苏教版选择性必修第二册第6章6.1.2空间向量的数量积学案

6.1.2空间向量的数量积课程标准1.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.2.掌握空间向量的数量积运算.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.1.两个向量的夹角2.两个向量的数量积3.投影向量对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b,过点A作AA1⊥OB,垂足为A1,上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为向量a在向量b上的投影向量.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量的夹角为135°的是()A.<,> B.<,>C.<,> D.<,>【解析】选B.<,>=45°,<,>=135°,<,>=90°,<,>=180°.2.下列命题中正确的是()A.(a·b)2=a2·b2B.|a·b|≤|a||b|C.(a·b)·c=a·(b·c)D.若a⊥(b-c),则a·b=a·c=0【解析】选B.对于A项,左边=|a|2|b|2cos2<a,b>,右边=|a|2|b|2,所以左边≤右边,故A错误.对于C项,数量积不满足结合律,故C错误.对于D项,a·(b-c)=0,所以a·b-a·c=0,所以a·b=a·c,但a·b与a·c不一定等于零,故D错误.对于B项,因为a·b=|a||b|cos<a,b>,-1≤cos<a,b>≤1,所以|a·b|≤|a||b|,故B正确.3.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于()A.-2 B.-1 C.±1 D.2【解析】选A.a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.4.如图,一个结晶体的形状是平行六面体ABCD-A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱长均是1,且它们彼此的夹角都是π3,则体对角线AC1的长度是(A.3 B.2 C.5 D.6【解析】选D.||==1+1+1+2×12+5.(2022·苏州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则(1)<,>=________;

(2)<,>=________;

(3)<,>=________.

【解析】(1)因为=,所以<,>=<,>.又∠CAB=45°,所以<,>=45°.(2)<,>=180°-<,>=135°.(3)<,>=90°.答案:(1)45°(2)135°(3)90°6.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1)·;(2)·;(3)·.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=b·12(c-a)+b=|b(2)·=c-a+12b·(a+c)=|c|2-|a|2=22(3)·=12(c-=12(-a+b+c)·=-12|a|2+14|b|2一、选择题1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成角的余弦值为()A.38 B.14 C.34 【解析】选B.令底面边长为1,则高也为1,=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·=1×1×cos120°+12=12,又||=||=2.所以cos<AB1,BC1>=122×2.已知正四面体D-ABC的各棱长为1,点E是AB的中点,则·的值为()A.14 14 C.34 【解析】选A.如图所示,正四面体ABCD的棱长是1,E是AB的中点,所以·=(+)·=-12·+·=-12×1×1×cos60°+1×1×cos60°=14.3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由题意知,p·q=0,p2=q2=1.所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3-2=1.4.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是()A.垂直 B.共线C.不垂直 D.以上都可能【解析】选A.由题意知|a|=|b|,因为(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b).5.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F,H分别是BC,AD,AE的中点,则·的值为()A.12a2 B.14a2 C.18a2 D.【解析】选C.因为正四面体ABCD的棱长为a,点E,F,H分别是BC,AD,AE的中点,所以||=||=a2-14a2=32a,||=a,=34a,||=所以cos<,>==34a2+a2-34a22||·cos<,>=34a×12a×33=18a26.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3,则cos<,>等于()A.12 B.22 C.-12 【解析】选D.因为·=·(-)=·-·=||·||·cosπ3-||·||·cosπ3=0,所以⊥,所以cos<,>=0.二、填空题7.已知向量a,b满足:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为________.

【解析】因为a与2b-a垂直,所以a·(2b-a)=0,即2a·b-|a|2=0.所以2|a||b|·cos<a,b>-|a|2=0,所以42cos<a,b>-4=0,所以cos<a,b>=22又<a,b>∈0,所以a与b的夹角为π4答案:π8.(2022·扬州高二检测)设a⊥b,<a,c>=π3,<b,c>=π6,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模是【解析】因为|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+b·c)=1+4+9+20+1×3×12+2×3×所以|a+b+c|=17+63答案:17+69.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________;·=________.

【解析】因为=-,所以·=·-·=||·||·cos<,>-||·||·cos<,>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-162.所以cos<,>==24-1628×5=3-225,所以异面直线OA答案:3-22三、解答题10.设<a,b>=120°,|a|=3,|b|=4,求:(1)a·b;(2)(3a-2b)·(a+2b).【解析】(1)因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以a·b=3×4×cos120°=-6.(2)因为(3a-2b)·(a+2b)=3|a|2+4a·b-4|b|2=3|a|2+4|a||b|cos120°-4|b|2,所以(3a-2b)·(a+2b)=3×9+4×3×4×-12一、选择题1.已知|a|=2,|b|=3,<a,b>=60°,则|2a-3b|等于()A.97 B.97 C.61 D.61【解析】选C.|2a-3b|2=4a2+9b2-12a·b=4×4+9×9-12×|a|×|b|cos60°=97-12×2×3×12=61.所以|2a-3b|=612.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则·的值为()A.-2 B.4 C.2 D.1【解析】选D.如图所示,=12(+),=12.所以·=12(+)·12=14(·+·)=14(22cos60°+22cos60°)=1.3.在平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,AB=AD=1,AC1=11,则A1A=()A.1 B.2 C.2 D.4【解析】选C.在平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,AB=AD=1,AC1=11,作图如下:令=a,==b,==c,则<a,b>=<a,c>=<b,c>=60°,|a|=|b|=1,||=11,设A1A=t,即|c|=t,由=++=a+b+c得=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c,即11=1+1+t2+2×1×1×12+2×1×t×12+2×1×t×12⇒t2解得t=2或t=-4(舍去)即A1A=2.4.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题,其中正确的是()A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·a)c-(c·a)b一定不与c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2【解析】选BD.根据向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b不一定相等,故A错误;因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故C错误;易知B,D正确.二、填空题5.如图,空间四边形ABCD的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,则·=__________,·________

·.(填“<”“=”或“>”)

【解析】由题易知AE⊥BC,所以·=0,而·=(+)·=·(-)+12·=||·||·cos120°-||·||·cos120°+12||·||·cos120°<0,所以·<·.答案:0<6.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=7,则cos<a,b>=________.

【解析】将|a-b|=7化为(a-b)2=7,求得a·b=12,再由a·b=|a||b|cos<a,b>,求得cos<a,b>=1答案:1三、解答题7.已知在三棱锥O-ABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.【证明】设=a,=b,=c.因为P,M分别为OA,BC的中点,所以=-=12(b+c)-12a=12[(b-a)+c].同理,=12(a+c)-12b=-12[(b-a)-c所以·=-14|b因为AB=OC,即|b-a|=|c|.所以·=0.所以⊥,即PM⊥QN.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1