河北省承德市2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在直角梯形ABCD中，AD±DC,AD=DC=2AB,E为AO的中点，若行=ACE+〃丽（％〃eR）,

则的值为（）

2.已知函数f（x）=sin（ox+。）（3>0,网<|）的最小正周期为万,/（%）的图象向左平移莹个单位长度后关于>'轴对

7T

称，则/（X-二）的单调递增区间为（）

万，5乃，71

——\-K7t.--\-K7Tk&ZB.+左乃，一+攵乃keZ

A.[366J

7T.5乃,.〜71,71.

C.----tk兀,--Fk7ikZD.+k/C、--FK7TkeZ

1212~~63

3.一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X,则£（X）为（）

97162

A.—B.—C.—D.—

88256

4.AABC中，角A,B,C的对边分别为a/,c,若。=1,3=30°,8$。=二迈，则AABC的面积为()

7

A.—B.C.gD.—

22

5.复数l+i=()

z

A.-21B.-/C.0D.21

2

6.AABC1中，点。在边AB上，8平分/4CB,若丽=£,CA=b,同=2,忖=1,则丽=()

2-1^a+-b4-3-

A.一。H—bfB.-a+-bc.I).-a+-b

33335555

7.已知复数Z1=6-8i,z=-i,则至

2()

Z2

A.8-6iB.84-6iC.—8+6iD.—8—6i

8.若复数二满足忖=1,则|z-i|（其中i为虚数单位）的最大值为（)

B.2C.3D.4

7T

9.将函数f（x）=sin（3x+二）的图像向右平移皿机>0）个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵

6

坐标不变），得到函数小元）的图像，若g（x）为奇函数，则〃?的最小值为（）

7T2冗TCTC

A.-B.----C.—D.—

991824

10.某设备使用年限*（年）与所支出的维修费用7（万元）的统计数据（x,y）分别为（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回归直线方程为a=L6x+4,若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

11.已知条件，：a=T,条件夕：直线%—砂+1=0与直线x+/y-l=0平行，则。是《的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C,充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

12.在直三棱柱45C—中，己知AB=BC=2,CC、=2叵,则异面直线AC；与A与所成的角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，4=2,且2%q,34成等差数列，则。”=.

14.（2%-工）6的展开式中常数项是.

X

15.已知随机变量X服从正态分布N（4,4）,尸（X<6）=0.78,贝11P（XW2）=.

16.一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x—t

17.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为‘、c“为参数），以坐标原点。为极点，x轴的

y=3-2t

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为〃=4sin9.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线。交于A、B两点,求△046的面积.

18.(12分)已知函数/(x)=^—-+ln(x+l),«e??.

x+\

(1)讨论/(x)的单调性；

2

(2)函数g(x)=r+—,若对于％e(-l,4w),玉2日1,2],使得成立，求。的取值范围.

X

22o

19.(12分)已知正数x,y,z满足x+y+=Q为常数)，且三+乙+z?的最小值为色，求实数f的值.

497

_£J_

"-2+2’[x=1+cos6

20.(12分)在平面直角坐标系x0y中，已知直线/的参数方程为〈、。为参数)和曲线.八(6

1y=sm，

y=——t

[2

为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/和曲线。的极坐标方程；

JIIONI

(2)在极坐标系中，已知点M是射线4：。=a(ae[0,-])与直线l的公共点，点N是4与曲线C的公共点，求加才

的最大值.

21.(12分)已知函数/(x)=Asin(s:+0)[4>0,©>0,-£<夕<[]的最小正周期是不，且当x=工时，/(x)

I2276

取得最大值2.

(1)求/(X)的解析式；

(2)作出/(x)在[0,句上的图象(要列表).

22.(10分)如图(1)五边形A8CDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=150,将AEM)沿AO折到A/%£)的位置，得到四棱锥P-A3CD,如图(2),点/为线段PC的中点,

且BM，平面PCD.

(1)求证：平面PAZ>_L平面A8CZ)；

(2)若直线PCA3与所成角的正切值为,，求直线飒与平面PDB所成角的正弦值.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示而，而，丽，利用。i=2赤+反人〃€/?),列出方程组求解即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，则0(0,0).

不妨设A5=l,则CD=AD=2,所以C(2,0),4(0,2),B(L2),E(0,1),

CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

•/CA=ACE+//DB

2)=2(—2,1)+〃(1,2),

6

A.=

—2A+〃=—258

解得则4+〃=g.

A+2/J-2〃=2

5

故选：B

【点睛】

本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.

2.D

【解析】

先由函数/(x)=sin(ox+0)的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数/(x)=sin(ox+e)的解析式，从而

得出/(X-7)的解析式，再根据正弦函数./■(*)=Sinx的单调递增区间得出函数/(X-：)的单调递增区间，可得选

66

项.

【详解】

因为函数f(x)=sin(twx+e)((u>O，M<W)的最小正周期是不，所以兀=」，即0=2,所以/(%)=sin(2x+。),

2co

/(x)=sin(2x+0的图象向左平移弓个单位长度后得到的函数解析式为

y=si.n2/x+—万）、=sinf2%+y

_16J>

由于其图象关于》轴对称，所以?+w=]+2版^eZ,又倒<、，所以夕吟所以/。)=5代2苫+高，

所以/(x-%)=sin2[x—=sin^2x——,

TT7T

因为/(x)=sinx的递增区间是：一5+2版版'+5,kwZ,

']17/7/")1

由---1~2攵万<2x---424乃H—keZ,得：-----卜kjrWxWk冗T—,keZ,

262963

所以函数/。―工)的单调递增区间为—3+左巴]+左乃(ZeZ).

6L63_

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

3.A

【解析】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变

量X的数学期望值.

【详解】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,

贝"（乂=。）专4,尸（X=l）=等=亲P（X=2）=等吟，P（X=3）=^|q.

C8JOC8JOC8JOC8JO

因此，随机变量X的数学期望为E（x）=OxW+lx型+24+3」亶

565656568

故选：A.

【点睛】

本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.

4.A

【解析】

先求出sinA,由正弦定理求得c,然后由面积公式计算.

【详解】

由题意sinC=—（—乎y=浮，

2近、GV21

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=­x（--------）4-——X-------

727~14

.asinBlxsin30°

,ah^b=------=-----产一

由二丁=丁而得smAJ7

sinAsinB

14

S==-absinC=Llx"x外走.

2272

故选：A.

【点睛】

本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知

求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解.

5.C

【解析】略

6.B

【解析】

由8平分ZAB,根据三角形内角平分线定理可得篝二浮再根据平面向量的加减法运算即得答案.

【详解】

・・・CD平分Z4CB,根据三角形内角平分线定理可得力=先，

DACA

又CR=Z，CA=b>忖=2,W=l,

:.—=2,:.BD=2DA.

DA

.­.CD=CB+BD=CB+-BA=a+-（b-a\=-a+-b.

33、,33

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

7.B

【解析】

分析：利用尸=—1的恒等式，将分子、分母同时乘以i,化简整理得五=8+6i

Z2

*5Z]6—8z6i—8i〜4

详解：一=-------3—=8o+6/,故选B

z2-i一『

点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的

模、共趣复数以及复数的乘除运算，在运算时注意，2=-1符号的正、负问题.

8.B

【解析】

根据复数的几何意义可知复数Z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定|z-z|,

即可得|z-z[的最大值.

【详解】

由|z|=l知，复数Z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，

|z-i|表示复数二对应的点与点（0,1）间的距离，

又复数二对应的点所在圆的圆心到（0』）的距离为1,

所以卜-必="1=2.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.

9.C

【解析】

根据三角函数的变换规则表示出g(x),根据g(x)是奇函数，可得〃，的取值，再求其最小值.

【详解】

解：由题意知，将函数/(x)=sin(3x+H)的图像向右平移，w(，">0)个单位长度，#.y=sin3(x-m)+^,再将

6L6_

y=sin3x-3m+-图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，

6

/.g(x)=sin(gx-3m+令,

因为g(x)是奇函数，

所以一3瓶+匹=k7T,Z£Z,解得/〃=2—左£Z,

6183

7T

因为m>0,所以团的最小值为二.

1O

故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.

10.D

【解析】

根据样本中心点正,亍)在回归直线上，求出”，求解y>15,即可求出答案.

【详解】

依题意x=3.5,y=4.5,(3.5,4.5)在回归直线上，

4.5=1.6x3.5+a,a=-1.1,/=1.6%—1.1，

由5,=1-6x—1.1>15,X>10y^,

估计第11年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

11.C

【解析】

先根据直线x-ay+1=0与直线x+/y-1=o平行确定a的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线犬-。＞+1=0与直线》+“、-1=0平行，

所以/+a=0,解得。=0或。=一1；即4：。=0或。=一1；

所以由夕能推出夕；q不能推出P；

即，是4的充分不必要条件.

故选C

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

12.C

【解析】

由条件可看出ABII4与，则NB4G为异面直线AG与A4所成的角，可证得三角形BAG中，解得

tan/BAG，从而得出异面直线AQ与4片所成的角.

【详解】

连接AC—B。，如图：

又AB||A4,则ZBAC,为异面直线AC,与4月所成的角.

因为AB，BC,且三棱柱为直三棱柱，AB±CC.,，面,

/.AB±BC],

又AB=BC=2,=2及，二阳=J(20『+22=26，

tanZBAG=6，解得ZBAC,=60°.

故选C

【点睛】

考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2"

【解析】

利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于4的方程，解方程求出夕代入等比数列通项公式即可.

【详解】

因为2勺%,3%成等差数列，

所以2%=2“+3生,

由等比数列通项公式得，

2

a3=aiq'=2q,a2=a｝q=2q,

所以2x2d=2x2+6q,

解得4=2或］=_万，

因为。“>0,所以q=2,

所以等比数列｛为｝的通项公式为

an-qq"”=2x=2".

故答案为：2"

【点睛】

本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数

列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.

14.-160

【解析】

试题分析：常数项为n=C；(2x)3(-L)3=-160.

X

考点：二项展开式系数问题.

15.0.22.

【解析】

正态曲线关于x=M对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】

P（X«2）=1-P（X<6）=022

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.

s277c

16.---

4

【解析】

一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均

等于长方体的体对角线的长，长方体的体对角线的长为庐再？=3，所以容器体积的最小值为兀x($2x3=子.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/:2x+y—3=0,C:x2+y2-4y=0；(2)

【解析】

(D在直线/的参数方程中消去参数/可得出直线/的普通方程，在曲线C的极坐标方程两边同时乘以夕，结合

〈.八可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

psin^=y

(2)计算出直线/截圆C所得弦长|A3|,并计算出原点。到直线/的距离d\利用三角形的面积公式可求得AOAB的

面积.

【详解】

x=t

(1)由_得y=3-2x,故直线/的普通方程是2x+y-3=0.

"2_22

由夕=4sin6,得夕夕sin。，代入公式<''十，得/+丁二仙，得一+9一分二。，

psin0=y

故曲线C的直角坐标方程是/+y2-4>=0；

(2)因为曲线。：了2+'2一4〉=0的圆心为(0,2),半径为尸=2,

圆心(0,2)到直线2x+y-3=0的距离为。=崂1=乎，

则弦长|A8|=2/2一屋=2卜二圣=3詈

又。到直线/：2x+y-3=0的距离为才=上*=迷，

加5

所以S…刎Xd，f季x^二季.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力,

属于中等题.

18.(1)当时,/(x)在(-1,+8)上增；当"-1时，/㈤在(一1,一。一2)上减,在(一a-2,+8)上增(2)

【解析】

(1)求出导函数/'(X),分类讨论确定了'(X)的正负，确定单调区间；

(2)题意说明/(X)血Ng(々L，利用导数求出g3的最小值，由(1)可得/⑴的最小值，从而得出结论.

【详解】

解：(1)定义域为(—L+sbrwnN爷

(x+l)

当。之一1时，即一a-2W—1,f'(x)>0,.-./(x)在(-1,+oo)上增；

当av—1时，即一〃一2>—1,/'(1)>0得x>—a—2,/'(x)<0得一1vxv—a—2

综上所述，当QNT时，/(X)在(―1,+8)上增；

当av-1时,f(x)在(—1,—a—2)上减，在(-a—2,+oo)上增

<2)由题/(力)谩NgHL.

222(x3—1)

2

g(x)=M+一,g'(x)=2x一一r=——g'(九)>0,g(x)在［L］上增

XXX

'g⑸min=g⑴=3"(%)1nhi之3

由(1)当a?-l时，f(x)在(-1,+8)上增，所以此时"X)无最小值；

当a<T时,/(X)在(T—a—2)上减,在(―a—2,+oo)上增,

即/(玉八血=/(—a—2)=2+In(—a-1)N3,解得aW—1_e

综上ae(T»,-l—e］

【点睛】

本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化

为/(X).Ng(W)min，求出两函数的最小值后可得结论•

19.t=l

【解析】

22212QQ1

把土+乙+Z?变形为二+」-/+匕+)_/2+22+2_产一工产结合基本不等式进行求解.

49449919619614

【详解】

X2y22d1y29,91

因为一+—+z-=—+——t2+—+——r2+z-+——t

49449919619614

221n91

即二+2-+z2Z—产，当且仅当*=一，y=—r,z=-z时，上述等号成立,

49147■1414

1,8

所以R厂=1,即产=16,又x,y>z>0,所以x+y+z=/=L

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立,

侧重考查数学运算的核心素养.

==

20.(1)夕sin~~>P2cos0；(2)(|^^|)max—2A/2+2

【解析】

(1)先将直线/和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；

(2)写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出|ON|和利用三角函数的性质求出温力的最大

值.

【详解】

解：（1）l:x+y=^,夕cose+psine=g,

即极坐标方程为°sin［夕+三71)=等，

4

C:(x-1)2+/=1,极坐标方程夕=2cos8.

I

(2)由题可知2、，N(2cosa,a)

sina+cos。

|ON\_PN_2cos6z

西I

2

sina+cosa

=4coscr(sina+cosa)

=2sin2a+2(cos2a+1)

=2近sin(2a+巳)+2,

4

，当。十时，瑞)=2夜+2.

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

21.(1)/(x)=2sin(2x+2]；(2)见解析.

【解析】

(1)根据函数y=/(x)的最小正周期可求出力的值，由该函数的最大值可得出A的值，再由/[彳]=2,结合。的

取值范围可求得。的值，由此可得出函数y=/(x)的解析式;

(2)由xe[0,句计算出2x+g的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数y=/(x)在区间[0,句上的图象.

6

【详解】

24

(1)因为函数y=/(x)的最小正周期是万，所以。=1=2.

71

又因为当x=£时，函数y=/(x)取得最大值2,所以4=2,

同时2x工+e=2Z乃+^(ZeZ),得0=2%乃+三(keZ),

626

e、r兀71〜，兀

因为一彳＜夕＜5,所以夕=巳，所以/(x)=2sin12x+V

6

K13乃

(2)因为xe[0,句，所以+

%'%-

列表如下:

7T兀3TC13万

2x+-n2乃

66T

7t5〃2万1\TC

X071

6nT~12

/W120-201

描点、连线得图象:

1I1I1111I

：；2/ir\iiiiiiiii

1L1—--/i=i:i大厂i/一i包i一i:因i厂i二ii

1:1

F0\\\