人教A版高考数学一轮复习（理）专题练习（提高）：任意角的三角函数

任意角的三角函数一、选择题（共12小题；共60分）1.对于α∈R，下列等式中恒成立的是 A.cos−α=−cos C.sin90∘−α2.设函数fxx∈R满足fx+π=fx+ A.12 B.32 C.0 3.若点Px,y是330∘角终边上异于原点的一点，则y A.3 B.−3 C.33 4.若α是第二象限的角，Px,6为其终边上的一点，且sinα=35 A.−4 B.±4 C.−8 D.±85.已知α∈π2,π，且cos A.1213 B.−1213 C.136.已知−π2<α<0，sinα+ A.75 B.257 C.725 7.函数y=sinx A.3 B.3,−1 C.3,1,−1 D.3,1,−1,−38.如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是   A.13 B.7 C.433 9.已知θ是第二象限角，且满足cosθ2−sin A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角10.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+ A.4 B.33 C.8 D.11.设P为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的动点，F1，F2 A.是定值 B.非定值，但存在最大值 C.非定值，但存在最小值 D.非定值，且不存在最值12.矩形纸片ABCD中，AB=10 cm，BC=8 cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；⋯；依次将宽BCn等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角为   A.小于π2 B.等于π2 C.大于π2二、填空题（共5小题；共25分）13.设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm14.已知角α0≤α<2π的终边过点Psin2π15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于2,1时，OP的坐标为

． 16.在△ABC中，∠A=θ，D，E分别为AB，AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为

17.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为

． 三、解答题（共5小题；共65分）18.已知sinθ，cosθ是方程（1）求m的值；（2）求sinθ19.证明：cosα20.已知数列an中，满足a1=12，an+1=（1）an+1（2）an=（3）Sn21.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h． （1）求h与θ间的函数关系式；（2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时，用的最少时间是多少秒?22.如图，曲线E是由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤23）与椭圆弧E2：x2 （1）求椭圆弧E2（2）设过点F1, 0的直线与曲线E交于A，B两点，∣FA∣=r1，∣FB∣=r2，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用答案第一部分1.B 2.A 【解析】f3.D 4.C 5.C 6.B 【解析】因为−π2<α<0，sin所以2sin所以cosα−则17.B 【解析】当x是第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0当x是第二象限角时，sinx>0，cosx<0，则y=sin当x是第三象限角时，sinx<0，cosx<0，则y=sin当x是第四象限角时，sinx<0，cosx>0，则y=sin综上可得，函数y=sinx∣8.B 【解析】由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π解得：α=2π所以∠AOAʹ=2π3，则∠1=π3因为C为OB的三等分点，BO=3，所以OC=1，因为∠1=60所以∠OCF=30所以FO=1所以CF因为AO=3，FO=1所以AF=52，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：A9.C 【解析】依题意，由θ是第二象限角得kπ又cosθ因此cosθ2−所以2kπ+所以θ210.C 【解析】a=2bsin又根据三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanA所以tanAtanBtanC=tanA⋅tanA11.A 【解析】设∠F1PF2则有kIF1e=则tanα即kI12.C 【解析】将宽BCn等分，当n无限大时，扇形的半径应该为10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=1610×180∘第二部分13.2【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则有l+2r=8，即l=8−2r，从而S=128−2rr=4，整理可得r2−4r+4=0，解得r=2，代入l=8−2r中，可得14.11【解析】因为sin2π3>0，cos2π3<015.2−16.7【解析】如图，设Bx,y，C2,0，A0,0，所以E1,0，DBE⋅所以1−x⋅所以x−5所以点B在圆x−522+y2=所以G52,0设圆的切线方程为y=kx（取k>0），则52所以k=3当AB与⊙G相切时，θ最大，cosθ最小．此时cos2θ所以cos17.2+【解析】由题意知，圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1．由图可知，以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示．当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次．设第i次滚动，点A的路程为Ai则A1=πA2=πA3=πA4=0，因此，点A所走过的路径的长度为3A1+A2+A3+A4第三部分18.（1）由条件利用韦达定理可得sinθ+化简可得m=3

（2）sin19.由左到右，以右式为“果”，因右式分母有因子1+sinα+cos左边=所以原式成立．20.（1）由题意知，an因为2a故要证an+1只需证明an下面用数学归纳法证明：当n=1时，a1假设n=k时，ak那么当n=k+1时，ak+1综上所述，对任意n∈N*，所以an+1

（2）用数学归纳法证明：an当n=1时，a1假设n=k时，ak那么当n=k+1时，ak+1综上所述，对任意n∈N*，

（3）当n=1时，S1当n≥2时，1−a得an−1故Sn即Sn21.（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ−π2，故点B的坐标为所以h=5.6+4.8sin

（2）点A一秒钟在圆上转动的角度是π30，经过t秒转过的弧度数为π所以h=5.6+4.8sinπ30t−π2，t∈0,+∞．到达最高点时，h=10.4 当k=0时，h有最小值30．所以缆车到达最高点时，用的时间最小为30秒．22.（1）抛物线弧E1：y2=4x的焦点为1,0，且x=2所以23,83为椭圆上一点，又椭圆的焦点为所以2a=2所以a=2，b2所以椭圆E2的方程为x24

（2）曲线E由两部分曲线E1和E2组成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x当x=23时，y=±263当−15≤cosα≤1时，由题设知A1+将A点坐标代入x24+整理得4−c