《复变函数》教学大纲

第页《复变函数》教学大纲课程编号：10100007英文名称：FunctionofOneComplexVariable学分：3学时：总学时48学时，其中理论48学时先修课程：数学分析课程类别：专业课程（必修）授课对象：数学与应用数学（师范）专业学生教学单位：数理信息学院修读学期：第4学期一、课程描述和目标本课程是数学与应用数学（师范）专业的一门专业主干课程，是数学分析的深入与延续，不仅在数学学科其他分支，而且在理论物理、信号处理等领域也有着广泛应用。本课程总学时共48学时，在教与学的教学活动中，本课程坚持理念“以学生发展为中心，学生学习结果为导向，并持续改进(教学反思)学生的学习效果”。本课程的主要内容包括解析函数的三大理论：积分理论，级数理论以及留数理论。本课程教学活动结束，学生将具备复分析的基础理论；掌握复分析中的基本思想与论证方法，了解复分析相关领域的发展进程；具备一定的逻辑思维，以及具备解决综合问题的能力，预期学生将在专业知识学习、能力训练提升、综合素养发展三方面达到以下学习结果：【学生学习结果1】:通过该课程的学习，学生掌握复数的基本运算；理解复变函数极限与连续的定义；掌握解析函数的积分理论、级数理论、留数理论。【学生学习结果2】：通过开展数学阅读，查阅文献等教学活动，学生了解复变函数的发展历史，清楚实分析与复分析的共同点与不同点，加强对复分析的兴趣，形成自学与合作学习的习惯。【学生学习结果3】：通过该课程的学习，提高抽象思维能力、逻辑推理能力以及运算能力，为进一步学习后续数学专业课打好坚实的基础；能利用所学复分析知识解决一些实际问题。本课程对应的专业毕业要求的内涵分解和支撑关系本课程对应的专业毕业要求内涵和指标，以及所支撑毕业要求指标的程度关系如表2-1和表2-2所示。表2-1对应本课程的专业毕业要求内涵分解毕业要求内涵毕业要求指标学会教学（学科素养方面）毕业要求指标3-1:熟悉数学学科发展的基本情况，把握中学数学与高等数学的内在联系，熟悉基础教育发展动态，理解教育学原理，遵循数学教育规律，能培养学生的数学素养和数学审美观。毕业要求指标3-2:掌握分析学科的基本知识和主要思想方法，具备较好的分析、演绎推理和数学表达能力。毕业要求指标3-5:具备一定的物理、计算机及相关人文社科知识，具有运用数学建模和统计调查等相关专业知识和方法来解决实际问题的能力。表2-2课程与毕业要求指标对应的支撑程度矩阵关系课程名称毕业要求指标3-1毕业要求指标3-2毕业要求指标3-5复变函数M（中支撑）H（高支撑）M（中支撑）教学内容、基本要求与学时分配本课程理论教学共48个学时，包含7章。表3-1教学内容、基本要求与学时分配教学章节基本要求支撑的学习结果建议学时第一章复数与复变函数§1.1复数§1.2复平面上的点集§1.3复变函数§1.4复球面与无穷远点理解复数域、复平面、复数的模与辐角，熟练掌握复数的各种表示、共轭复数、复数的运算与性质；掌握复数在几何上的应用，理解平面点集的基本概念，掌握复变函数的极限与连续的概念；了解复数的几何意义、约当曲线、复球面、扩充复平面。学习结果1学习结果26第二章解析函数§2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程§2.2初等解析函数§2.3初等多值函数理解复变函数的导数与微分的概念；掌握解析函数的定义及其性质、Cauchy－Riemann方程，能熟练判别函数的解析性；掌握初等解析函数的定义与性质；理解根式函数的变换特性，了解对数函数的；多值性了解正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、一般幂函数和一般指数函数的定义与计算。学习结果1学习结果36复变函数的积分§3.1复积分的概念及其简单性质§3.2柯西积分定理§3.3柯西积分公式及其推论§3.4解析函数与调和函数的关系理解和掌握复变函数积分的定义及性质；熟练掌握复积分的各种计算方法；理解和掌握Cauchy积分定理、不定积分，牢固掌握Cauchy积分公式和解析函数的高阶导数公式；理解解析函数的无穷可微性，掌握Cauchy不等式、Liouville定理、解析函数与调和函数的关系；了解Morera定理。学习结果1学习结果310解析函数的幂级数表示法§4.1复级数的基本性质§4.2幂级数§4.3解析函数的泰勒展示§4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理理解复级数的定义与性质、复函数项级数的一致收敛、解析函数项级数、幂级数的敛散性及性质、Taylor定理，牢固掌握基本初等函数的Taylor展式；能熟练地将函数在指定点的邻域内展开成Taylor级数；理解解析函数零点的孤立性、唯一性定理，掌握最大模原理。学习结果1学习结果38第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点§5.1解析函数的洛朗展式§5.2解析函数的孤立奇点§5.3解析函数在无穷远点的性质§5.4整函数与亚纯函数的概念理解解析函数的Laurent展式、Laurent级数与Taylor级数的关系；能熟练地将函数在指定点的邻域内展开成Laurent级数，掌握孤立奇点的分类方法并能对奇点的类型进行判别，理解解析函数在无穷远点的性质；了解Schwartz引理、Picard定理、整函数与亚纯函数的定义及其简单性质。学习结果1学习结果38第六章留数理论及其应用§6.1留数§6.2用留数定理计算实积分§6.3辐角原理及其应用理解留数定义、对数留数，熟练掌握留数的各种计算方法；掌握留数定理及其在复积分和三种特殊类型的实积分计算中的应用；理解辐角原理、儒歇定理，并能作简单应用。学习结果1学习结果2学习结果310总计48四、学生毕业目标的达成途径本课程采用课堂讲授、分组讨论、课外学习（课程小论文、课程报告等）的教学方法，以达到符合毕业要求指标点的教学目的。表4-1课程毕业要求和达成途径毕业要求指标目标达成途径毕业要求指标3-1教师活动：教学上，突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出复变函数与数学分析的联系与区别。同时，做好课后答疑讨论环节，注重师生沟通。学生活动：完成一定数量的课后习题作业，强化解题训练，巩固学科新知。毕业要求指标3-2教师活动：教学上，既注重教学内容串联完整性，又关注不同章节知识点的关联性，强调复变函数的理论与数学分析知识的关联性(如零点的孤立性）。学生活动：高质量完成一定数量的课后习题作业，会用留数求积分，会判断解析函数是否可微，会求沿不同路径的积分，会判断级数是否收敛，会判断奇点的分类。毕业要求指标3-5教师活动：精心进行教学设计，课件体现学科前沿性，如调和函数等知识的现代应用；抛出一些探索性问题。学生活动：写开放课题小论文。学生从发现问题、分析问题、解决问题过程中，加深对学科知识的理解与吸收，从而学生的科学思维、创新意识和创新能力得到综合训练。注:毕业要求指标下内涵和具体内容参考表2-1五、学业评价和课程考核考核方式：本课程采用过程性考核和结果性考核相结合的方式。表5-1：学业考核评价标准考核依据建议分值考核/评价细则对应学生学习结果平时成绩50%过程考核10%过程考核包括出勤情况和课堂表现、教学上互动和学习反馈、线上讨论参与情况等等。修课学生基础分80分，若发生迟到、无故旷课、学习态度差(课堂玩手机、多言好睡等)现象一次，则扣1-5分，扣完为止；积极参与回答问题或有效提问者，酌情加分2-5分，上限20分。学期末该分值×10%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2作业考核20%平时作业（包括课后作业、开放课题小论文、课堂报告等等形式）批改以百分制登记，教师批阅给分，不交作业记为零分，最后作业成绩按平均分值计算。学期末平均分值×20%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3中期考核20%修课学生参加期中考试,教师批阅试卷，成绩以百分制登记，学期末该分值×20%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3期末考核50%修课学生参加期末考试，教师批阅试卷，成绩以百分制登记，学期末以该分值×50%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3注：1.作业包括：课后习题作业（小作业）、开放课题小论文(大作业)、课堂报告（大作业）等形式；2．过程考核包括：出勤率和课堂表现，教学上互动和学习反馈，线上讨论参与情况等；3.学生综合总评成绩=过程考核(100分制)×10%+作业考核(100分制)×20%+中期考核(100分制)×20%+期末成绩(100分制)×50%。表5-2：作业考核评价方法评分标准作业形式评分细则课后习题作业（小作业）1.字迹工整，态度认真正确率90%以上；2.正确率在60%-90%之间；3.正确率低于60%的，字迹工整且体现清晰解题思想的；4.其他情况。参考以上细则，教师对作业酌情记分（升档间隔分5分）或确定等级A（90分）,B（80分）,C（70分）,D（60分及以下）,每个等级可用上标“+”升档5分，即A+（95分）,B+（85分），A++（100分）。开放课题小论文（大作业）1.从选题(20分)、问题陈述(20分)、内容与信息(20分)、创新新或提出新见解(20分)、表达与结构(20分)共5个方面进行评分，单项不超过20分，满分100分（等级A++）；2.只要语言表达清晰流畅，论述完整，逻辑性强，且论题的信息与数据正确，没有不确定性、猜测性内容，记80分（等级B）以上，参考以上细则，教师对作业酌情记分（或等级）。其他可能形式：比如读书报告、课堂报告或小组讨论探究性问题教师给出报告或讨论主题，学生自由分组，通过查阅文献资料准备课堂报告。基本要求：每个报告时间为5-8分钟，讨论5分钟；视小组学习态度、PPT完成质量(清楚、美观、科学、创新，趣味性)，完成效率等进行记分，小组报告人记分酌情增加。表5-3：过程考核评分标准考核类型分值比重考核子课题考核内容说明过程考核10%线上学习参与情况可从理论知识、习题解答、作业递交、问题反馈、完成结果以及数学素养等几个方面进行评分课堂研讨拓展学习课堂专题研讨参与、课外拓展学习情况平时表现平时出勤、学习态度、回答问题等本课程学生学习结果评价依据和评价方法见表5-4所示。表5-4学生学习结果评价因子及达成评价值的符号对照表符号符号解释学生学习结果的达成评价值,这里为学生学习结果指标分类情况。设支撑学生学习结果的考核方式共有种，表示支持学生学习结果的第种考核方式学生平均得分值，即支撑学生学习结果的考核方式共有种，表示支持学生学习结果的第种考核方式平均设定分数值，即。第种考核方式设定分值在综合总评成绩中的占比，具体参照表5-1。学生学习结果的达成度的期望值与课程性质、各环节考核的综合难易程度有关取值范围为0.7~1.0，由教师确定命题大纲时确定具体值，作为后续持续改进评价参考因子之一。对，学生学习结果的达成评价值采用计算公式:。评价依据和评价方法说明：学生学习结果的达成标准：本课程学生学习结果达成值的期望值与课程的学习结果、各环节考核的综合难易程度有关，故本课程任课教师对学生学习结果的期望值设置为0.7⁓1.0，本课程各学习结果达成值的期望值设定为。学生学习结果指标达成情况的主要评判依据：（1）当学生学习结果达成评价值聚集1附近时，学生学习结果达成分布正常合理，达成情况比较理想；（2）参照《绍兴文理学院学士学位授予工作细则》（绍学院发〔2016〕126号），获得学士学位需要“综合学业平均学分绩点不小于2”，转换成百分制即对应课程的各学习结果考核平均成绩≥70分，满分对应为100分。因此，本课程的各学习结果达成值最小值设定为70/(0.7*100)=1，小于1认定为“未达到要求”；（3）当学生的某学习结果考核成绩≥90分（此学习结果设定分为100分），对应的学习结果达成值为90/(0.7*100)=1.29，一般意义下,该评价值为尖优学生的正常值或正态分布的异常值。这时，需要结合全体学生的达成值数据分布情况，并考虑课程考核方式之一（平时作业、测验、期中考核、期末考核等）是否存在不合理之处，是否需要进一步规范改进。因此，大于1.29认定为“超预期要求”。对于学习结果1：主要评价学生对于复变函数的基础理论是否有一个深刻了解。因测验、期中、期末考核卷面成绩都比较容易反映学生对这些知识点的掌握程度，故期中、期末的试题命题支撑对学生学习结果1权重应相对大些。对于学习结果2：主要评价学生是否加强对复分析的兴趣，是否提高了学生的自学与合作学习的能力。因作业答疑讨论课，使学生之间有更多的机会深入探讨和交流，这样可以互相启发，故平时过程考核和作业考核支撑学习结果2权重更大。对于学习结果3：主要评价学生是否提高抽象思维能力、逻辑推理能力以及运算能力，为进一步学习后续数学专业课打好坚实的基础。因作业形式比较灵活，涵盖课外阅读，开放课题小论文，课堂报告，这些能比较直接反映学生的综合数学素养，故作业考核、期中考核、期末考核支撑学生学习结果3权重相对均衡。六、持续改进（教学反思）（一）在教学过程中，通过部分学生面谈求询、课堂讨论等形式，强化师生学业沟通，充分掌握学生学情，及时反思教学设计、技术手段、评价形式存在的不足，不断改进教学过程存在的问题。（二）结合学生课后作业、期中考核、期末考核等情况及教学测评、教学督导、教学巡察等反馈的反馈意见，对课堂教学