考点07椭圆离心率14种常见考法归类（原卷版）VIP

考点07椭圆离心率的14种常见考法归类离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。一、求离心率的方法．求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：1、利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解；（1）特殊三角形与离心率这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.平行四边形与离心率：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.圆与离心率借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数）3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．二、离心率的范围问题．在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）借助题目中给出的不等信息题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；基本步骤：①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.（2）借助函数的值域求解范围若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；基本步骤：①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；②通过确定函数的定义域；③利用函数求值域的方法求解离心率的范围.借助平面几何图形中的不等关系基本步骤：①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，③解不等式，确定离心率的范围.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．考点一利用几何性质1．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.2．（2023·河南郑州·高二校联考阶段练习）直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________.4．（2022春·辽宁丹东·高二凤城市第一中学阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（

）A．, B．,C．, D．,考点二利用坐标法5．（2022秋·江苏无锡·高二统考期中）如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点（靠近点），为椭圆的右焦点，的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为______．6．（2022秋·吉林·高二统考期中）过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.考点三椭圆第一定义7．（2022秋·福建三明·高二阶段练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，且，则椭圆离心率为A． B． C． D．8．（2022秋·安徽·高二统考期中）、分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于、两点，已知，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．9．（2022秋·湖南株洲·高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，连接交轴于点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．10．（2022秋·山西·高二校联考期末）已知椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆C交于点A，B，若|AF1|＝|AB|＝5，|F1B|＝6，则椭圆C的离心率为_____.11．（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为__．考点四焦半径和椭圆第二定义12．（2022秋·天津河东·高二统考期末）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____.13．（2022春·江苏淮安·高二淮阴中学校考阶段练习）已知椭圆C：()，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A､B两点，满足，则椭圆C离心率的最小值是______.14．（2022·高二单元测试）设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．考点五中点弦和椭圆第三定义15．（2022·高二单元测试）若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．16．（2022秋·安徽蚌埠·高二校考期中）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，求椭圆的离心率.17．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．18．（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．考点六与斜率乘积相关19．（2022·湖北）过原点的直线与椭圆，交于两点，是椭圆上异于的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.20．（2022秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考阶段练习）已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．21．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二新疆实验校考开学考试）若A，B分别是椭圆E：（m＞1）短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与直线BP的斜率之积为，则椭圆E的离心率为_____．22．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．23．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点七已知焦点三角形顶角24．（2022秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______25．（2022秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，若椭圆上存在一点满足，则椭圆离心率的最小值为________．26．（2022·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是A． B． C． D．27．（2022秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________.28．（2022秋·河北邯郸·高二阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围为A． B．C． D．29．（2022秋·天津南开·高二天津二十五中校考期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．考点八已知焦点三角形的两个底角30．（2022秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（

）A． B．C． D．31．（2022春·浙江·高二学业考试）设为椭圆（）上一点，，为焦点，如果，，那么椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．32．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（

）A．（0，1） B．C． D．考点九焦点三角形双余弦定理模型33．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）椭圆的左右焦点分别为为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足，若构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________．34．（2022·广东）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．35．（2022春·全国·高二专题练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，，，则椭圆的离心率为______.考点十焦点弦与定比分点36．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（

）A． B． C． D．37．（2022秋·江苏南通·高二统考阶段练习）椭圆：的左焦点，上顶点A，直线与椭圆的另一交点为M，，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．38．（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（

）A． B． C． D．考点十一椭圆与四心39．（2023秋·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．40．（2022秋·辽宁大连·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________．41．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）已知椭圆的两个焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是______．42．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（

）A． B． C． D．43．（2022·全国·高二专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B．C． D．考点十二焦点圆44．（2022秋·四川成都·高二校考阶段练习）已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．45．（2022秋·河北沧州·高二校考阶段练习）已知圆与轴的交点分别为，，点是直线：上的任意一点，椭圆以，为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为____________.考点十三椭圆与圆46．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校联考阶段练习）已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．47．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线、线段以及x轴均相切，的内切圆为圆，若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则C的离心率为__________．48．（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）已知点是椭圆上任意一点，的离心率为，若圆上存在点，使得，则的最大值为______．49．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．50．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围