：NRMN+NRNM=90°,ZRMN+ZSMR=90°,

：.ZSMR^ZRNM,

2MRN=NMSB=90°,MN=MB,

：./\MSB^/\NRM(44S),

：.RN=MS,RM=SB,

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48一.

一亍$-亍+4=4-s(

48，解得：｛s=-4

n=-16'

s_n=__s__

故点N的坐标为(-16,-4),

②当点M在/4下方时，

同理可得：N(-4,-4),

即：点N的坐标为(一竽，-4)或(76,-4).

3.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.直线N8：y-mx+Sm(加20)交x

轴负半轴于/,交y轴正半轴于8,直线8C：y^nx+2n(n^O)交x轴负半轴于C,且

ZOAB=2ZOBC.

(1)求"?、n的值;

(2)点0)是x轴上一动点，过P作y轴的平行线，交48于。，交BC于R,设

QR=d,求d与/的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当点尸在线段0/上，且d=9时，作点。关于y轴的对称点7,

连接CT,过8作引7_LCT于“，在直线力8上取点过A/作〃。//交直线8c于

点N,若以。、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

解：(1)直线N8：y=mx+Sm则点/、B的坐标分别为(-8,0),(0,8m),

则2〃=8加，〃=4加，同理可得：点C(-2,0),

找点C关于y轴的对称点C'(2,0),连接8C',过点C作CH_L8C'于点”，

设NO8C=a,则N8CC'=2a=ZOAB,BC'=V4+64m2,

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在△8CC'中，S^BCC=|CC;XOB^^CHXBC',

即：4X8m=CHXBC'，贝lj

BC'

则sinZCBC'=sin2a=—=,32m

BC'，4+64m2

在△048中，tan/O48=tan2a=阳,贝心=五福’

327n12

故/不=r解得：m-9，则〃=3；

V4+647712V1+7H24

(2)直线/5：y=1r+6,直线8C：y=3x+6,

3

则点。、R的坐标分别为（37+6）,（/,3/+6）,

4

①当点尸在y轴左侧时，

d=QR=*+6-3t-6=-%,

②当点尸在y轴右侧时,

,9

d=43

(9

~rtft>0

HP：d=C；

—41，tvo

(3)①当点N在点B下方时,

当d=9时，f=4,即点尸（-4,0）,则点。（-4,3）,点T（4,3）,

将点C、7的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线C7的表达式为：y=*x+l…①，

BHVCT,则直线表达式中的《为-2,

同理可得直线BH的表达式为：y=-2x+6…②,

联立①②并解得：点，（2,2）,

过点H作“K_Lx轴，则OK=KH=2,

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3

设点A/、N的坐标分别为(加，—m+6),N(〃，3〃+6),

4

故点M作丁轴的平行线交故点N于x轴的平行线于点G,

。、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

则NG=MG=2,

3

即：m-n=2二加-3〃=2,

f4

解得：n=-1,

②当点〃在点8上方时，

7

同理可得：〃=g，

…220

故点N(-,—)；

216220

综上，点N(-g,—)或(R—

y393

4.如图，在中，乙＜8=90°,。为Z8边上的一点，以/。为直径的。。交5c

于点E,交NC于点R过点C作CGL48交N8于点G,交AE于点、H,过点E的弦EP

交于点。(EP不是直径)，点0为弦£尸的中点，连结8P,8P恰好为。。的切线.

(1)求证：8C是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

3_

(3)若sinN/8CF，ZC=15,求四边形的面积.

(1)证明：连接O£,OP,

•.7。为直径，点。为弦EP的中点,

.•.PEJ_48,点。为弦EP的中点，

：.AB垂直平分EP,

:.PB=BE,

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°：OE=OP,OB=OB,

:•△BEOQXBPO(SSS),

:・/BEO=/BPO,

〈BP为OO的切线，

：./BPO=90°,

：.ZBEO=90°,

：・OE工BC,

・・・8C是。。的切线.

(2)证明：♦：NBEO=/ACB=90°,

：.AC//OE,

：.NCAE=NOEA,

u

：OA=OEf

ZEAO=ZAEO9

:./CAE=/EAO,

：.EF=ED.

(3)解：:力。为的OO直径，点。为弦EP的中点,

：.EPLAB,

\'CG±ABf

:.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZAEO,

•；OA=OE,

：・/EAQ=NAEO,

:・/CAE=NEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

:•△ACEqAAQE(AAS)f

：.CE=QE,

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

AZCEH=/AHG,

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*/ZAHG=ZCHEf

：.ZCHE=ZCEH,

：・CH=CE,

：.CH=EQ9

・・・四边形CHQE是平行四边形，

•:CH=CE,

・・・四边形CH0E是菱形，

AG3

VsinZ/4SC-sinZACG~~==，

AC5

•・7C=15,

：.AG=9f

：.CG=y/AC2-AG2=12,

4ACE空4AQE,

：.AQ=AC=\5,

・・・0G=6,

'：HQ2^HG2+QG2,

：.HQ2=(12-HQ)2+62,

1q

解得：HQ*,

15

：.CH=HQ=^-,

1c

四边形CHQE的面积=C，・G0=竽x6=45.

5.如图，△48C中，AB=AC,O。是△/8C的外接圆，8。的延长线交边/C于点D

(1)求证：NBAC=2NABD；

(2)当△8CO是等腰三角形时，求N8CO的大小；

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(3)当40=2,。。=3时，求边8C的长.

图1

•；4B=AC,

：.AB=AC,

：.OA1BC,

:・/BA0=/CA0,

•・・。力=05,

・•・NABD=NBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如图2中，延长40交8c于〃.

①若BD=CB,则/C=NBDC=NABD+/BAC=3NABD,

,：AB=AC,

：./ABC=/C,

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/./DBC=2/ABD,

VZ£)BC+ZC+ZBJDC=180°,

・・・8乙48。=180°,

：.ZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,则NC8O=NC08=3NZB。，

：.ZC=4ZABDf

・.・NOBC+NC+NCO8=180°,

，10480=180°,

:・NBCD=4/ABD=T1°.

③若。3=OC,则。与4重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°・

(3)如图3中，作4E〃8C交8。的延长线于£;

■=――=设OB=OA=4a,OH=3a,

OHBH3

"：BH2=AB'1-AH2^OB2-OH2,

A25-49a2=16『-9a2,

•,2_25

一患

:.BH=*,

：.BC=2BH=^.

6.已知，如图：△/8C是等腰直角三角形，N4BC=90：AB=]0,。为△Z8C外一点,

连接49、BD,过。作。垂足为H,交NC于E.

(1)若△♦8。是等边三角形，求3E的长；

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Q

(2)若BD=4B,且tan//®8=・，求£>E的长.

【解答】解：（1）是等边三角形，AB=10,

：.ZADB=60°,AD=AB^\O,

"：DHLAB,

；./H=%B=5,

:.DH='AD2-4"2=V102-52=5遍,

：△48C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即/4E7/=45°,

...△/EH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

r3

(2)•:DHLAB,且tanN〃D8=3,

，可设5H=3后,则Q〃=4左，

，根据勾股定理得：DB=5k,

•；BD=4B=10,

,5攵=10解得：k=2,

:・DH=3,BH=6,AH=4,

又・：EH=AH=4,

：・DE=DH-EH=4.

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7.如图，已知00是△/BC的外接圆，48是的直径，。