2023届浙江高三物理高考复习微专题模型精讲-第27讲卫星（天体）追及相遇模型(含详解)

第27讲卫星(天体)追及相遇模型

I真题示例

一(全国高考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿

同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线

的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月

9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地

外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是

地球火星木星土星天王星海王星

轨道半径1.01.55.29.51930

(AU)

A.各地外行星每年都会出现冲日现象

B.在2015年内一定会出现木星冲日

C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半

D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短

一.知识回顾

如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速

度为3a，b卫星的角速度为(Ob，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲

所示，则当它们转过的角度之差△。=兀，即满足(OaAt-3bAt=7t时，两卫星第一次相距最远，如图乙

所示。两卫星相距最远的条件是(OaAt-3b。=(211+1)兀(11=0,123...),相距最近的条件是(OaAt-CObAt

=2n7t(n:=0,1,2,3...)o

1..r

/'\/

/.•...、、、'、:

:/\\;

\/\

、*

、*\a/

一-.…一.一一……J

甲乙

二.例题精析例1.如图是在同一平面

不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是T|、T2(T1VT2),且某时

刻两卫星相距最近。问：

(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？

(2)两卫星相距最远的时间是多少？

(多选)例2.2020年6月23日，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星在西昌卫星

发射中心点火升空，中国终于有了自己的卫星导航系统，未来将向全世界开放，也会成为70多亿

人生活的一部分。北斗卫星导航系统有55颗卫星，若其中在同一平面不同轨道上同向运行的两

颗人造地球卫星甲和乙，它们运行的周期分别是2小时、16小时，且某时刻两卫星相距最近。则

下列说法中正确的是()

A.两颗卫星再次相距最近的时间是丝小时

7

B.两颗卫星相距最远的时间是(16k+4)(k=0,1,2,...)小时

C.乙卫星点火加速可以与甲卫星对接

D.甲、乙两颗卫星的轨道半径之比为1：4

三.举一反三，巩固练习

1.(多选)如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是T］、

T2,(TI<T2),且某时刻两卫星相距最近.()

A.两卫星再次相距最近的时间是t=

12一/1

B.两卫星相距最远的时间是1=声与1

C.两卫星再次相距最近的时间是£=亓?%

4/2T1)

D.两卫星相距最远的时间是1=竽•用~(其中k=0.1.2…)

如图所示，有A、B两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R的行星做匀速圆周运动，旋转方向相

同，其中A为近地轨道卫星，周期为T”B为静止轨道卫星，周期为T2,在某一时刻两卫星相

距最近，试用已知量求解下列问题：(引力常量G为已知)

(1)经过多长时间，两行星再次相距最近？

(2)同步卫星离地面的高度h=?

（3）该行星的平均密度p=?

2.1-二A、B两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R,A卫

星离地面的高度为R,周期为T,B卫星离地面高度为3R,则：（结果可用根式表示）

（1）A、B两卫星周期之比是多少？

（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星再次相距最近？

（3）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星相距最远？

3.如图所示，A、B是地球的两颗卫星，卫星A、B的圆形轨道位于赤道平面内，运行方向与地球

自转方向相同。卫星A离地面高度为7R,卫星B离地面高度为R,R为地球半

径，地球表面的重力加速度为g,O为地球中心。

（1）求卫星A、B的运行周期之比。

（2）若某时刻A、B两卫星相距最近（0、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再

一次相距最近？

“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后,

“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想卫星在

圆形轨道I上做匀速圆周运动，在圆轨道I上飞行n圈所用时间为3到达A点时经过短暂的

点火变速，进入椭圆轨道n,在到达轨道n近月B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道m（轨

道半径近似为月球半径），而后卫星在轨道III上绕月球做匀速圆周运动，在圆轨道HI上飞行n圈

所用时间为，不考虑其他星体对卫星的影响。

（1）求月球的平均密度。

（2）求卫星从轨道H上远月点A运动至近月点B所用的时间。

（3）如果在I、川轨道上有两颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最近（两卫

星在月球球心的同侧，且两卫星与月球球心在同一直线上），则至少经过多长时间，它们又会相距

最近？

II

in\A

2014年3月8日马航客机MH370失联，多国卫星在搜寻中发挥了重

要作用.如图所示为某两颗搜寻卫星的运行示意图，A是地球的同步卫星.另一卫星B的圆形

轨道位于赤道平面内，离地面高度为h,已知地球半径为R,地球自转周期为T.地球表面的重

力加速度为q，O为地球中心.

（1）求卫星B的运行角速度3；

（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（0、B、A在同一直

线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近?

第27讲卫星（天体）追及相遇模型

I真题示例

一（全国高考）太阳系各行星几乎在同一平面内沿

同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线

的现象，天文学称为“行星冲日据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月

9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地

外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是

地球火星木星土星天王星海王星

轨道半径1.01.55.29.51930

（AU）

A.各地外行星每年都会出现冲日现象

B.在2015年内一定会出现木星冲日

C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半

D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短

答案：BD

解析：考察角追及和万有引力定律。

由引力提供向心力可知

6审=加rft?相邻两次冲日的时间间隔

———其中。。表示的是地球的公转角速度，Ox表示的是行星的公转角速度。将第一式中

%-%

的结果代入到第二式中有

设行星的半径是地球半径的k倍，则上式可化为

977

上式中y=-^=,也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。

GM

/Ir3

对于火星k=1.5,t=-n=-Y

TTF-i

/r~~23

d2X2.,3

对于木星k=5.2,t=-7==-Yr=L09y

757F-I5.2x2.3-1

至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是1年，但又大于I年，因为只有4-8时才恰恰为

一年。

一.知识回顾

如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速

度为6卫星的角速度为孙”某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲

所示，则当它们转过的角度之差△〃=n,即满足34t—3bxt=Jt时，两卫星第一次相距最远，

如图乙所示。两卫星相距最远的条件是以At-3mt=(2/7+1)H(〃=o,1,2,3-),相距最近的条

件是3t—3bxt=2n「(n=0,1,2,3…)。

乙

二.例题精析

例1.如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是Ti、

T2(TI<T2),且某时刻两卫星相距最近。问：(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？

(2)两卫星相距最远的时间是多少？

aJ

【解答】解：(1)依题意，T|<T2,根据开普勒第三定律可知，—=k,周期大

的轨道半径大，故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长。

设经过At两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△0=2m

2n2n.

—t-y^-t=2TT

解得t=

T2~T1

(2)两卫星相距最远时，它们运行的角度之差

△0=(2k+l)n(k=0,1,2,…)

即争一言=(2k+l)n(k=0,1,2,―)

解得t=(第*<2(k=0,1,2…)。

4/2~l1)

答：(1)两卫星再次相距最近的时间是手-。

T2-T!

(2)两卫星相距最远的时间是华也半(k=0,1,2…)。

2(72-71)

(多选)例2.2020年6月23日，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升

空，中国终于有了自己的卫星导航系统，未来将向全世界开放，也会成为70多亿人生活的一部

分。北斗卫星导航系统有55颗卫星，若其中在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫

星甲和乙，它们运行的周期分别是2小时、16小时•，且某时刻两卫星相距最近。则下列说法中正

确的是()

16

A.两颗卫星再次相距最近的时间是亍小时

B.两颗卫星相距最远的时间是(16k+4)(k=0,1,2,••­)小时

C.乙卫星点火加速可以与甲卫星对接

D.甲、乙两颗卫星的轨道半径之比为1：4【解答】解：A、设两颗卫星运行的周期分别为「、

27r27rAt

T2,设经过时间两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△0=2m即——-——=2m

Ti0

解得△t=¥小时，故A正确：

27r27TAt

B、两卫星相距最远时•，它们运行的角度之差46=(2k+l)iT(k=0、1、2……)，即——-——=

TiT2

(2k+l)n(k=0、1、2...),解得△[=16；+8(k=0、1、2...)小时，故B错误;

GMmv2

C、乙卫星点火加速，v突然增大，乙卫星将做离心运动，不可能与甲卫星对接,

rzr

故C错误;

D、根据开普勒第三定律可知，鸟=鸟,解得3=±故D正确。

TiT/r24

故选：ADo

三.举一反三，巩固练习

1.（多选）如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是Ti、

T2,（TI<T2）,且某时刻两卫星相距最近.（）

颁

三二^7A.两卫星再次相距最近的时间是《="白

12T1

B.两卫星相距最远的时间是t=Ji?、

C.两卫星再次相距最近的时间是1=卡%

2-/1）

D.两卫星相距最远的时间是1=绰上《甲（其中k=0.1.2…）

【解答】解：AC、两卫星再次相距最近时，转动的角度相差2m即:

2冗27r汽

-t-7p-t=2lT

T1T2

解得小春分故C错误，A正确。

BD、两卫星相距最远时，转动的角度相差（2k+l）n（其中k=0.1.2…），即:

(2k+l)IT,(k=0.1.2…)解得：t=2好'1.7(k=0.1.2…)。故B错误，D正确。

2I2-11

故选：AD。

2.如图所示，有A、B两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R的行星做匀速圆周运动，旋转方向相

同，其中A为近地轨道卫星，周期为T”B为静止轨道卫星，周期为T2,在某一时刻两卫星相

距最近，试用已知量求解下列问题：（引力常量G为已知）

（1）经过多长时间，两行星再次相距最近？

（2）同步卫星离地面的高度h=?

（3）该行星的平均密度p=?

【解答】解：（1）卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有:

GMm47r2r

=m-

r2T2

周期T=2nJ法,

某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t两卫星再次相距最近时，AR星比B卫星多转过2ir

弧度,

r.27T27r

即有：（———）t=2n

TiT2

得1=

12T1

（2）卫星做匀速圆周运动万有引力提供向心力有:

GMm47r2r

二m-r

r2T2

A为近地轨道卫星，周期为Ti，

3

4/2R

所以行星质量M=

同步卫星周期为T2,

GMT2岑=R+h

A2

、47r

3|»r2R3

所以同步卫星离地面的高度h=J符—R。（3）根据密度的定义得:

行星的平均密度p=*=当。

vGT\

答：（1）经过二鸟，两行星再次相距最近。

T2f

3

3T2„

（2）同步卫星离地面的高度卜=

⑶该行星的平均密度p=良。

3.A、B两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R,A卫星离地面的高度

为R，周期为T,B卫星离地面高度为3R,则：（结果可用根式表示）

（1）A、B两卫星周期之比是多少？

（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星再次相距最近？

（3）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星相距最远?

【解答】解：（1）地球半径为R,A卫星离地面的高度等于R,B卫星离地面高度为3R,

所以RA=2R,RB=4R

由开普勒第三定律可知，兽=粤

TA畤

解得：TA：TB=1：2VL

(2)设经过t时间，两卫星再次相距最近

27r27r

此时A比B多转一圈，即(―--)1=2TT

TATB

解得：t=界＞

其中：TA=T

则t=8+严T。

(3)设经过t'时间，两卫星相距最远

此时A比B多转(n+0.5)圈，n=0、1、2

2n2n

(———)t'=(n+0.5)2n,n=0、1、2

TATB

解得：t'=生弊(2n+l)T,n=0、1、2--

答：(1)A、B两卫星周期之比是I：2V2»

8+2V2

(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过一二T两卫星再次相距最近。(3)

7

4+V2

若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过一工(2n+l)T,n=0、1、2……，两卫

7

星相距最远。

4.如图所示，A、B是地球的两颗卫星，卫星A、B的圆形轨道位于赤道平面内，运行方向与地球

自转方向相同。卫星A离地面高度为7R,卫星B离地面高度为R,R为地球半

径，地球表面的重力加速度为g,0为地球中心。

(1)求卫星A、B的运行周期之比。

(2)若某时刻A、B两卫星相距最近(0、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间,它们再

一次相距最近？

【解答】解：由万有引力提供向心力：岑苧

=m=m3gm2r解

得它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有:

（U）B-（A）A）t=2n

由以上各式可得：t=孥楞

答：⑴求卫星A、B的运行周期之比为8：1。

（2）若某时刻A、B两卫星相距最近（0、B、A在同一直线上），则至少经过它们再

一次相距最近。

“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨

和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想卫星在圆形轨道I上做匀速圆

周运动，在圆轨道I上飞行n圈所用时间为t,到达A点时经过短暂的点火变速，进入椭圆轨

道H,在到达轨道H近月B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道HI（轨道半径近似为月球半

径），而后卫星在轨道HI上绕月球做匀速圆周运动，在圆轨道HI上飞行n圈所用时间为:，不考

虑其他星体对卫星的影响。

（1）求月球的平均密度。

（2）求卫星从轨道II上远月点A运动至近月点B所用的时间。

（3）如果在I、III轨道上有两颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最近（两卫

星在月球球心的同侧，且两卫星与月球球心在同一直线上），则至少经过多长时间，它们又会相距

最近？

II

【解答】解：(1)设月球的质量为M,半径为R,“嫦娥一号”的质量为

卫星在圆轨道in上的运动周期为：丁3=壶

由万有引力提供向心力有：G竽=mR,

又根据：M=p・^7T/?3

联立解得：好言=雷

(2)设卫星在轨道I上的运动周期为T