高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量其运算311空间向量其加减运算1数学教案

3．1.1空间向量及其加减运算1．空间向量定义01□在空间，把拥有大小和方向的量叫做空间向量．长度0203模．□向量的大小叫做向量的长度或□表示方法几类特别的空间向量080的向量叫做零向量，记为□09①零向量：□规定长度为0.10②单位向量：□模为1的向量称为单位向量．11a的相反向量，记为□12－a.③相反向量：□与向量a长度相等而方向相反的向量称为13在空间，同向且等长的有向线④相等向量：□方向同样且模相等的向量称为相等向量．1415段表示□同一直量或□相等向量．2．空间向量的加减法定义近似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：→→→16OB＝OA＋AB＝□a＋b；→→→17CA＝OA－OC＝□a－b.加法运算律b18ba①互换律：＋＝□＋；19②联合律：(a＋b)＋c＝□a＋(b＋c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，必定可用平行四边形法例运算．

(

)(3)0

向量是长度为

0，没有方向的向量．

(

)(4)若|

a|＝|

b|，则

a＝b或

a＝－b.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把全部单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点构成的图形是________．→→→(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1－AB＋BC化简后的结果是________．(3)如下图，已知长方体ABCD－ABCD，化简以下向量的表达式：1111→→1→→→11111③1→＋1→－1→1＝________.2AD2AB2AA(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用→→→→→AB，AD，AA1表示向量MN，则MN＝________.答案(1)球面(2)→1(3)①→1②→1③1→1(4)1→＋1→＋1→1BDADAD2AC2AB2AD2AA分析(4)→＝→＋→＋→＝1→＋→＋1(→＋→1)＝1→＋→＋1(－→＋→1)＝1→＋1MNMBBCCN2ABAD2CBBB2ABAD2ADAA2AB2→1→AD＋2AA1.研究1空间向量的观点例1给出以下命题：①两个相等的向量，若它们的起点同样，则终点必同样；→②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；③若空间向量m，n，p知足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中随意两个单位向量必相等；⑤只有零向量的模为0.此中假命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4[分析]①真命题．依据向量相等的定义，两个相等的向量若起点同样，终点必同样，只有这样才能保证它们的方向和大小都同样．→→②真命题．依据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC与A1C1的方向同样，→→模长也相等，应有AC＝A1C1.③真命题．向量的相等知足传达规律．④假命题．空间中随意两个单位向量模长均为1，但方向不必定同样，故不必定相等．⑤真命题．依据零向量的定义可知．[答案]A拓展提高办理向量观点问题要关注的两个因素和两个关系两个因素判断与向量相关的命题时，要抓住向量的两个主要因素，即大小与方向，二者缺一不行．两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确立，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必需不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：因为方向不可以比较大小，所以“大于”“小于”对向量来说是没存心义的．但向量的模是能够比较大小的．【追踪训练1】(1)给出以下四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若，b知足|a|＞|b|且，b同向，则a＞；aab③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量→与向量→的长度相等．BAAB此中正确命题的序号为________．答案④分析①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不可以比较大→→→→小；③错误，如BA≠AB但|BA|＝|AB|，④正确．给出以下命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，此中正确命题的序号是________．答案②③分析①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确．研究2空间向量的加减运算例2如图，在长方体ABCD－ABCD中，以下各式中运算结果为向量→11111→→→→→→→→→→→→①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.A．①②B．②③C．③④D．①④[分析]①→→→→→→→1111111→→→→→→→→→1111111111③→→→→→→→→→→→(AD－AB)－DD1＝BD＋D1D＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1；④→→→→→→→→→→→→(B1D1－A1A)＋DD1＝B1D1＋AA1＋DD1＝B1D1＋BB1＋DD1＝BD1＋DD1≠BD1.所以，①②两式的运算结果为向量→→BD1，而③④两式的运算结果不为向量BD1.应选A.[答案]A[结论研究]例2条件下，判断以下各式中运算结果为向量→AC1的有哪些？①→→→→→→→→→→→→(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1－B1A1)＋B1C1.→→→→→→解①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②→→→→→→(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；③→→→→→→(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④→→→→→→→→→11111111111111→故①②③④式运算结果都是向量AC1.拓展提高空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量：向量加减法的三角形法例是解决空间向量加法、减法运算的重点，灵巧应用相反向量可使向量间首尾相接．巧用平移：利用三角形法例和平行四边形法例进行向量的加法运算时，务必需注意和向量、差向量的方向，必需时可采纳空间向量的自由平移获取更正确的结果．2．化简空间向量的常用思路分组：合理分组，以便灵巧利用三角形法例、平行四边形法例进行化简．多边形法例：在空间向量的加法运算中，假如多个向量乞降，还可利用多边形法例．若干个向量的和能够将其转变为首尾相接的向量乞降．走边路：灵巧运用空间向量的加法、减法法例，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【追踪训练

2】

在平行六面体

ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是

A1A，AB，BC，CC1，

C1D1，D1A1的中点，则

(

)→→→A.EF＋GH＋PQ＝0B.

→→→EF－GH－PQ＝0→→→

→→→C.EF＋GH－PQ＝0D.

EF－GH＋PQ＝0答案A分析→→→→→→→→→11研究3空间向量证明题例3在如下图的平行六面体中．→→→→求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形，→→→→→→→→→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′.→→→→→→→→→→→→∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)，→→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC，→→→→→→→→→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′，→→→→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.拓展提高空间向量证明题的注意点利用三角形法例或平行四边形法例进行证明，必定要注意和(差)向量的方向．必需时利用空间向量可自由平移，使作图简单．【追踪训练3】借助平行六面体，证明：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．证明作平行六面体→→→ABCD－A′B′C′D′使AB＝a，AD＝b，AA′＝c，如图，则：→→→→→→(a＋b)＋c＝(AB＋AD)＋AA′＝AC＋CC′＝AC′，→→→→→→→→→a＋(b＋c)＝AB＋(AD＋AA′)＝AB＋(BC＋CC′)＝AB＋BC′＝AC′，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．在空间，向量、向量的模、相等向量的观点和平面向量完整一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向同样、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.2.向量能够平移，随意两个向量都是共面向量．所以空间两个向量的加、减法运算和平面向量完整同样，能够利用平行四边形法例和三角形法例来进行.空间向量进行减法运算时，必定要抓住向量的起点与终点，不然简单致使结果计算错→→误．如AB－AD，误写成

→→BD，应为DB.1．向量

a，b互为相反向量，已知

|b|

＝3，则以下结论正确的选项是

(

)A．a＝b

B．a＋b为实数

0C．a与

b方向同样

D．|a|＝3答案

D分析

因为

a，b

互为相反向量，所以

a＝－b，a＋b＝0，a

与

b

方向相反，

|

a|

＝|

b|3.→→→→2．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则以下结论正确的选项是( )→→→A.AB＝BC＋CD→→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB＋BC＋DC→→→D.BC＝BD－DC答案B分析→→→→→→→→→AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.3．设有四边形，为空间随意一点，且→＋→＝→＋→，则四边形是( )ABCDOAOOBDOOCABCDA．空间四边形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形答案B→→→→→→分析∵AO＋OB＝AB，DO＋OC＝DC，→→∴AB＝DC，∴线段AB，DC平行且相等，∴四边形ABCD是平行四边形．4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在以下各结论中正确结论的序号为________．→→→→①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；→→→→②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；→→→→→→→→③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；→→→→④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．答案①③④分析以下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，B1C1的中点，则由向量运算的平行四边形法例，知→→→→→→→→11OA＋OD＝2OE，OB＋OC＝2OF，又OE＝－OF，所以命题①正确．→→→→→→，因为OB－OC＝CB，OA1－OD1＝D1A1→→→→所以OB－OC与OA1－OD1是两个相等的向量，所以命题②是不正确的．同理可得命题③④是正确的．5．以下图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个极点中的两点为起点和终点的全部向量中，单位向量共有多少个？试写出模为5的全部向量；→(3)试写出与AB相等的全部向量；→(4)试写出A