专题06 不等式-直击2020新高考数学多选题

专题六不等式一、知识梳理1.“三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点，解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.2.规划问题（一）简述规划问题的求解步骤.(1)把问题要求转化为约束条件；(2)根据约束条件作出可行域；(3)对目标函数变形并解释其几何意义；(4)移动目标函数寻找最优解；(5)解相关方程组求出最优解.（二）关注非线性：(1)可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域.(2)eq\f(y－b,x－a)的几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，的几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离等.3.基本不等式利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.跟踪训练1.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：A.若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；B.若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则bc－ad>0；C.若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab>0.D.如果a>b>0，c>d>0，则bc>bd.【答案】A，B，C，D【解析】对于A，∵ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，∴A正确；对于B，∵ab>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴B正确；对于C，∵bc－ad>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴ab>0，∴C正确；对于D，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>0))⇒ac>bc>0,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c>d>0,b>0))⇒bc>bd>0))⇒ac>bd.，D正确，故选A，B，C，D2.若0＜a＜b＜1，则下列选项正确的是（）A．a3＜b2B．2a＜3b C．log2a>log3bD．loga2＜logb3【答案】A，B【解析】对于A：a3＜a2＜b2，正确；对于B：2a＜3a＜3b，正确；对于C：log2a＜log3b，错误；对于D：不妨令a＝，b＝，则loga2﹣logb3＝2﹣3＝﹣＝＞0，故loga2＞logb3，错误．故选A，B.3.若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2+b2＞2abD．（）2＞【答案】D【解析】a＜b＜0时，|a|＞|b|，A正确；ab＞0，∴＞0，∴＜，即＜，∴＞，B正确；a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab，C正确；﹣＝﹣＝＝﹣＜0，∴＜，D错误．故选D．4.若实数x，y，满足2y＝x+z（x≠y≠z），下列四个不等式正确的有（）A.|y﹣x+|≥2B.x3y+y3z+xz3≤x4+y4+z4C.y2＞xzD.xy+yx+xz≥x2+y2+z2【答案】A，B，C.【解析】因为2y＝x＝z，所以设y﹣x＝z﹣y＝k，则z﹣x＝2k，对于Ay﹣x+＝||≥2，所以A成立；对于B：x3y+y3z+xz3﹣x4﹣y4﹣z4＝x3（y﹣x）+y3（z﹣y）+z3（x﹣z）＝k（x3+y3﹣2z3）＝k[（x3﹣z3）+（y3﹣z3）]＝k[（x﹣z）（x2+xz+z2）+（y﹣z）（y2+yz+z2）]＝﹣k2[2≤0，所以B成立；对于C：＝＞0，所以C成立．对于D：取x＝1，y＝2，z＝3，xy+yz+xz＝11，x2+y2+z2＝14，所以D不成立，故选A，B，C.5.若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（）A．ab有最大值B．+有最小值 C．+有最小值4D．a2+b2有最小值【答案】A，C【解析】∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选A，C．6.下列四个解不等式，正确的有（）A.不等式2x2－x－1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为-1【答案】B，C，D【解析】对于A：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－eq\f(1,2)，∴不等式的解集为∪(1，＋∞).故A错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).故B正确；对于C：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝eq\f(21,a)，故a＝3.正确对于D：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，正确.7.设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．有最小值4B．有最大值 C．有最大值D．a2+b2有最小值【答案】A，B，C，D【解析】正实数a，b满足a+b＝1，即有a+b≥2，可得0＜ab≤，即有+＝≥4，即有a＝b时，+取得最小值4，无最大值；由0＜≤，可得有最大值；由+＝＝≤＝，可得a＝b时，+取得最大值；由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，则a2+b2≥，当a＝b＝时，a2+b2取得最小值．综上可得A，B，C，D均正确．8.设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b+B． C．D．（a+b）（）≥4【答案】A，C，D【解析】∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号；故A成立∵＞0，∴当且仅当a＝b时取等号，∴不一定成立，故B不成立，∵＝，当且仅当a＝b时取等号，＝＝a+b﹣，当且仅当a＝b时取等号，∴，∴，故C一定成立，∵（a+b）（）＝2+≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选A，C，D．9.已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．A.若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－eq\f(2,5)的值；B.若不等式的解集为{x|x∈R，x≠eq\f(1,k)}，则k＝eq\f(\r(6),6)；C.若不等式的解集为R，则k<－eq\f(\r(6),6).；D.若不等式的解集为∅，则k≥eq\f(\r(6),6)．【答案】A，C，D【解析】对于A：因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(2,5).故A正确；对于B：因为不等式的解集为{x|x∈R，x≠eq\f(1,k)}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq\f(\r(6),6).故B错误；对于C：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－eq\f(\r(6),6).故C正确；对于D：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq\f(\r(6),6).故D正确.10.下列不等式证明过程正确的是（）A．若a，b∈R，则 B．若x＞1，y