防洪物质调运问题38交通流quanbu

交通流问题分析求2r。在此基础上，考虑到公路很长或者说车流通常很长，r不大时可以推导出车流速度与密度的关系，再用非线性拟合进行拟合，得到了描述车流速度：交通流模型密度波密度波非连续交通流问题重 基本假 符号说 问题一：测量区间的选 问题三：给出两辆车的车速和距离估计 问题六：带有反应时间T的线性车辆跟随模型分 问题七：计算密度波速度并且证明其小于汽车的速 问题八：两小时后会不会有 问题九：交通灯由红变绿后的车流密 问题十的分析求 模型的评价与推 参考文 附 问题一的程序代码 问题四的程序代码 问题重临交通问题.而在的信息化社会里,效率就是时间,时间就是.而随着人们拥有汽车的数量不断地增长,优化交通管理成为亟需解决的突出问题之一.在给出的初步模型（在单车道的区间[0，100]45辆汽车，在并给出了每辆车的位置坐标）x=50处的车辆密度。利用所观测得到的速度—密度关系的数据给出速度-T设u(ρ)=um(-ρ/ρm)如果车流密度处处在ρ0附近试计算其密度波的速度并且结果表明隧道的资料适合于模型q(ρ)=aρ[㏑ρm-㏑ρ]。假设初始密度将在区间[-x0,0]内从ρm0.问两小时后会不会有ρ=ρ/2?设u=um(1-p2/pm2).试给出公交通灯由红变绿后的车流密度如果交通灯由红灯变成绿灯，试给出这个信息的速度基本假在高速公各种类型的机动车一辆接着一辆的飞驶而过就象在江河中奔腾的水流一x端点驶往和驶出的的车辆处，不会在其中出现或其它的车辆。如果车辆很少时，汽车将以其可能的最大速度行驶在一定的密度下（拥护以致发生堵塞时）密度和流量是连续的（甚至于连续可微符号说――――单位距离的 的车辆数，即车辆密 X-----------xxx(t),它是时间tdx(t)/dt,d2x/dt2 u0 T问题一：测量区间的选rx=50处车辆的密度r区间N/

Nr非常小，车辆实际上就x=50r6.0r1图表1：区间r的选取与密度的关系图（测量区间变化较大但从另一个角度来说，车辆密度是描述一段道路中某一位置（本题中为x=50）2。图表2：区间r的选取与密度的关系图（测量区间变化较大1，2r20是合理的，即测量区间为[30，70]，在此测量区间以后0.45。3。图表3：区间r的选取与密度的关系图（取不同的点问题二：证明N(t)的变化率满足一个重要关x=b(t)。N(t)表示公区间[a,b(t)]内的车辆数图a我们知道，流所以，在△t(at)u(at△ta(bt)u(bt△tbx=b(t)△x辆车进入区间（其中x

db(tddt于是，变化的总车辆为(at)u(at)△t(bt)u(bt△t+ρ(b,t)dN／dt=△

,(),(,(),(-tρ(b,tt即：dN／dt=-ρ(b,t)[u(b,t)-问题三：给出两辆车的车速和距离估计a，bta1a2tb1tb2关系有ta1ta<tb<b2d，那么我们很容易就可以根据物理关系得到两辆汽车的速度：vavb

tat

dt

b 112122d现在我们用l(tt时刻两辆汽车的距离，l0表示ta1t的关系为：l(t)l0vbva

式子中的未知数有l0和t，那么我们要得到距离与时间t的关系，就要知道l0的大小我们可以研究ta2和tb1时刻两辆汽车的状态。在ta2时刻两辆汽车的距离就等于两个观测的知道ta2时刻后一辆汽车与后一个观测站的距离x就可以了，现在我们研究ta2到tb1后一辆汽车运行的距离就是后一辆汽车与后一个观测站的距离x，所以x的计算如下：l0vbvata2dvbtb1ta2这样就可以计算出初始距离l0了 b a aaldv b a aa

b a aa ltdv vb a aa

ltdv vvt

b a ab a a问题四：据数据给出速度-密度关系模040duntT

unt

（具体参见第六问的求解 xntxn1在稳定的车流下，注意到um0,这样便得到用进行拟合并作图如下（程序代码见附录51.9u10.917 u17

qu,

1450我们又用程序得到拟合后的各项数据67228446224431、2问题五：证明α=-duu是关于密度du的一次导数，a adu*

qu，对此式两边求导，得到：duud

d*u我们可以把上式代入到（1）a

u*

udx，将此式代入（3）a

a*du*du du

dudu为正数时，表示位移dx速度增加dudu为负数时 示位移dx速度减少du。所以负号是有道理的，它可以表示车速u和密度ρ是成反由题义知（x,0)=-xxmx0于是我们只要求解方q(alnmln x,0) fm m查资料得车辆守恒方程pq 则paa[lnln1p 即paa[lnln1p paa[lnln1p 记Q(xt)a(lnmln于是只要pQ(x,t)p 其中f(xxxmx0xttA其中A为常数将沿x(t)方向求导：Q(x,t) 如果：x(0)x0（x(t),t)x(0)x(0),Q(x,t)dqdx 所以q(xt)q[x0,0)]=q[f(x0)=q(m因为qa(lnmln所以q(mmx,t)f(xat)(xat)m 代入可以解得xx02又因为x[x0所以-

x0402x0a x0a3x0时可以，反之不可 问题六：带有反应时间T的线性车辆跟随模型分nn-1当第n-1辆汽车在稳定行驶过程中，先加速以致速度大于第n辆汽车，当后者的意duntTuntun1t

式子中的T表示因驾驶人的动作反应时间引起的加速度的延迟，常数是灵敏系数，c c

xntxn1duntT

untun1t

xntxn1T的线性车辆跟随模型，下面我们对这个模型从（7）式中体现的是后一辆汽车的加速度duntT与两辆汽车的距离xt

duntT与两辆汽车的速度差untun1t成正比已知U(Um 2m流量q( 2mdq

Um 2m红灯后0<t<(亮灯时t>0 t=x（）＝0U(0)

qU( xslU(于是得到下图绿灯后即t>x1(tu)xsr(tu)x2(td)xs(td问题七：计算密度波速度并且证明其小于汽车的速的现象，并且称 为密度 duu()qu() dq

x0（1）d

0如 车辆很少时，则汽车将以其可能的最大速度行驶，即uum(4)m的条件下，汽车将停止不动，u(m模型求解根据密度流 速度定义得 在满足车辆守恒方程的交通流中dmquu(u(1mm

q()um m因此可得c

(12pcu(120cu() 首先我们可以将um每个人需用同样的速度开车，而由假设（2）

0

dqd(u)udud d d dx0um

x2um(t

xum(t

u(222x 0t我们得到cu2m问题八：两小时后会不会有由题义知（x,0)=-xxmx0于是我们只要求解方q(alnmln x,0) fm m查资料得车辆守恒方程pq 则pa(ln

p

t即pa(lnlnp 记Q(xta(lnmln于是只要解方pQ(x,t)p 其中f(x)xxmx0因为在特征线l上，所xttA其中A为常数将沿x(t)方向求导：Q(x,t) 如果：x(0)x0（x(t),t)x(0)x(0),Q(x,t)dqdx 所以q(xt)q[x0,0)]=q[f(x0)=q(mmx,t)f(xat)(xat)m 代入可以解得xx02又因为x[x0所以-

x0402x0a x0a3x0时可以，反之不可 问题九：交通灯由红变绿后的车流密 xx>0q(ρ)=ρ(ρ)易知ρ（x，0）=0,因此眼所有这些现有ρ=0。则因此，在t=0时，通过点x。的特征线x>0t<x/umx<0ρ=ρm此时又特征线,这是因x(x>0)x0=0,得到， 第一辆车追上前面的车流的时的位置=Um(t-τ),最后一辆车开始运动的位置=ρmU’m(ρm)(t-τ)，代入题目给出的速度u=u(1-p2/p2) 2(t 可以解出： 02t m m x0um

x2um(t

xum(t

u(222x 0t我们得到cu2m已知U(Um 2m流量q( 2mdq

Um 2m红灯后0<t<(亮灯时t>0x＝0U(0)t t=x（）＝0U(0)

qU( xslU(于是得到下图绿灯后即t>x1(tu)xsr(tu)x2(td)xs(td问题十的分析求x=Um(t-模型的评价与推参考文附(一 问题一的程序代码holdoff;fork=45:50forf