《高等代数2》教学大纲

第页《高等代数2》教学大纲课程编号：10102002英文名称：AdvancedAlgebra(2)学分：4学时：总学时64学时，其中理论64学时先修课程：高等代数1课程类别：专业基础课程（必修）授课对象：数学与应用数学(师范)专业学生教学单位：数理信息学院修读学期：第2学期一、课程描述和预期目标本课程是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学学科所有专业方向的基础，是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用型很强的数学修养核心课程。本课程总学时共64学时，其中理论课64学时，在教与学的教学活动中，本课程始终坚持“以学生发展为中心，学生学习结果（课程教学目标）为导向，并持续改进(教学反思)学生的学习效果”的教学理念。本课程包含线性代数基本理论：包括向量空间、线性变换、欧氏空间等。本课程教学活动结束，学生将达到以下学习效果：初步具备代数学基础和代数思想素质；基本学会代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧；具备辩证思维、逻辑思维、批判性思维和综合解决问题能力。本课程教学活动结束，预期学生将在专业知识学习、能力训练提升、综合素养发展三方面达到以下学习结果：【学生学习结果1】:通过课堂讲授、课堂讨论、课后作业、课堂报告、查阅文献资料等教学活动，学生学会向量空间、线性变换及欧式空间等线性代数理论的基本概念、基础知识与基本理论，初步熟悉和学会由特殊到一般、具体到抽象的研究方法，理解有限与无限的辩证关系，学会本课程所涉及的探索问题、解决问题的重要思想方法，为后续专业课程、其它相关学科的学习奠定坚实的思想方法基础。【学生学习结果2】：通过“以学生为中心”活泼互动的课堂教学，学生的学习兴趣被刺激；通过学科探索讨论课，学生的学习主动性被激发；通过写专题读书报告，学生的查阅资料和归纳总结的能力被训练；通过难题攻关，学生不仅享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，而且学会进行独立思维和解决实际问题，并能够积极创新。同时，通过课前预习、课堂启发与讨论、课后作业等方式，培养学生自主学习与职后发展的能力。【学生学习结果3】：通过开展数学阅读，加强自学指导等教学活动，学生尽早理解代数的一些历史背景(数学家的人文史料、励志故事以及数学发展史中体现出来的数学精神等方面)，并更好地理解离散现象的基本研究方法，具备从不同对象中抽取共同性质并进行演绎推理的能力，能在更高的观点下处理初等代数教学中的相关问题，培养学生的终身学习和专业发展意识，从而提升个人适应中学数学教育的学科综合素养。本课程对应的专业毕业要求的内涵分解和支撑关系本课程对应的专业毕业要求内涵和指标，以及所支撑毕业要求指标的程度关系如表2-1和表2-2所示。表2-1对应本课程的专业毕业要求内涵分解毕业要求内涵毕业要求指标学会教学（学科素养方面）毕业要求指标3-1:熟悉数学学科发展的基本情况，把握中学数学与高等数学的内在联系，熟悉基础教育发展动态，理解教育学原理，遵循数学教育规律，能培养学生的数学素养和数学审美观。毕业要求指标3-3:掌握代数、几何学的基本知识和思想方法，具有较强的抽象思维、空间想象能力。毕业要求指标3-5:具备一定的物理、计算机及相关人文社科知识，具有运用数学建模和统计调查等相关专业知识和方法来解决实际问题的能力。学会育人（综合育人方面））毕业要求指标6-2:通过课程与实践，掌握数学学科育人中的原理和策略，能发掘数学学科中蕴含的育人方法，有机结合数学教学进行育人活动，将数学思维方法、数学文化融入到教学实践中，提高学生的数学素养。表2-2课程与毕业要求指标对应的支撑程度矩阵关系课程名称毕业要求指标3-1毕业要求指标3-3毕业要求指标3-5毕业要求指标6-2高等代数2M（中支撑）H（高支撑）M（中支撑）M（中支撑）三、教学内容、基本要求与学时分配本课程理论教学共64个学时，包含5章。表3-1教学内容、基本要求与学时分配教学章节基本要求支撑的学习结果建议学时第六章线性空间§1集合与映射§2线性空间的定义与简单性质§3维数基于坐标§4基变换于坐标变换§5线性子空间§6子空间的交与和§7子空间的直和§8线性空间的同构理解向量空间的概念及其简单性质，初步理解公理化的思想方法，熟悉常见的向量空间；掌握子空间的概念和判别方法；理解生成的子空间的概念，学会子空间的交与和概念；正确理解向量的线性组合及向量组等价概念；学会向量组的线性相关、线性无关概念及判别方法；学会向量组的极大无关组和秩的概念及求法；掌握向量空间的维数与基的概念及其求法；学会维数公式，理解基的扩充定理；理解子空间的和是直和的概念；掌握子空间的和是直和的充要条件；正确理解向量空间中向量坐标的概念及其意义、基变换及坐标变换公式、过渡矩阵的概念及其性质；理解线性空间同构的概念、性质及其重要意义；有限维线性空间同构的充要条件；理解齐次线性方程组的基础解系的概念、求法，熟练学会一般线性方程组的解的结构。学习结果1学习结果2学习结果316第七章线性变换§1线性变换的定义§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§5对角矩阵§6线性变换的值域与核§7不变子空间§8若当标准形介绍正确理解线性变换的定义，会判别一个变换是不是线性变换；学会线性变换的简单性质，理解线性变换的值域、核的概念；学会线性变换的加法、数量乘法、乘法及其简单性质；理解线性变换的矩阵的概念，并能熟练地求出线性变换在给定基下的矩阵；学会矩阵相似的概念及其基本性质；理解不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是σ-子空间；掌握不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；理解特征值和特征向量的概念并且学会其求法；理解特征子空间、特征多项式的概念、特征多项式的性质；掌握线性变换(矩阵)可以对角化的条件及化简方法。学习结果1学习结果2学习结果318第八章矩阵§1矩阵§2矩阵在初等变换下的标准形§3不变因子§4矩阵相似的条件§5初等因子§6若尔当标准形的理论推导§7矩阵的有理标准形正确理解矩阵的定义，矩阵的秩，矩阵可逆的概念，理解任一非零的矩阵可经初等变换化为标准形；理解行列式因子、不变因子、初等因子的概念及它们之间的相互关系，掌握初等因子的求法和若尔当标准形的求法；理解矩阵可逆的充分必要条件和矩阵等价的充分必要条件，掌握矩阵相似的充分必要条件；理解和掌握若尔当标准形的存在及唯一性这一深刻定理。学习结果1学习结果212第九章欧氏空间§1定义与基本性质§2标准正交基§3同构§4正交变换§5子空间§6实对称矩阵的标准形§7向量到子空间的距离最小二乘法正确理解内积概念；欧氏空间、向量的长度、两个向量的夹角、正交、距离等概念；柯西—施瓦兹不等式；理解标准正交基的概念，能熟练地求出一组标准正交基并且理解标准正交基的作用；理解正交矩阵的概念、性质及其与标准正交基的关系；掌握欧氏空间同构的概念及欧氏空间同构的充要条件，理解正交变换的概念和性质，正交变换与正交矩阵的关系；理解两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质；掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。学习结果1学习结果2学习结果318总计64四、学生毕业目标的达成途径本课程采用课堂讲授、分组讨论、课外学习（课程小论文、课程报告等）的教学方法，以达到符合毕业要求指标点的教学目的。表4-1课程毕业要求和达成途径毕业要求指标目标达成途径毕业要求指标3-1教师活动：教学上，突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地学会数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。同时，做好课后答疑讨论环节，注重师生沟通。学生活动：完成一定数量的课后习题作业，强化解题训练，巩固学科新知；积极主动参与线上的一些学习讨论，并经常与教师地沟通，反馈学习情况。毕业要求指标3-3教师活动：教学上，既注重教学内容串联完整性，又关注不同章节知识点的关联性，强调一元多项式相关理论与初等代数知识的关联性(比如一元多项式带余除法和，强调矩阵、线性方程组、二次型三章节知识点之间的密切联系。学生活动：高质量完成一定数量的课后习题作业，涵盖用线性方程组理论研究矩阵的秩、向量的线性相关性；用矩阵(系数或增广矩阵)的秩解答线性方程组的三大问题(解的存在性性、计数、结构问题)；用初等变换法化二次型为标准形和二次型正定性的判定。毕业要求指标3-5教师活动：精心进行教学设计，课件体现学科前沿性，如线性变换、特征值与特征向量等知识的现代应用；抛出一些探索性问题，比如矩阵变换在计算机图形变换、特征值与特征向量在足球比赛成绩排序的一些应用举例，矩阵变换在图像加密中的应用等等。学生活动：写开放课题小论文，条件允许下，也可参与数学实验课。学生从发现问题、分析问题、解决问题过程中，加深对学科知识的理解与吸收。从而，学生的科学思维、创新意识和创新能力得到综合训练。毕业要求指标6-2教师活动：鼓励学生开展课外阅读，引导学生学习学科文化知识有计划、有目的、有组织地学生探索高等代数的数学知识、数学思想和数学方法与中学阶段所学的几何、代数知识之间的联系。学生活动：开展课外阅读、写专题报告，自主学习对一些数学概念、数学思想追根溯源，学习一些数学历史和数学人物，有趣的数学励志故事，理解一些以数学家命名的经典定理的产生过程，主动探索中学数学知识和大学数学知识的共性与差异。深了学生对所学专业知识的深刻理解。在这些过程中，学生无意识地获得学生一些教学能力训练。注:毕业要求指标下内涵和具体内容参考表2-1学业评价和课程考核考核方式：本课程采用过程性考核和结果性考核相结合的方式。表5-1：学业考核评价标准考核依据建议分值考核/评价细则对应学生学习结果平时成绩50%过程考核10%过程考核包括出勤情况和课堂表现、教学上互动和学习反馈、课堂讨论参与情况等等。修课学生基础分80分，若发生迟到、无故旷课、学习态度差(课堂玩手机、多言好睡等)现象一次，则扣1-5分，扣完为止；积极参与回答问题或有效提问者，酌情加分2-5分，上限20分。学期末该分值×10%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果3作业考核20%平时作业（包括课后作业、开放课题小论文、课堂报告等等形式）批改以百分制登记，教师批阅给分，不交作业记为零分，最后作业成绩按平均分值计算。学期末平均分值×20%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2中期考核20%修课学生参加参加期中考试,教师批阅试卷，成绩以百分制登记，学期末该分值×20%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3期末考核50%修课学生参加期末考试，教师批阅试卷，成绩以百分制登记，学期末以该分值×50%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3注：1.作业包括：课后习题作业（小作业）、开放课题小论文(大作业)、课堂报告（大作业）等形式；2．过程考核包括：出勤率和课堂表现，教学上互动和学习反馈，线上讨论参与情况等；3.学生综合总评成绩=过程考核(100分制)×10%+作业考核(100分制)×20%+中期考核(100分制)×20%+期末成绩(100分制)×50%。表5-2：作业考核评价方法评分标准作业形式评分细则课后习题作业（小作业）1.字迹工整，态度认真正确率90%以上；2.正确率在60%-90%之间；3.正确率低于60%的，字迹工整且体现清晰解题思想的；4.其他情况。参考以上细则，教师对作业酌情记分（升档间隔分5分）或确定等级A（90分）,B（80分）,C（70分）,D（60分及以下）,每个等级可用上标“+”升档5分，即A+（95分）,B+（85分），A++（100分）。开放课题小论文（大作业）1.从选题(20分)、问题陈述(20分)、内容与信息(20分)、创新新或提出新见解(20分)、表达与结构(20分)共5个方面进行评分，单项不超过20分，满分100分（等级A++）；2.只要语言表达清晰流畅，论述完整，逻辑性强，且论题的信息与数据正确，没有不确定性、猜测性内容，记80分（等级B）以上，参考以上细则，教师对作业酌情记分（或等级）。其他可能形式：比如读书报告、课堂报告或小组讨论探究性问题教师给出报告或讨论主题，学生自由分组，通过查阅文献资料准备课堂报告。基本要求：每个报告时间为5-8分钟，讨论5分钟；视小组学习态度、PPT完成质量(清楚、美观、科学、创新，趣味性)，完成效率等进行记分，小组报告人记分酌情增加。表5-3：过程考核评分标准考核类型分值比重考核子课题考核内容说明过程考核10%线上学习参与情况可从理论知识、习题解答、作业递交、问题反馈、完成结果以及数学素养等几个方面进行评分课堂研讨拓展学习课堂专题研讨参与、课外拓展学习情况平时表现平时出勤、学习态度、回答问题等本课程学生学习结果评价依据和评价方法见表5-4所示。表5-4学生学习结果评价因子及达成度评价值的符号对照表符号符号解释学生学习结果的达成度评价值,这里为学生学习结果指标分类情况。设支撑学生学习结果的考核方式共有种，表示支持学生学习结果的第种考核方式学生平均得分值，即支撑学生学习结果的考核方式共有种，表示支持学生学习结果的第种考核方式平均设定分数值，即。第种考核方式设定分值在综合总评成绩中的占比，具体参照表5-1。学生学习结果的达成度的期望值与课程性质、各环节考核的综合难易程度有关取值范围为07~1.0，由教师确定命题大纲时确定具体值，作为后续持续改进评价参考因子之一。对，学生学习结果的达成度评价值采用计算公式:。评价依据和评价方法说明：学生学习结果的达成标准：本课程学生学习结果达成值的期望值与课程的学习结果、各环节考核的综合难易程度有关，故本课程任课教师对学生学习结果的期望值设置为0.7⁓1.0，本课程各学习结果达成值的期望值设定为。学生学习结果指标达成情况的主要评判依据：（1）当学生学习结果达成评价值聚集1附近时，学生学习结果达成分布正常合理，达成情况比较理想；（2）参照《绍兴文理学院学士学位授予工作细则》（绍学院发〔2016〕126号），获得学士学位需要“综合学业平均学分绩点不小于2”，转换成百分制即对应课程的各学习结果考核平均成绩≥70分，满分对应为100分。因此，本课程的各学习结果达成值最小值设定为70/(0.8*100)=0.875，小于0.875认定为“未达到要求”；（3）当学生的某学习结果考核成绩≥90分（此学习结果设定分为100分），对应的学习结果达成值为90/(0.8*100)=1.125，一般意义下,该评价值为尖优学生的正常值或正态分布的异常值。这时，需要结合全体学生的达成值数据分布情况，并考虑课程考核方式之一（平时作业、测验、期中考核、期末考核等）是否存在不合理之处，是否需要进一步规范改进。因此，大于1.125认定为“超预期要求”。对于学习结果1：主要评价学生对于高等代数的基础理论(多项式理论、行列式和线性方程组理论、矩阵理论的核心思想与方法)有一个深刻理解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。因测验、期中、期末考核卷面成绩都比较容易反映学生对这些知识点的学会程度，故期中、期末的试题命题支撑对学生学习结果1权重应相对大些。对于学习结果2：主要评价训练学生代数学的逻辑推理和思维方法，培养学生独立思维能力和解决实际问题能力。因作业答疑讨论课，使学生之间有更多的机会深