2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第三章函数及其应用第二节函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值

【高考考情】考点考法：高考命题常以基本初

【考试要求】1.会用符号语言表达函数的单调等函数为载体，考查单调性的判断，利用单调

性、最大值、最小值.性比较大小、解不等式，求函数的最值.函数

2.理解函数的单调性、最值的作用和实际意单调性的应用是高考热点，常以选择题或填空

义.题的形式出现.

核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算

O=一、物系瓶理•思催求活,一=rO

【归纳•知识必备】

1.函数的单调性

设函数f(x)的定义域为/,区间后/：如果x£D,当否〈用时

定

义

都有/•(%)〉f(\),则函数f(x)在区间〃都有名必岂垄1，则函数f(x)在区间。上

上单调递减单调递增

2.函数的单调区间F

函数y=f(x)是增函数或减函数的自变量的范围.

,注解1①函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区

间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

②单调区间厘定义域工

3.函数的最值

(1)存在性：函数的最值是一个函数值；

(2)最大(小)性：函数的最大(小)值大(小)于或等于值域内的其他函数值.

智学•变式探源

1.必修一P85习题T12.必修一P81例5

1.(改变图象)函数尸f(x),xe[—4,4]的图象如图所示，则/'3的单调递减区间是()

A.[—4,—3]B.[—4,—3]U[1,4]

C.[-3,1]D.[-4,-3],[1,4]

【解析】选D.由图象知单调递减区间为[—4,-3],[1,4].

9

2.(改变条件)函数y=-?在圉，7]上的最大值是.

x—\—

2

【解析】因为函数尸"在⑶7]上是减函数，所以当-3时,-1.

答案：1

-慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.(函数单调性的判断)下列函数中是增函数的为()

A.f(x)=~xB.f(x)

C.f(x)—xD.f(x)=ypc

【解析】选D.f(x)=-x为R上的减函数，f(x)=

'为R上的减函数，f(x)=/在(-8,o)为减函数，=%为R上的增函数.

4.(图象法求函数的最值)已知函数/i(x)=

j—x,—IWxWO,

{/,OCxW1,则F(x)的最小值为.

[x,1<XW2,

【解析】作f(x)的图象如图，则F(x)的最小值为F(象=0.

答案：o

5.(利用单调性求参数)若函数f(x)=|x—a|+1的增区间是［2,+8),则a=

【解析】因为/'(才)="一且|+1的增区间是匕，+8),所以a=2.

答案：2

6.(求复合函数的单调区间)函数y=log!(V—4)的单调递减区间为.

2

【解析】由题可知，函数定义域为(-8,-2)u(2,+8),根据复合函数单调性可知,

(2,+8)是原函数的单调递减区间.

答案：(2,+8)

o--一考*探究二理注培优——o

♦考点一函数的单调性讲练互动

［典例11(1)(2021•萍乡模拟)下列函数中，在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=—y+1B.y=\x~1

C.y=xD.尸2f

(2)(金榜原创•易错对对碰)

①函数F(x)=|*-11+矛的单调增区间为；

②函数M=|*—l+x|的单调增区间为.

⑶★(命题•新视角)若函数f(x)在定义域〃内满足对任意的毛，在，吊W〃且由+房>吊，有

f(X)+f(X2)>f(X3),则称函数f(x)为“类单调递增函数”.下列函数是“类单调递增函数”

的有(填写所有满足题意的函数序号).

①/'(X)=y［x；②f(x)=*；③f(x)=lnx；

④/'(x)=sinJO<A<—j.

(4)(2021•临沂模拟)若函数f(x)满足:

①对于任意实数为，X2,当0＜为＜也时，都有

/'（不）VF®;

=f（&）—代吊），则f（x）=.（答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数

即可）

【解析】（1）选C.y=—*+1在（0,+8）上单调递减；y=IX—11的图象关于*=1对称，在

（1,+8）上单调递增；尸票为奇函数，图象关于原点对称，（0,+8）上是单调递增的函数,

y=2-'=g）”在区间（0,+8）上单调递减.

⑵①作出函数/"（才）="2—1|十刀的图象（如图实线部分）.由图可知函数F（x）的单调递增区间

_-

1

为I-

-X2

_-

答案：一L1，[1，+8）

乙

②作出函数/1（x）=H—l+x|的图象（如图实线部分）.由图可知函数F（x）的单调递增区间为

一一1一#1—1+季,)

2'~2

答案：["I一斗，[二+8

（3）对于①，显然4片+y[x2》«出+X?＞y[x3，即

f（用）+£（就＞£（a）,是“类单调递增函数”;

222

对于②，取为=而=2,泾=3,此时勺+x,=8,%=9，即f（X）+/ba）VF（%），不是“类

单调递增函数”；对于③，取为=X2=毛=1，此时In玉+ln髭=0，In%3=0,即/1（幻+代版）

=/■&），不是“类单调递增函数”；

.JIJT

对于④，X”Xi,吊£（0,万），若为+也忘万，则sinXi+sin也2sinXicos及+sin吊cos

Xi=sin（及+吊）>

sin在，若万<x]+x2<n,IjllJ0<——x2<^,<—,

=

sin及+sinj^>sin(万一%)+sin^2cos应+sinx2

—y/2sin卜2+1)>l>sinx3,即/"(x)+A%)>

〃X3),是“类单调递增函数”，所以是“类单调递增函数”的有①④.

答案：①④

(4)根据题意，若函数f(x)满足①，则函数f(x)在区间(0,+8)上为增函数，

若函数f(x)满足②，可以考虑f(x)为对数函数，则

f(x)可以为f(x)=lgX.

答案：1gX

"'规律方法

判断函数单调性常用的四种方法

(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论.

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.

(3)图象法：如果/'(x)是以图象形式给出的，或者/'(x)的图象易作出，可由图象的直观性判

断函数单调性.

(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性.

提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开.

，对点训练

1.(多选题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=ln(x+2)B.y=-\jx+l

C.y=@"D.尸

【解析】选AB.函数y=In(x+2)的增区间为(—2,+~),所以在(0,+8)上单调递增；

函数尸正不！的增区间为［-1,+8),所以在(0,+8)上单调递增.

2.函数y=—V+2|x|+3的单调递减区间是.

【解析】由题意知，当x20时，y=—f+2x+3=—(x—lT+4；当x〈0时，y=~x—2x+

3=一(矛+1)2+4,

如图所示,

则函数y=-/+2|x|+3的单调递减区间为

[-1,0],[1,+8）.

答案：[—1，0],[1,+8）

教师

专用【加练备选】

—y+2*,后2

已知函数f(x)=<则

log2jr—1,x>2

A/(4))=,函数f(x)的单调递减区间是—

【解析】A4)=log24—1=1,

所以AA4))=A1)=-12+2XI=I,

xW2时，f(x)=-x+2x,对称轴为x=l,

所以f(x)在[1,2]上单调递减，

所以f(x)的单调递减区间为[1,2].

答案：1[1，2]

♦考点二函数的最值自主练透

1.函数f（x）=2'—loglG+D在区间[0,2]上的最大值为（）

3

A.1B.3C.5D.7

2.（2021•全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=*+2x+4B.y=\sin+q~―—r

|sinx\

4

C.y=2'+22rD.y=]nx+----

Inx

3.函数尸矛+业―/的最小值为（）

A.—yf2B.-1C.1D.

4.(多选题)已知函数f(x)=ln(x—2)+ln(6—才)，则()

A./"(X)在(2,6)上单调递增

B.f(x)在(2,6)上的最大值为21n2

C.f(x)在(2,6)上单调递减

D.y=f(x)的图象关于直线x—4对称

rX—x,0WxW2,

5.已知函数/'(*)=<2则函数f(x)的最大值为________；最小值为

---7,x>2,

〔X—1

【解析】1.选C.由于尸2,在［0,2］上单调递增，

y=logl(x+1)在［0,2］上单调递减，所以/U)在［0,2］上单调递增，故/'(x)在［0,2］上

3

的最大值为A2)=5.

2.选C.y=*+2x+4=(x+1)2+3^3,当且仅当x=-1时取等号，所以其最小值为3,A

不符合题意；因为0〈|sinWl,y=|sinx|十丁且-p=4,当且仅当|sinx|

=2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；因为函数定义域为R,而

4I-

2'>0,y=2*+22r=2'+亍22#=4,当且仅当2'=2,即x=l时取等号，所以其最小值为

4,C符合题意；y=lnx+#-，函数定义域为(。，。U(1,+~),而InxGR且Inx

Inx

W0,如当In才=-1,y=-5,D不符合题意.

3.选B.由1一/20,可得一IWxWL

可令x=cos0,0G［0,n］,

则P=cos〃+sin0=y［2sin，〃仁［0,兀］,

所以一,故原函数的最小值为一L

4.选BD.f(x)=ln(x—2)+ln(6—x)=ln［(x—2)(6—x)］,定义域为(2,6).令方=(x—

2)(6—x),

则f(x)=lnt.因为二次函数%=(x—2)(6—x)的图象的对称轴为直线x=4,又的定义

域为(2,6),

所以f(x)的图象关于直线x=4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减.当x

=4时，2有最大值，

所以f(x)s=ln(4—2)+ln(6—4)=21n2.

5.作出f(x)的图象如图.

由图象可知当x=2时f(x)取最大值为2；

当时/'(x)取最小值为一J.

答案：2一；

教师专用司【规律方法】

求函数最值的常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

出最值.

【加练备选】

1.用min{a,6}表示a,I两个数中的最小值.设/'(x)=min{x+2,10—x}(40),则f(x)

的最大值为.

【解析】在同一个平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10—x的图象.

根据min{x+2,10—x}(x20)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分.解方程x+2

=10—x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6).

'x+2,0WxW4,

所以f(x)=s、，其最大值为交点的纵坐标，所以/'(x)的最大值为6.

110—x,x>4,

答案：6

2.(2021•长沙模拟)已知函数f(x)=、2x—2+N6-2x.

⑴求F(x)的定义域；

(2)求/'(x)的值域.

f2x—220,

【解析】(1)由,.得/'(*)的定义域为[1，3].

6—2x30,

(2)易知f(x)20,又[F(x)]2=2x—2+

2,(2x—2)(6—2x)+6—2x=4+2正“+16x—12=4+4^-(^-2)2+1,x=2

时，一(x—2尸+1有最大值1,x=l或*=3时，一(*—2)41有最小值0,所以x£[l,3]

时，易得易(等了£[4,8],故f(易的值域为[2,2啦].

，考点三函数单调性的应用|多维探究

高考考情：函数的单调性是函数的重要性质之一，是研究函数必备知识，也是高考命题的

热点，考查类型全面，常以基本初等函数为载体，考查比较大小、解不等式等，难度中档或

以上.

•角度1比较大小问题

[典例2](2021•安阳模拟)设函数f(x)满足f(―x)=f(x),且Vx”X2G(0,+°°)(x,^x2)

有(Xi—X2)•[f(Xi)—f(x2)]>0,则()

A.f(-2)<f(-3)<f(l)B.f(-3)<f(-2)<f(l)

C.f(-l)<f(-2)<f(3)D.f(-l)<f(3)<f(-2)

【解析】选C因为对Vx”X2G(0,+8),且Xi#X2,都有(X[—X2)[f(xj—f(X2)]>0,所以

函数f(x)在(0,+8)上单调递增，因为函数f(X)满足f(―x)=f(x),

所以f(—2)=f(2),f(-l)=f(l),f(-3)=f(3),

所以f(l)<f(2)<f(3),即f(-l)<f(-2)<f(3).

•角度2解不等式问题

[典例3](2020•新高考I卷)若2'+/愧a=4b+2/ogb,则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【解析】选笈设f(x)=2'+/哝x,则f(x)为增函数，因为2'+/。和=4'+2/。岫=2比+/磔b,

所以f(a)-f(2b)=2a+log^~(22b+且2b)=22b+log^~(22b+/侬2b)=log^=-l<0,

所以f(a)〈f(2b),所以a<2b.

f(a)—f(b")=2"+/侬a—(2b'+7o^b')=2"+/o&b—(2£+/侬b?)=2211—2b2—当b=

1时f(a)-f(b2)=2>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2,当b=2时f(a)-f(b2)=-l<0,此时

f(a)<f(b2),有aW,所以C,〃错误.

•角度3已知函数的单调性求参数问题

[典例4]⑴若函数f(x)="/x在R上单调递增，则实数a的取值范

(3—2a)In(x—1),x>2

围是()

A.(0,1]B.(0,2]C.(0,I)D.1,I)

(2)已知函数f(x)=log2(x2—ax+3a)在[2,+8)上是增函数，则实数a的取值范围是

【解析】⑴选A.因为f(x)=

ax~2,

/Xzx在R上单调递增，

[(3—2a)ln(矛-1),x>2

(a〉0,

所以《3—2a>0,解得OVaWL

12a-2W(3-2a)In(2—1),

⑵设g(x)=f—ax+3a,根据对数函数及复合函数的单调性知，g(x)在[2,+8)上是增函

停2,

数，且g(2)>0,所以12所以一4<aW4,所以实数a的取值范围是(一4,4].

14+a>0,

答案：(一4,4]

，规律方法

函数单调性的应用

1.比较函数值的大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内，再用函数的单调性解决.

2.求解含的不等式，应先将不等式转化为FE)<f(〃)的形式，再根据函数的单调性脱

去"F’,要注意如〃应在定义域内取值.

3.利用单调性求参数，应根据具体情况，确定函数的单调区间，列出与参数有关的不等式，

或把参数分离出来求解.

#多维训练

x+4T,

1.已知函数/'(x)=,2〃若F(4—a)>f(a),则实数a的取值范围是()

[4x—x,矛<0,

A.(—8,2)B.(2,+8)

C.(-8,-2)D.(-2,+8)

[解析]选A.画出f(x)的图象(图略)可判断M在R上单调递增，故〃4一血>f®Q4—a>a,

解得水2.

2.已知函数f(x)=,，则“=—1”是“函数f(x)在R上单调递增”的()

-X十c,x<.1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若函数f(x)在R上单调递增，

则需logzAc+L即cW—1.由于c=-1,即cW—1,但cW-1不能得出c=-1,所以“c

=-r是“函数

f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.

3.若2021-2021'>2022f—2022一'鱼,yGR),则()

A.xyyB.In%>lny

cxi<yluD,r+1y+1