毕业设计（论文）- 基于压缩感知的信号频谱测量方法

HUNANUNIVERSITY毕业设计(论文)论文题目学生姓名学生学号专业班级电自1104班学院名称电气与信息工程学院指导老师学院院长2015年06月06日湖南大学毕业设计（论文）第页第一章绪论1.1研究背景及研究目的、意义1.1.1研究背景在21世纪的信息社会，随着各种电子设备的出现，人们在日常生活中时刻都在与无线通信系统有着关联，产生或者传送着大量的数据信息，这对无线通信系统中的信息处理技术带来了巨大的压力。随着信息数据的海量增加，现有的信息处理技术越来越难以对对信号进行准确高效的技术处理，人们开始研究新的适用于海量信息的处理技术。传统信号处理过程是通过模拟数字转换器(AnalogtoDigitalConverter,ADC)来实现，首先对连续的时间模拟信号高速采样，然后把它进行压缩编码转化为离散的数字信号，通过数字信号处理系统中处理和分析这些离散数字信号，最后解码数字系统输出的信号从而恢复原始信号。传统的信息采样是以经典的香农一奈奎斯特(Nyquist)采样定律[5-7]为理论基础：以不小于信号带宽两倍的采样速率对信号进行采样，才能保证精确重构出原始信号。在使用基于香农一奈奎斯特(Nyquist)采样定律的传统采样方法获取数据时，由于要求较大采样数、较高采样速率、较大数据存储空间以及在高频带宽信号采用方面的不足[8]，会增加采样的硬件成本，增加系统后期处理的运算量以及增加资源开销及信号处理的难度[4]。然而，由于现在无线无线通信系统的迅速发展和广泛，海量的信息数据对信号的采样、传送和存储都提出了更高的技术要求，以香农一奈奎斯特采样定律为理论基础的传统采样方法遇到了极大的挑战[1-3]。所以要想得到更为有效的信号处理方法，采样定率不仅应该突破采样速率的限制，而且还应该从理论框架上进行创新与优化[9,10]。2006年,Candes证明了信号可以从其部分傅里叶变换系数中精确重构，并将其作为压缩感知(CompressiveSensing,CS)的理论基础[11]。压缩感知理论是近几年出现在信号采样领域的一个新兴的研究概念和领域。压缩感知理论突破了原有香农一奈奎斯特采样定律的束缚，通过对信号的可压缩性和稀疏性加以利用，使信号在较低采样数目时仍然能被精确地重构，并且能对数据适当压缩，使数据的采样和压缩两个过程合二为一[12]。压缩感知理论利用信号稀疏性，直接对压缩后的信号进行采样，具有信号采样速率低、数据存储压力小等优点，并且在选择合适的算法进行信号重构后，还可以获得信号精确的频谱信息。与传统的基于香农一奈奎斯特定律的采样模式相比，压缩感知理论的采样过程大大减少了重建信号时所需要的数据量和时间。因此，压缩感知理论的提出和应用，使得信息处理技术从传统的模拟数据-数字-数据模式转变成了数字信息模式，这个革命性的进步对于信息处理领域来说具有划时代的意义。1.1.2研究目的及意义本文研究的主要目的在于探索压缩感知理论在不同稀疏信号频谱测量方面应用，并采用正交匹配追踪算法(OrthogonalMatchingPursuit,OMP)[13]对信号进行重构，最后对原始信号的信号频谱和重构信号的信号频谱进行比较分析，并总结压缩感知理论在稀疏信号频谱测量时的最佳模式。本文研究的意义在于将压缩感知理论更好的应用在频谱测量方面，改变了要求高采样速率和大存储空间的传统采样模式，为通信领域中信号频谱测量以及信号处理领域中信息技术带来了新的突破，极大推动信息技术的发展与应用。1.2研究现状1.2.1数据压缩技术研究现状数据压缩技术就是为了能快速地传输信号，对原始信号的数据进行压缩编码，用最少的数码来表示原始信号。目前针对数据压缩技术的研究颇为成熟，按照信息压缩后的失真程度，主要分为三大类：无损压缩、有损压缩和混合压缩。无损压缩是去掉数据中存在的某些多余成分，从而实现对信号的压缩，这种压缩方法对原使信号影响不大，但是压缩率会受到一定的限制而不能实现高度压缩；有损压缩是因为人们在检测信号时，会对其中部分频率成分不敏感，允许在压缩的过程中损失一部分对原始图像影响很小的信息，来增加压缩比；混合压缩结合了无损压缩和有损压缩的优点，寻找压缩效率、压缩比以及保真度三者之间的最佳平衡[14]。1.2.2压缩感知研究现状基于香农一奈奎斯特采样定律的传统采样方法要求采样频率必须高于信号最高频率的两倍，才能获得精确的重构信号，这样就对采样节点的数模转换、数据的传输和存储有了较高的要求[15]。并且传统的模式是在高速采样后进行压缩，造成了采样的大量浪费。与基于香农一奈奎斯特采样定律的传统采样方法不同的是，压缩感知直接较少地采样信号，与此同时实现压缩。文献[16-18]中概括到压缩感知理论包括三个部分：信号稀疏表示，设计观测矩阵和信号重构算法。因为只有信号是可压缩或可稀疏时，才能用压缩感知理论对信号进行处理。但实际上有相当一部分信号都不是稀疏的，所以我们可以在对信号进行压缩采样之后，对采样信号进行稀疏变换，然后对变换过后的。文献[19]中提到压缩感知重构含义就是，通过长度为的采样得到的观测向量重建出长度为()的高维原始信号。决定信号重构质量好坏的核心是重构算法的选择和应用，相干性原则和有限等距性原则(RestrictedIsometryProperty,RIP)是压缩感知信号重构算法的理论基础[13]。结合近年来国内外学者算法不能得到确定的解，于是在其基础上改进的把范数放宽到范数，转变成们的研究成果，把压缩感知重建算法分为三类：凸优化算法、贪婪算法和其他算法[19]。凸优化算法的最典型算法就是基跟踪算法(BasisPursuit,BP)[20]，又称最小化算法，是由于在多项式时间内最小化可线性规划求解的凸优化问题，即(1.1)其中，是测量向量且，是待测量稀疏信号，是压缩采样的结果。文献[13]中指出当稀疏度或测量矩阵满足且其中时，该算法均可得到与最小化算法相同的解。文献[21]指出基追踪算法是一种全局优化的原则，而不是特指某种特定形式的算法形式，它采用表示系数的范数作为信号表示稀疏性的度量，通过最小化范数定义信号稀疏表示问题为一类有约束的极值问题。基跟踪算法具有重构精度高，需要观测次数少的优点；但是其最大的不足是计算复杂度，重建速度慢，在高维情况下难以应用[22-23]。迭代阈值算法(IterativeThresholding,IT)新《基于稀疏表示的迭代阈值压缩重构算法研究》李晓也是常见的凸优化算法之一。该算法思想比较简单，只需确定少量的参数，但是收敛速度比较慢，并精确重构概率不高[24,25]。最小全变分算法[26]是一种适合用于求解二维图像重构问题的凸优化算法，自然图像在变换领域大多是是稀疏的，所以通过该算法能够较好重构二维图像。因为最小全变分算法有很好地重构精度和鲁棒性，所以适合应用于二维图像的压缩重构问题，但是该算法运算速度较慢且开销较大[27]：匹配追踪算法(MatchingPursuk,MP)[13]是为了提高基追踪算法的运算速度，提出的一类最典型的贪婪算法。文献[28]中概括了其基本思想的关键是两个稀疏逼近，一个是选出与原始信号最匹配的原子构建稀疏逼近；另一个是寻找与所得残差最匹配的稀疏逼近；然后循环迭代至达到迭代次数或残差小于某个阈值。匹配追踪算法优势在于复杂度低便于实现，但与凸优化算法相比重构精度存在差距也是其明显不足，目前来说，匹配跟踪算法是信号稀疏分解的最常用方法[23]。信号重构算法是压缩感知领域的研究热门，除了上述几种经典重构算法，学者们也不断研究出新的重构算法，如贝叶斯算法(BayesianMethod)[29]、加权带宽频谱感知算法[30]、能量检测算法[31]、匹配滤波器检测算法[32]、循环平稳特征检测算法[33]等，本文将它们划分为其他算法一类并加以介绍。文献[34]中指出贝叶斯算法理论思想是在概率统计角度上考虑压缩信号重构问题，其前提是满足一定先验知识，在接受信号后验概率最大时，求其对应的信号估计值。贝叶斯算法优势在于重构误差小，能近似完整的还原信号，但是其程序运行时间长，时间复杂度高，所以实时性不高[35,36]。加权带宽频谱感知算法[30]也是一项新提出的基于差分信号分布式压缩感知的重构算法。该算法使采样率和复杂度大幅降低，同时判决灵敏度有所提高，提高了系统检测性能，但是存在计算复杂度并未达到最优，以及没有分簇处理检测节点的不足[30,37]。本研究采用在匹配追踪算法基础上针对收敛速度进行改进，从而提出的正交匹配追踪算法[OrthogonalMatchingPursuit,OMP][12,38]。文献[13]中指出正交匹配追踪算法的基本思想是：选择中最少的列近似表示，计算出在当前已选择列上的正交投影补以及该正交投影补与中列内积绝对值大小，每次都选出使内积绝对值达到最大的列来重构原始信号。正交匹配追踪算法相比匹配追踪算法有更高的重建速度和精度，同时相比基追踪算法有更快速度的同时又能以极大概率准确重建信号[39,40]。1.2.3频谱测量研究现状压缩感知被提出以来，已经在许多领域进行了实际应用，如磁共振成像(Magneticresonanceimaging,MRI)、图像采集、地层数据采集以及频谱测量，本文研究的正是压缩感知理论在频谱测量方面的应用[13]。最早将压缩感知理论应用在宽带频谱测量的研究工作是由密歇根理工大学的TianZ.完成，并将研究成果发表在ICASSP2007国际会议上[41]。文献[31]把宽带频谱感知方式分为三大类：直接式宽带感知、扫描式宽带感知和基于压缩感知理论的宽带频谱感知，直接式宽带感知是以香农一奈奎斯特采样定律为理论基础，所以对数模转换器有较高要求，不适于硬件实现；扫描式宽带感知需要复杂的控制器，因此硬件实现也较困难；而基于压缩感知的宽带频谱感知以信号的稀疏性为前提，可在较低的采样率下获得宽带的信号的全息信息，有效地降低了采样数量，提高了频谱测量的速度，为宽带频谱感知测量领域带来了新的突破。目前学者们针对压缩感知理论的展开了多方面的研究工作，这为该理论在信号频谱测量方面的应用奠定了一定的基础。但是在基于压缩感知理论的信号频谱测量的过程中，压缩感知重构算法的相关性能，比如压缩性能、噪声鲁棒性及实时性能对频谱测量过程的实现有着非常重要的影响。本论文将围绕将压缩感知理论与信号频谱测量的实际结合展开相关研究。1.3本文研究内容与安排本文主要以理论分析为基础，研究基于压缩感知理论的信号频谱测量方法的实际性能，通过仿真实验设计两个不同的信号模型，对其进行压缩重构后，对它们重构信号和原始信号进行频谱分析和比较，最后根据分析对比结果对基于压缩感知理论的信号频谱测量方法性能进行探讨和总结。本文研究工作及具体章节安排如下：第一章：绪论，本章简单阐述了本文的研究背景、目的和意义，介绍了压缩感知理论及其在频谱测量领域的研宄现状，对压缩感知理论现有的几大常见重构算法做了简单介绍，并明确了本文将采用的重构算法，最后对本文的研究内容和结构安排进行简单说明；第二章：压缩感知理论原理，本章先由信号数学模型采样处理时面临的问题的引入压缩感知理论，然后分别介绍了传统信号处理的流程模式和基于压缩感知理论的信号处理流程模式，并详细介绍了压缩感知理论的三大组成部分及其数学模型；第三章：基于压缩感知的信号频谱测量算例实现，本章对两个不同的信号进行基于压缩感知理论的信号频谱测量仿真实验，对重构信号和原始信号的进行频谱分析和比较，从而得出对基于压缩感知理论的信号频谱测量方法的性能的结论；第四章：总结与展望，对本文的研究工作进行总结，针对本文存在的不足之处提出改进，并对未解决问题的后续工作提出系列展望。第二章基于压缩感知的信号频谱测量方法2.1传统频谱测量技术2.1.1频谱测量的意义为了得到某一信号的一些相关参数，在频域中测量该信号的频率分量的这一过程，就叫做频谱测量，把一个时域信号分解变换成一个不同频率、幅值和相位的频域正弦波信号是进行频谱测量的基础条件[42]。通过频谱测量，可以了解频谱被利用的情况，为频谱的分配提供可信的现实依据，所以说频谱测量是对频谱进行分析、共享及管理等技术处理的前提条件，是无线信号处理领域中最重要的部分之一。为了保证频谱测量的精确度和可靠度，进行频谱测量需要依靠有简单、精准且有效的频谱测量技术。2.1.2传统频谱测量技术简介传统的信号频谱测量方法都是在基于香农一奈奎斯特定律对某一时域信号釆样之后，通过把采样得到的数据信息进行傅里叶变换，然后从变换的结果中得到信号的频谱信息，目前最常见的信号频谱检测方式有接收机测量方式和发射机测量方式[13]。在接收机测量方式中，需要利用传感器的节点进行泄露的检测，从而判断接收机的工作信道，然后再通过独立的信道将特定功率传输给认知用户，用户再来决定是否选择接入相应的频带建立通信，这种测量方法需要修改接受机，可行性不强；另一种接收机测量方法是需要检测用户在接收信号处的干扰温度，而如何测量到接受处的准确的干扰度也是一个难题，所以这种方法可行性也不强[42]。最常见的发射机测量方式有四种：能量检测方法、匹配滤波检测方法、循环平稳过程特征检测方法以及延时相关性检测方法：能量检测方法属于盲检测方法,该方法通过测量频域或者时域里接受的信号的总能量来判断，因此也被称为基于功率检测方法；该方法只能衡量信号能量高低,而不能测量信号其它的特征,所以该方法不需要较多的先验信息并且有较强否认适应能力；匹配滤波器检测方法就对信号的特征进行匹配滤波的操作,该方法能够输出最大化的信噪比，所以又称最佳线性滤波器；匹配滤波器检测方法的抗干扰能力较强,但是其缺点是要求对目标信号了解全面，导致适应能力较差,灵活性不足；匹配滤波器检测方法和能量检测方法有同样的离散信号的获得方法，但是它们得到判决统计量的方法有所不同；循环平稳过程特征检测方法是对谱相关函数加以利用，通过这些函数测量接收的信号中存在的一些循环周期的特征，来进行判决测量；该方法是通过傅里叶变换、复共轭的相乘以及求平均的运算构造谱相关函数；延时相关性检测方法法是根据计算接收信号与延时接收信号这两者之间的相关程度来判断检测的[43]。表2.1对上述四种常用的信号频谱检测方法各自的优缺点及适用范围进行了归纳分析。表2.1传统信号频谱测量方法对比检测技术优点缺点适用情况能量检测方法简单灵活，运算复杂度低，无需先验信息门限设定困难，不适用范围广适合检测宽频段内的频谱空穴匹配滤波检测方法对微弱信号灵敏，需要的抽样数较少，检测的时间较短需要先验信息及精确同步，需要的接收机复杂适合检测已知先验信息的微弱信号循环平稳过程特征检测方法能区分信号和噪声能量，受背景噪声的干扰，信噪比低时性能较好计算较复杂，观测时间较长适合检测微弱信号延时相关性检测方法实时性好，功耗低，能确定授权用户的类型需要先验信息适用于具有时域周期性的情况传统的信号频谱测量方法在进行单节点宽频带信号频谱的测量时，可以灵活并且成功地进行检测。但是在宽频带范围内对信号进行频谱测量时,根据香农-奈奎斯特定律,对数模转换的器件和存储芯片都提出了超出目前水平而难以跨越的障碍。所以学者们开始研究将突破香农-奈奎斯特定律的压缩感知理论应用在信号频谱测量的技术上，来寻求更快速有效的新的信号频谱的测量方法。2.2压缩感知理论的引入和介绍假设信号，且其采样结果为(2.1)令是对信号进行采样得到的信号，且采样的结果为。如果采样的信号函数是冲激函数，那么就可以说就是在频域中或者时域中的采样值的向量。本文要研究的问题是对某测量空间中的一个以个点组成的频谱信息，是否能以采样数来重新构建该空间里的频谱信息。也就是说是否能通过设计某个采样的函数，在满足的前提下，又能近似得将全部频谱的信息获取。这个问题近似求解如下等式：若设为的感知矩阵，那么这个问题就相当于从中求出。从数学上来说，该方程是不可能直接求解的，并且有无数个候选信号满足。所以，如果想要求出真实的信号，我们需要找到一个另外的方案。传统信息的采集处理流程可以分为三个主要部分：首先是采样，是以香农一奈奎斯特采样定律为理论基础对原始信号进行高速采样；然后是编码，把得到的采样数据进行变换计算后，去掉其中系数较小的冗余信息，在编码端对剩余的有重要系数的信息进行压缩编码，并把编码值进行传输或存储；最后是解码，在解码端对编码值进行解压缩和反变换，就得到了原始信号，如图2.1所示：编码端：解码端：图2.1传统的信号处理模式基于香农一奈奎斯特定律的信号处理模式对信号进行编、解码的方法存在几个明显的缺陷：首先是会造成采样的大量浪费；其次是高速采样原始信号时，由于要求采样速率大于或者等于信号带宽的两倍，所以使信号处理系统的硬件设备面临巨大的挑战；最后是在变换和压缩编码采样数据的过程中，通常舍弃变换计算得到的小的系数，这就浪费了部分数值计算的过程，并且影响了恢复原始信号精确度，同时导致内存资源的大量浪费。与基于香农一奈奎斯特采样定律的传统采样方法不同的是，压缩感知理论的突出优点就是能够利用信号的稀疏性或可压缩性，将传统的信号采样与数据压缩过程合二为一，让信号采样过程与数据压缩过程同时进行，并且在解码端只需要很少的测量值就能重建出较为精确的原始信号，使得数据的存储空间和获取时间都大大减少。基于压缩感知理论的信号采样模式主要包括三个部分：信号的稀疏表示、设计观测矩阵及信号的重构算法。假设实际信号在某一变换域具有稀疏性，那么首先在编码端把信号进行稀疏变换，即把通过变换基进行变换，得到对应该稀疏域的高维信号；其次也是在编码端对信号进行压缩观测，即将稀疏的高维信号通过设计的观测矩阵投影到低维空间上，得出低维观测值，也就是说我们设计观测矩阵的目的是得到低维观测值；最后从观测值中用重构算法以较高概率重构出原始信号或存在较小误差的近似信号。压缩感知理论的采样模式在压缩观测这个部分时直接在进行较少信号采样的同时实现压缩，如图2.2所示：编码端：解码端：图2.2压缩采样信号处理模式由图2.2可以发现，在压缩感知理论中，对原始信号的采样过程与数据压缩过程确实是同时进行，并且对在某一变换域里具有稀疏性或可压缩性的信号以远低于香农-奈奎斯特采样方式的速率进行测量。要说明的是，经过观测矩阵得到的测量值并不是信号本身，只是含有信号的部分重要信息。并且这种信号处理模式的解码部分也不同于传统的简单的编码逆过程，而是以盲源分离的求逆思想为理论基础，利用信号重构算法对信号进行精确重构。相比传统信号处理模式下需要的采样个数，该重构过程需要的测量值个数要小很多。重构算法能实现较大概率的信号的精确重构，或者实现带有较小误差值的近似重构。2.2.1信号的稀疏变换文献[9]指出压缩感知的应用需要两个前提条件：具有稀疏性的信号和具有不相干性的观测。稀疏性指的是对于一个连续时间的信号，其真正携带信息的部分可能会比代表它的带宽少很多；对于一个离散信号，其自由度比信号的长度小很多。压缩感知利用了信号由适当变换基表示时表现出的离散性或可压缩性。1.稀疏性从数学角度来说，设有一个向量满足，把该向量以一个正交基的形式展开：(2.2)其中，是的系数序列，，于是很方便的用表示了。由此可得出稀疏性的意义是：如果某信号有一个基于稀疏性展开的形式，那么在忽略展开式中较小的系数后，不会带来信号采样的损失。设包含了在公式(2-2)中被留下的的前大的值。根据该公式的定义：，其中是系数向量值经过变换后的结果，且变换的方式是除了保留前大的值以外其余全部置零。对于最多有个值的向量，我们称其为稀疏向量。因为是正交基，我们有等式如下：(2.3)假如为稀疏的，那么的误差就会较小，也就是说，即使舍弃大部分系数，信号包含的内容也不会损失很多。由于丢失的内容对信号本身造成的影响很小，所以恢复信号和原始信号将几乎没有差异。2.信号的稀疏表示原始信号需要是稀疏的是压缩感知理论能够应用的一个重要的前提，直接关系到信号重构的精度和所需时间[23]。但是在实际中，大部分信号本身是不稀疏的，所以我们需要对信号进行一定的变换，把不稀疏的信号变成稀疏的。通常信号可以近似成已知的字典中少数元素的线性组合或一组向量基，当这种拟合是精确的时，即该信号可以用少数个特征向量的线性组合来表示的时候，那么就可说该信号是具有稀疏性的[2]。若信号在某个变换域是有稀疏性的，将通过变换基进行变换，得出对应该稀疏域的高维信号，稀疏的具体表现是的非零元素个数远小于元素总个数，这一过程就称为对信号的稀疏性表示[44]。在压缩感知的理论原理中，信号具有的稀疏性可使逼近稀疏度的观测样本数()尽可能少，在信号的有用信息不丢失的前提下，获取信号时达到最大程度的信号压缩，并且更快更准确的恢复原始信号，实现精确重构。信号在变换空间的内在稀疏性是成功重构信号的关键所在，而找到合适的稀疏基又是对信号进行稀疏表示前提条件，适合原信号的稀疏基可以使信号稀疏后在信息完备的前提下保留的信息稀疏解最少，这样就会减少在传输和存储过程中对硬件的压力，同时满足高概率恢复原始信号的要[23]。不同的原始信号类型的稀疏表示需要在不同的稀疏域的稀疏变换，现在应用最广泛的信号稀疏变换基有傅里叶变换基(TheFastFourierTransform,FFT)、离散余弦变换基(

DiscreteCosineTransform,DCT)和离散小波变换基(DiscreteWaveletTransform,DWT)等[45]。2.2.2观测矩阵压缩感知与传统信号压缩存在不同的关键是压缩观测，因为压缩感知理论实现信号的低速无损采样的最重要步骤就是压缩观测。压缩观测这一步骤把信号的压缩过程和采样过程合二为一。同时观测的不相干性是压缩感知应用前提条件之一，不相干性把时间和频率之间的二元性扩展了，它表明：若一个对象能在中表达，那么在得到这个对象的域中，它也一定可以被展开。比如：时域的单位冲激函数可以在频域可以展开。换个方式说：不相干性表明，与所涉及的信号不同的是，采样或感知得到的波形在基中的表达有很大的密集性。1.不相干性设有一对正交基在上，的作用是感知公式(2-1)中的对象，的作用是表达，那么这两者之间的关于相干性的定义为：(2.4)该式表明：和这两者任何元素之间的最大的相干系数来决定相干性[9]。如果和中含有相干的元素，那么相干系数就会较大，如果不含有相干的元素，那么相干系数就会较小，并且它取值的范围是。压缩感知理论的应用要求两者相干性越小越好。例如：若是冲激基且满足，而是傅立叶基，，是采样矩阵，那么这就是经典的时域或频域采样，其相干性为1，此例满足最大不相干的条件。随机矩阵与任何固定的基大部分都满足不相干性[46,47]。所以以标准分布方式选取一个正交基，则其与的相关性约为，同时，当采样函数符合正态分布时，其与固定基之间的相关性也很低，这个结论将有助于选取采样矩阵。2.观测矩阵的具体设计压缩感知理论应用时不是直接观测原始信号本身，而是先对原始信号稀疏化处理之后，观测其稀疏矩阵，然后通过一个观测矩阵，对之前得到的稀疏信号然后对这组不相关的稀疏矩阵和观测矩阵进行正交，从而得到观测值，如下图2.3：图2.3压缩感知的矩阵表示数学表达式为：(2.5)其中是维矩阵，是维矩阵，我们称之为观测矩阵，是维矩阵，是维矩阵，是M×N维矩阵，且。我们称为观测矩阵，称为信息算子。观测矩阵的功能就是把任何可压缩或者稀疏的原始信号从维降到维，并在这个降维过程中要保证原始信号的主要信息不丢失，最后才能在重构端以高概率和高精度重构原始信号。由于压缩感知是通过观测矩阵对原始信号进行压缩，并且信号的稀疏重构算法也与观测矩阵紧密相连，观测矩阵性能越好，得到的重构信号与原始信号之间的误差就越小，因此，既能达到更好的压缩同时又能更好重构原始信号，成为我们选择一个合适的观测矩阵的标准。针对这一问题，受限等距性质(RestrictedIsometryProperty,RIP)[28]指出：对于一个的矩阵，若存在一个常数，使得对所有矩阵和任意向量，都有：(2.6)则我们就称矩阵具有受限等距性质(K-RIP)，其中矩阵是矩阵的大小为的子矩阵，受限等距常数。受限等距性质衡量了正交基和中任意列子矩阵的相似程度。当，的列正交，当，这些列包含一个不良的非平凡零空间。在实际中，我们通常希望。从本质上来讲，受限等距性能使不同的稀疏向量投影或产生不同的维的观测向量，以及使多种算法把原始信号从含噪声的观测值中重构出来。所以只要矩阵满受限等距性质，那么根据少量的测量值就可以用重构算法把信号精确地重构出来。理论上说我们可以根据受限等距性质设计一个合适的观测矩阵，用该矩阵来达到信号压缩和信号重构之间的平衡。文献[48]提出一种受限等距性质的等价表示：即观测矩阵和稀疏矩阵不相干，所谓不相干性就是要求观测矩阵的行向量不能用稀疏矩阵中的列向量稀疏表示，同时的列也不能用的行稀疏表示。并且当是一个服从高斯分布的随机矩阵时，就能以高概率满足不相干性[49]。所以实际中我们一般以高斯随机矩阵作为观测矩阵，观测矩阵的大多数元素都来自于独立同分布的随机变量，那么产生的随机矩阵就能以较高概率满足受限等距性质，并且所需的观测数量也较少。除了上面所提到的随机矩阵外，仍然存在一些其他的矩阵也被用来做观测矩阵，比如二值随机矩阵、局部傅里叶矩阵等[28]。这些测量矩阵都为信号的压缩采样提供了较为有效的方法，但同时也各有优缺点。2.2.3信号的重构在压缩感知理论中的大部分重构算法中，都是先把原始信号看成一个矩阵，然后再进行处理，并且对矩阵进行稀疏、观测和重构时，是对其进行一列一列的进行处理。正如第一章介绍的，本文采用的重构算法是在匹配追踪算法基础上针对收敛速度进行改进后提出的正交匹配追踪算法。匹配追踪算法是最先被提出来的贪婪算法之一，由于该算法每次迭代后产生的残差只能和最后一个原子正交，而不能和先前选择的原子全部正交，所以每次迭代后结果不是最优的而是次最优的，所以要进行多次迭代才能获得收敛信号，这使得匹配追踪算法变得复杂并且重构效果不够理想。正交匹配追踪算法是于2007年被Tropp等人提出的一种改进的匹配追踪算法[12]。而在改进过的正交匹配追踪算法中，正是针对匹配追踪算法的该缺点，在每次迭代结束后，引入了施密特正交化处理，使得在每次迭代后的残差都能与之前选择出来的原子进行正交，使得原子选择最优，并且随着迭代次数的增加，残差会以指数的形式递减，从而使得收敛速度更快，重构效果更好。正交匹配算法的流程图如下：图2.4正交匹配算法(OMP)流程图正交匹配追踪算法的输入参数有：稀疏度为的原始信号，观测矩阵和观测向量，输出参数是重构信号。该算法具体首先初始化各参数：重构信号，残差，索引集，迭代次数；然后寻找索引，找出残差和观测矩阵的内积中最大值所对应的脚标，使其满足(2.7)之后更新索引集：并找出观测矩阵中的重构原子集合；根据最小二乘：；再接着更新残差：，(2.8)其中是的伪逆矩阵：；当迭代次数加1，检验迭代停止条件：若，则迭代停止；若，则返回步骤2；输出重构信号：由在对应位置所产生的信号就是所要重构的信号。正交匹配追踪算法较匹配追踪算法相比，无论是在算法性能上还是计算复杂度方面都有显著优势，重构效果也得到了很大的改进。2.3基于压缩感知理论的信号频谱测量方法自压缩感知理论被提出至今，该理论一直都在不断被完善，目前在频谱测量、磁共振成像、图像采集以及地层数据采集等各大领域得到了广泛的应用。本文研究的正是压缩感知理论和信号频谱测量方法的良好结合。因为压缩感知理论对信号进行处理时具有很好的压缩性能和恢复性能，所以如何将该理论更好的应用在无线信号频谱测量方面，来解决目前无线通信领域发展所遇到的瓶颈，是当下研究的热门问题。基于目前的研究成果来看，基于压缩感知理论的新兴的信号频谱测量方法和传统的测量方法相比有了本质性的变化。基于压缩感知的信号频谱测量方法以信号的稀疏性为前提，可在较低的采样率下获得信号的全息信息，有效地降低了采样数量，提高了频谱测量的速度，同时通过压缩感知的重构算法对采样信号实现了高概率且精准的重构，保证了频谱测量的精度。因此,现代无线信号领域将会因为压缩感知理论的应用而出现巨大的变革，压缩感知理论也将会迎来广阔的发展前景。2.4本章小结以香农-奈奎斯特定律为理论基础传统信号处理过程是数据编码成数字再解码成数据的模式，而基于压缩感知理论的信号处理模式以信号的稀疏性或可压缩性为突破点，对信号实现了较低采样速率前提下的无损或少损获取，为打破被香农-奈奎斯特定律限制的传统采样模式提供了理论基础和可行方案。本章首先对传统香农-奈奎斯特定律采样模式和压缩感知理论的采样模式的大致流程做出对比，然后对压缩感知理论的三个重要组成部分：信号稀疏表达、压缩观测及信号重构进行了较为详细的概述。在现有的研究成果上，重点针对观测矩阵的设计以及本文所采用的正交匹配算法进行了更深入的研究和讨论。总而言之，本章的研究内容将为本文下一步研究工作的顺利展开提供可靠的理论参考。第三章基于压缩感知的信号频谱测量算例实现3.1引言本文要进一步研究基于压缩感知理论的信号频谱测量方法的性能，在MatlabR2007a的仿真平台上分别对简单正弦信号和含噪声干扰的复杂正弦信号进行频谱测量的仿真实验。本文的仿真实验是先对原始信号进行基于压缩感知理论的压缩采样，然后采用正交匹配追踪算法对采样数据进行重构，并对重构出的信号和原始信号进行频谱分析和比较，根据分析比较结果来得出基于压缩感知理论的重构信号与原始信号的相似度，即信号重构是否成功，从而再对基于压缩感知理论的信号频谱测量方法的性能做出总结。3.2基于压缩感知的一维信号频谱测量算例实现3.2.1算例设计压缩感知理论应用的前提是信号的稀疏性，但是实际生活中存在的一维信号绝大多数是不具有稀疏性的连续时间信号，所以就需要对其进行建模和变换。在本次仿真实验中，选取一维正弦波作为测试信号：，采样频率，采样间隔，采样序列为，则原信号为：，其中信号长度选取128，选用正交匹配追踪算法作为本文仿真实验的信号重构算法。本文针对一维信号压缩感知重构算例的具体实现可以分为五个模块实现：输入模块、稀疏表示模块、OMP重构信号模块、误差计算模块和输出模块。信号模块完成了一维信号的输入以及测量数和稀疏度等参数的设定；稀疏表示模块和OMP模块结合起来的目的是将信号稀疏表示，并对信号完成降维投影和重构，首先在Matlab中生成维的高斯随机分布白噪声观测矩阵，并通过与原信号相乘得到个线性测量值，其中；然后在Matlab中生成经过傅里叶正交变换得到的变换矩阵，其中，原信号经过傅里叶正交变换得到变换域向量，经过反变换则可以得到重构信号，其中是待求变换域向量，是是稀疏的。令感知矩阵又称恢复矩阵，那么约束等式，就可改写成。由于中有个未知数，只有个方程，且，所以该方程有无穷多解。但是由于是稀疏的，且，所以该方程又能得出确定解；当通过OMP算法将矩阵每一列向量都恢复完之后，利用傅里叶逆变换重构得到时域向量；误差计算模块计算重构信号与原始信号之间的误差；信号输出模块最后输出原始信号和重构信号以及各种参数。算例模块实现的具体流程图如图3.1：图3.1基于傅里叶变换的一维正弦信号正交匹配算法压缩感知流程图3.2.2仿真结果分析在MatlabR2007a的仿真平台下，为了验证高概率精确重构原始信号所需要的最佳观测值的大小，本研究选取了不同值的观测矩阵对原信号进行观测压缩采样，得到了不同的重构效果。压缩感知理论要求观测值的大小一般应是信号重要分量即信号稀疏度大小的四倍才能实现高概率精确重构，即应满足或。本研究选取及其附近的数值得到的重构误差如表3.1所示。表3.1不同观量数下的重构误差值101520253035重构误差1.1891.29281.42590.250.3750.3333值404550556065重构误差3.20E-3330.70830.5833当观测值时，重构误差的数量级近似在左右，从图3.2可以发现重构信号与原始信号基本重合，重构精确度较高；而当观测值较小时，重构信号出现失真，出现很大的重构误差，如图3.3所示；当观测值较大时，从图3-4也可以看出虽然重构信号未失真，但是重构误差较大导致很不精确的重构效果。表3-1也表明了当时，重构误差都很大，重构效果不理想；当时，重构误差明显减小，重构效果变好，这证明了压缩感知理论中的测量值的大小一般应是信号稀疏度大小的四倍即应满足或，才能实现高概率的精确的重构这一要求。图3.2基于FFT的一维信号OMP重构信号和原信号对比图()图3.3基于FFT的一维信号OMP重构信号和原信号对比图()图3.4基于FFT的一维信号OMP重构信号和原信号对比图()理论上来说，因为本文仿真实验采用的是高斯随机观测矩阵，所以在实验过程中，即使是采用相同的观测值，但不一定都会重构出相同误差值的信号。所以为了减少仿真实验实验的误差，本文在仿真程序中设定每次程序运行都采用一个相同的高斯随机观测矩阵，那么在程序运行时，只要采用相同的观测值，都会重构出相同误差值的信号。经过多次的仿真实验表明，对该一维测试信号，当观测值时，重构效果最理想，算法性能也很稳定。所以我们选取观测值作为对原信号的最佳重构方案，并对该观测值下得出的重构信号的误差和频谱进行分析，如图3.5和图3.6。图3.5基于FFT的一维信号OMP重构信号误差分布图()图3.6基于FFT的一维信号OMP重构信号频谱分布图()由上面两个结果图可以看出重构信号在各个频率下的重构误差很小，都在数量级左右，并且重构信号的频率分布十分集中且稳定，这些结果都表明该压缩感知方法对一维信号信号的重构非常成功，重构的误差小精确度高且重构信号未失真。3.3基于压缩感知的二维图像算例由前面的内容可以得知利用压缩感知理论对一维信号进行重构是可行的，当采用合适的观测值时，重构效果会达到最佳。下面我们将利用压缩感知理论对二维图像进行重构，通过重构误差分析研究压缩感知理论在二维图像处理方面的可行性。3.3.1基于小波变换的分块压缩感知理论与一维信号的压缩感知重构相同的是，二维图像的压缩感知重构的前提条件也是信号在某个变换域具有稀疏性。实际上大部分二维图像本身并不是稀疏的，要经过在某一稀疏域上的稀疏变换转变成稀疏表示的信号。目前二维图像常用的稀疏变换有离散余弦变换和小波变换等非冗余的正交变换，本文针对二维图像的算例实现采用的是小波变换。本算例通过对待测试的二维图像进行小波稀疏变换，得到具有稀疏性的小波系数矩阵；然后设计合适的观测矩阵，并通过该矩阵观测小波变换得到的稀疏小波系数，得出所含数据量远远小于原二维图像维数的观测值；最后用适当的重构算法来重新构建小波变换域中的稀疏小波矩阵，从而得到重构图像。该方法的理论流程图如图3.7所示：图3.7基于小波变换及压缩感知的二维图像重构理论流程图3.3.2算例设计本次仿真实验选取大小为的lena图像作为待测试二维图像，采用上述压缩感知方法以不同的采样率分别对图像进行变化重构，本算例的具体实现可以分为五个模块：输入模块、压缩感知模块、OMP重构解压模块、误差计算模块和输出模块。输入模块首先完成了对大小为的二维测试图像lena的输入，并根据测试图像的大小进行适当的分块，把原始图像均匀分成互不覆盖大小为块、块或块等数量的子块，，，本文选取块和块两个分块模式分别进行仿真实验；压缩感知模块和OMP重构解压模块联合作用，首先对每个子块进行二维离散余弦变换，得到它在小波变换域的变换系数，然后量化扫描变换域的系数，得出变换域系数的稀疏矩阵的一维的数列形式，再设计出维的高斯随机矩阵作为观测矩阵，利用该矩阵观测采样量化后的变换域系数，得到长度为的观测值向量，对子块采样：(3.1)其中是量化算子，指的是二维的离散余弦的变换算子，是长度为的观测采样的向量，然后定义子块的采样算子：(3.2)那整个图像的采样矩阵就可以写成如下表达式：(3.3)接着调用正交匹配追踪算法进行重构，通过一个基于范数的优化问题的求解来解决：其目标函数是：，并且满足下列约束等式：(3.4)其中，是近似的估计，最后将重构的各向量转换成矩阵，再进行小波逆变换，并把得到的分块的系数组合就能得到整个的重构图像，压缩感知模块和OMP模块的程序流程图如图3.8和图3.9所示；图3.8压缩感知编码子程序流程图图3.9二维图像OMP重构子程序流程图误差计算模块目的是计算重构二维图像和原始图像之间峰值信噪比(psnr)和均方误差(mse)：(3-5)；(3-6)输出模块完成重构图像以及各参数结果的输出。3.3.3仿真结果分析首先我们选择分块为来实现仿真实验，通过选取大小不同的观测矩阵，即在不同的观测值下，研究采样率对重构效果和重构时间的影响。本实验所选取的观测值分别为16、32、64、128。，重构效果如图3.10。a.原图b.c.d.e.图3.10在不同值下分块lena图像压缩感知重构效果图通过比较上面五幅效果图可以看出，重构图像的质量随着观测值的增加而显著提高。当观测值较小时，采样率会较低，采样信息不能包含原始二维图像所有有效信息，重构时间会特别长，重构图像会出现很大误差，甚至导致不能实现重构。表3-2给出了在不同的观测值下，该方法对原始二维图像重构所用重构时间、峰值信噪比(psnr)、均方差(mse)的对比。从下表可以看出：当观测值增加时，重构图像的峰值信噪比有明显的提高，重构效果也有相应增强，但当观测数偏低，如时，峰值信噪比的值明显过低，重构效果很差。这也说明当采样率很低时，该方法的性能也很低，不能达到压缩感知重构算法的要求；当采样率很高时，虽然重构的效果明显改善，峰值信噪比的值也明显增加，但是重构过程实现所需要的时间也随之增加。若我们仅为了得到更好的重构效果而采用较高的观测值，就体现不了基于压缩感知理论的信号压缩重构时低采样率的优势。所以还可以进一步改进和优化该方法的性能。表3.2在不同值下分块lena图像压缩感知重构参数对比观测长度psnr(dB)mse重构时间(s)lena16NaNNaN41.303224.37201.5572e+00720.036433.26052.0114e+00624.3612837.25768.0131e+00527.43上面我们对原二维图像在分块的情况下进行了基于压缩感知图像重构，下面我们将在分块以及其他条件不变的情况下对原二维图像再进行一次压缩感知图像重构，重构图像效果图如图3.11。a.原图b.c.d.e.图3.11在不同值下分块lena图像压缩感知重构效果图通过比较上面五幅效果图可以得出和分块仿真实验一样的结论：重构图像的质量随着观测值的增加而显著提高。当观测值较小时，采样率会较低，采样信息不能包含原始二维图像所有有效信息，重构时间会特别长，重构图像会出现很大误差，甚至导致不能实现重构。在不同的观测值下，该方法在分块和分块两种情况下对原始图像重构所用重构时间、峰值信噪比(psnr)、均方差(mse)的对比如表3.3所示。lena分块分块测量值psnr(dB)重构时间(s)Psnr(dB)重构时间(s)16NaN41.30NaN11.573224.372020.0317.98506.036433.260524.3620.92837.3212837.257627.4325.08348.72表3.3在不同分块以及值下lena图像压缩感知重构参数对比通过重构效果图可以很明显的看出，随着观测数的增加，重构效果明显增强，重构图像的峰值信噪比的值也随之提高。而从不同分块情况下的效果图以及表3-3中的数据可以得出，对于相同的观测数，随着分块大小的减小，二维图像的重构效果会有显著提高，但是重构时间则会随之增加。分块的重构时间比分块的重构时间少的多，但相应的其重构质量却大为下降。如何构造出稳定的、计算复杂度较低的、对观测次数较少的重构算法来精确的恢复可压缩信号，将是未来压缩感知的一个重要的研究方向。3.4本章小结本章以前文对压缩感知原理的理论说明为基础，在压缩感知三个重要环节数学模型的指导下，完成了本章的算例设计和实现。具体来说分别选取一个一维信号和二维信号作为原始信号，再分别在傅里叶基及小波基的基础上进行稀疏变换，获得信号的稀疏表示，然后采用压缩感知理论的正交匹配追踪算法对一维信号和二维图像的压缩采样及高概率重构，得到重构信号。在本章两个算例的实现过程中，通过设置不同的参数包括观测值和分块数，在其他条件不变的情况下进行仿真实验得到不同的重构结果，然后对两个算例得到的不同的重构信号及原始信号的进行误差分析和比较。最后根据实验结果的分析对比对压缩感知理论的重构效果进行客观评价。第四章总结与展望4.1本文总结本文以压缩感知原理为理论基础，利用信号的稀疏特性，突破了基于香农-奈奎斯特定率的传统信号采样过程，简化了高速采样时获得大批冗余数据之后又舍去较多无用数据的中间过程，从而有效缓解了实现高速采样带来的的压力，降低了对信号进行处理、传输和存储的成本。本文的研究工作主要是在介绍压缩感知理论原理，包括信号的稀疏表示，观测矩阵的设计以及OMP重构算法的基础上，通过设计一维信号和二维图像信号两个不同的的信号模型进行仿真实验，对其进行基于压缩感知的压缩重构后，对它们的重构信号和原始信号进行误差分析和比较，最后根据分析对比结果对基于压缩感知理论的信号测量方法性能进行探讨和总结。4.2后续展望由于自身能力和时间的限制，本文所做的研究工作并不是十分完善，以下几个方面的问题有待今后进一步的探讨和研究：本文的一维信号、二维信号均只选取了一种信号模型进行仿真实验，今后研究工作可以采用几种稀疏度不同的一维信号或二维信号进行仿真实验，完善对压缩感知信号重构性能的研究；(2)本文在仿真实验时直接采用了固定的稀疏变换基以及信号重构算法，今后的研究工作可以根据实际情况，选择最合适的搭配方式；(3)目前压缩感知理论中的观测矩阵都是选用的高斯随机矩阵，如何研究出一个确定的性能良好的观测矩阵也将是今后一个值得研究的问题。致谢光阴似箭，日月如梭，转眼间四年的大学生活就到了尾声，借论文即将完成之际，我衷心地感谢所有曾经给予我无私关怀和帮助的老师和同学们。首先要感谢我的导师谭阳红教授，从论文的前期准备工作开始，谭老师一直都悉心指导我们，教我们查找文献、总结文献、数学建模、编写程序以及实验仿真，每一个环节都不厌其烦，亲自指导我们每一位学生，并且谭老师还在百忙之中抽出时间，定期对我们的论文进展进行评阅和下一步规划。谭老师严谨的学术态度、认真负责的工作态度和让我们每一位学生都很钦佩。总之，本论文的顺利完成离不开谭老师这几个月来的精心指导和耐心帮助，在此我再一次表达对我导师谭阳红教授的由衷感谢！另外，还要贾学长在繁忙的学习工作中仍抽出时间，耐心帮助我解决程序编写过程遇到的困难和问题。感谢同寝室的三位室友以及其他的同学朋友给予我的学习生活上各种无微不至的关怀和帮助，让我的大学生活顺利又快乐。还要感谢我的父母对我多年的付出，感谢他们对我生活上的关怀和学业上的支持。最后诚挚感谢各位评审老师在百忙之中评阅本论文！参考文献[1]李智勇.基于压缩感知的脉冲超宽系统窄带干扰抑制问题研究[D].山东大学,2014[2]王璐瑜.基于压缩感知的频谱检测算法的研究[D].南京邮电大学,2012[3]D.L.Donoho.Compressedsensing[J].IEEETransactionsInformationTheory,2006,52(4):1289-1306.[4]魏贺贺.基于压缩感知理论的采样系统设计与实现[D].南京理工大学,2012[5]詹军敏.基于压缩感知的宽带信号采集研究及硬件实现[D].电子科技大学,2013[6]徐泽芳.基于压缩感知的宽带频谱感知的研究[D].杭州电子科技大学,2013[7]陈晓芳.基于压缩感知的宽带频谱检测[D].中南民族大学，2012[8]黄振,柏正尧,莫禹钧.采用压缩采样匹配追踪算法的频谱感知[J].信号处理,2014,30(9):1086-1090.[9]钟武汩.基于压缩感知的空间无线频谱感知与重构系统研究[D].天津大学,2012[10]张婷婷.认知无线电多信道频谱感知与载波聚合研究[D].北京邮电大学,2012[11]李树涛,魏丹.压缩传感综述[J].自动化学报.2009(35):1369一1375[12]巫小婷.基于正交匹配追踪的压缩感知算法研究[D].海南大学,2013[13]孙彪.基于压缩感知的信号频谱测量方法研究[D].华中科技大学,2013[14]胡俊伟.压缩感知在通信中的应用研究[D].杭州电子科技大学,2014[15]魏贺贺.基于压缩感知理论的采样系统设计与实现[D].南京理工大学,2012[16]文倩.结构化压缩感知在无线通信网络流量预测中的应用研究[D].浙江大学,2013[17]吕方.认知无线电压缩频谱感知算法研究[D]，华中师范大学,2013[18]李永杰.基于压缩感知的信息反馈、检测与重建研究[D].南京邮电大学,2012[19]李志林.图像压缩感知重建算法研究[D].北京交通大学,2012[20]王兆山.压缩感知重构算法与应用研究[D].华南理工大学,2014[21]张淼.压缩感知框架下的多频带信号重构方法研究[D].哈尔滨工业大学,2013[22]刘京川.基于稀疏检测的宽带压缩频谱感知方法研究[D].北京邮电大学,2013[23]李博，压缩感知理论的重