交大复旦同济自主招生数学试题完美版

199822mmm22n2199822mmm22n2交通大学2000年送生数学试题一选题(本共15分每题分．在小给的4个项，有项正，所项的母在号)．若今天是星期二，则3天后是A．星期四B．星期三．期二D．期一

()．用13个母A，A，AC，，，I，IMMN，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成MATHEMATICIAN一词的概率是

()A．

4813!

B

21613!

C．

172813!

D．

813!．方程xxm+1实数解，则实数m的值范围是

()A．

18

B．mCm>D．

18．若一项数为偶数2m的比数列的中间两项正好是方程+px+q的两个根，则此数列各项的积是A．pB．qD．q

()．设f＝2则0

h

f(xf(x0h

()A．B二填题本共24分，每题3分

C．D．．设f()的原函数是

x

，则

fxdx

．．设

x

2

)

，则函数(

2

1)(cosx)sinx2

的最小值是．．方程

3

的解x＝．．向量

j

在向量

ij

上的投影

a

．．函数

y

x

的单调增加区间．等数列50都项共同项的个数．方程x+13)x+的两根分别在区(0,1)(内的值范围．．将3个同的球放到个盒子中，假设每个子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件有盒子各放一个球的率________．三证与算本分分已知正数列对于的n12

a1

3na12

an

n2

．试证：a，，，中少有一个小于1．12xx．(10分设多项式f()满足：(x＝，f(0)＝1，f(3)，求f(x．．分)极限

n

1

p

pnp

p

(

．．(10分设

,f(x,

1在x＝0处导，且原点到fx中直线的距离为，点3到f()中曲线部分的最短距离，试求b，l，m值．(bc．分)明不等式：

sinxcos

，

x[0,

2

]

．(8分)名射手轮流向同一目标射击手和射手乙命中目标的概率都是谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．y

射甲先射，分)如所示设曲线

y

1x

上的点与x轴的点顺次构成等腰直角三角eq\o\ac(△,)OB，111上．试求ABA，，角顶点在曲线y12A的标表达式，并说明这些三角形的面积之和n是否存在．

B

1B

2OA

1

A

2

x22222222复旦大学年送生招生测试数学试（理科）一填题每题10分，共60分．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数…，第组含n个数，即；2；4，6；．a为组之和，则＝________________．n．sinsin()sin)＝______________．3．

lim[(n2)log(2)1)log(logn]222n

＝．知平行六面体的底面是一个形且其锐角等于60度此角侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度，则两对角面面积之比．．正实数x,y满关式0，又若x，y的小_____________．．一列火车长米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台米，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到台共行驶米．二解题每题15分，共90分．数列{a}合推式＝a，又＝，求数列前n项S．nnn1．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．．正六棱锥的高等于h相邻侧面的两面角等于(6)求该棱锥的体积)124

(326)

，．设z,,z,z是复平面上单位圆上的四点，若+1412求证：这四个点组成一个矩形．．设

(1

n

2

，其中x,y为数，求→，nn

nn

的极限．．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2472222n402472222n40年上海交通大学联读班数学试题一填题本共40分，每题4分．数

12

的位数是_．．若log[logx)]＝log[log)]＝[log(logz＝，则x++＝．24323．若log＝p，log＝，则用p和示log5为．23．设是术平均和几何平均，则:cos2____________．．设

x[0,

2

]

，则函数f(x)＝sinx的最小值为_______________．．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个球，则这盒小球的个数_．．若在数列1，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项和是_______________．．在x)

的二项展开式中

的系数是．．某编辑在校阅教材时，发现这句“角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取米的线段求个端点间的距离其中a厘在排版时比原稿上多1虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a＝________________．．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为的等差数列的概率为．二选题本共32分，每题4分11．，b>0，若(+1)(＝，则arctanab＝

()A．

2

B

3

C．

4

D．

6．一个人向正东方向走x公里，他向左转150°后新方向走了公，结果他离出发点

3

公里，则x是

()A．

3

B

3

C．3

D．能定．

(1

16

8

)(12)

()A．

1(132)

B

(1

C．

1

D．

1)．设[t]示t的大整数，其中t≥0且＝{(y)|(x

+T

＝]}则()A．对于任何t，点0,0)不属于B．的积介于和C．于所有的t≥5，被含在第一象限D对任何t，的心在直线y＝x上若个圆盘被n条相等间隔的半径和一条割线所分隔这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是A．2B．3C．nD．3+1

()．若i

＝则icos135°+in…+i

＝()A．

B

2

C．

i

D．

20i)222nn222nn．若对于正实数和定

y

，则

()A．是以交换的，但不可以结合B．是以结合的，但不可以交换C．既不可以交换，也不可以结合D．”*是以交换结合的．两个或两个以上的整数除以N(N为整数N>1)，若所得的余数相同且都是非数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和对于某个N是余的，则对于同样的N，81同于A．3B．5D．7

()三计题本共78分）．(题10分已知函数(x)xx+2∈[tt+1]最小值是gt．试写出(t)解析表达式．．(题12分设对于x>0

f()

1(x)6x6)x11(x)3

，求f的最小值．．(题16分已知函数

f(x)

2x

，对于＝1,2,3,…定义fx)＝[(x)]．f(x)＝f()n+15则x)解析表达式是什么？28．(题20分已知抛物线族2＝x-6xtt+8sint+9，中参数t∈R求抛物线顶点的轨迹方程；求在直线y＝12上得大弦长的抛物线及最大弦长．．(题20分设{}递增数列，x＝1，＝，在曲线n2

y

x

上与之对应的点列为P1

P()33

…

yP(n

…以O为点OP、n

P

n+1OP与线PP所围成部分的面积为nnn4S，{}(n∈)是比为的等比数5列，图形XX的积为nnnn

P

n

33(xn

)

，

O

Xn

x试求S++S+…和limx．12222323122223231复旦大学年拔生考试数学试题一填(每小5分，45分)．y则cosxy___________________．平面面，平面中椭圆在平面的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比1为__________．(x+2x-2y+2)＝，则+．．电话号码0能是首位，则本市电话号码从7位升到8，使得电话号码资源增．．

3

a+a，,,,≤7正数，则______________．303．

1(x

的常数项为_________________．．

lim()n

＝．．空间两平一存在一个平面均与平___________．．eq\o\ac(△,在)中，A＝，此三角形的形状________________．二解题(共87分)．求解：xtan5＝sin7x．数列3，3…1)lg2问当n为几时，前n项和最大？．求证：x∈时，．为何值时，方程

xa)log(a2lg

2

有解？只有一解？．一艘船向西以每小时10公的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离米，在台风中心周围米将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？．y＝所有整数(,y)，试证明：

|

|

．32222ab932222ab9上海交通大学2002年送生考试数学试题一填题本题共64分每小题分．设方程的个数根为

n

(正整)=__________．设b是数，直线=b和条物线xy=x+7与y=x+4+5的点个数分别是2，0，则(b．．投掷个骰子，其中点数之积为的数的概率为．．若x,z且+，则

12z

的最小值为___________．．若2，8．．若a,b,c正实数，且

=4

=6

，则

11abc

=_____________．

1)23

(1

1n2

)

的值为_．．函数

y

2x2x

的值域为______________．若圆内接四边形ABCD的边长=4=8，CD=9，，则cosA=__________．．若ab满关系：

a12

，则

2

2

=____________．11．

(2

x

)

9

的展开式中x的数．．当

时，方程

2x

的相异实根个数共有个．若不等式

0x

有唯一解，则．．设a,c表三角形三边的长，均为整数，且三角形_个．

a

，若=（正整数可成这样的．有两个二位数，它们的差是56它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数_______．．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等所学，各小学分别有电脑，，11，，台，现在为使各小学的电数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________，从第二小学向第三小学移交了______台，从五小学向第一小学移交台，移动总数是_台．二计与明（本题共分）题12分）n为大于的整数，试用数学归纳法证明列不等式：

1

123

1nn

；已知当

2x0x时6

，试用此式与(1)的不等式求

n

1(sin12sin3sinn23

1)n2222分）若存在实数，使(x)=，则称x为fx)不动点，已知函数

f(x)

2x

有两个关于原点对称的不动点求b须满足的充要条件；试用y=fx)=的形表示上述两个不动点的位置（画草图）题14分欲建面积为144m的长方形围栏，它的一边靠墙（如图铁丝网问筑成这样的围栏最少要用铁丝网少米？并求此时围栏的长度．

x

y14分数列{}足关系n

n

a

2n

(1,2,

)

满

a2,3,N

，试证明：

a1

；

a1

k2N

（k为数）题16分设

f(x)xb

为实数，且a0,若,满足()f(bf()2试写出与关系，并证明在这一关系中存在b满足3<题16分和B两掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A开掷，设第次掷概率是．求(1)P用P表nn的式子；极

lim75210009991000507521000999100050年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4一填题本题分每分．三次多项式f()满足f＝2f，且有两个相等的实数根，则第三个根为_．．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的大值是．．已知

x,R

，x+2y＝，则

22x

的最小值是．．有个数，前3个等比数，后3个等差数列，首末两数和为，间两数和为，则这四个数是___________________．已知f()+bx+x+2f(2)f_______________．．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率．．正四面体的各个面无限延伸，把空间分________________个部分．．有元素的集合分为两部分，空集除外，可___________种分法．．有一个整数的首位是7，当换末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是．．末尾连续个零．二解题本题分每分）11．数列{}aa3a+a，和lim．n1nn．3个然数倒数和为1求所有的解．．已知x(x，求x的数．．化简(1)

；(2)

1nn

kn

．．求证：

a

a3a4

为最简分式．．证明不等式

nn()!)23

n

，当自然数≥6时立．222222ologx2222222ologx2复旦大学年保送生考试数学题一填题本题共80分每题分)．函数

y

x

f(t)

，当x=1时

t2

，则f(x)＝．．方程+(ax+的根x,x在+上，则_______________．12．划船时有人，有人能划右边，人只能划左边，共有种分配方法．．A＝{x2

4)>0}，＝{x，则

B

．．数列{a}前n项为S，=p),(，S＝．nnky．若则的围是．x．边长为正方形沿BD折60二面角，则BC中点与的离是．．已知z|z+则1

12

______________．解方程x

a

32

，x＝________________．．(a>0)

n

a2n

n

＝______________．二解题本题共120分)11．已知z＝1，求z++4|最小值．．,a,是不相同的自然数，求证：13n

(

111)a))aa12

a

1an

a

．．已知

32

，

cos

sin

，求

tan

的值．1212．一矩形的一边在x轴，另两个顶点在函数

y

x1

(的图象上，求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．圆的底面半径为为16内于圆锥内于圆锥侧面外，12以次类推，求所有这些球的半径r的项公式；n所有这些球的体积分别为,…,V,．求V12n

)n

．已数列{}前和为，nn

(n)(n

求．2003．定义闭集合S，若

a,b

，则

，

．(1)举例真包含于的限闭集合．求对任意两个闭集合,R，存在，但cSS11

2

．2222n222222n22同济大学年保送生考试数学题一填题．f(x)是周期为2的数，在区间[上f)，则

3f)2

m为数．．函数y,x[0,2调区间．．函数

y2

的值域是__________________．．．函数y＝(x)f(x+1)x)称为f)在x的一阶差分，记eq\o\ac(△,)y，对eq\o\ac(△,)在x处一阶差分，称为f()在处二阶差eq\o\ac(△,)y，则y＝(x＝3x处的二阶差eq\o\ac(△,)．．．从～100这个自然数中取个，它们的和小于等于的率是_．．正四面体，如图建立直角坐标系，O为A在面的投影M点标_CN与所角是_．．双曲线x＝上一点P左右焦点所围成三角形的面积

zA．．椭圆4

在第一象限上一点P(x)，若过的线00

B

M

O

N

D

y与坐标轴所围成的三角形的面积_．二解题

C

x11．不等式

2

x

对于任意x∈R都立，求的值围．．不动点，析式；(3)

fx)

bx11．(1),3为动点，求a,c的系(2)若f，求fx)解x22．已知

y

2

([0,2

，(1)求的小值；求取得最小值时．正三棱柱－ABAA|点从A出沿棱111111

A

C运动，后沿运动，∠ADE的面截三棱柱所111

D得的截面面积与关式．

Ba．已知数{}足an．n若b＝a(n=2,3,nn求b；(2)求；求lim．nini

A

1

B

1

D

1

C

1．抛物线＝2，(1)过点的直线斜率为，交抛物线与A,B，求AB．是存在正方形，使C在物上D在抛物线内，若存在，求这样的，正方形ABCD有么点？4242上海交通大学年送生考试数学试题(钟一填题．已知x,y,z是非负整数，且++，x+2+3，则+5+3的范围__________．．长为l的丝折成三段与另一墙面合封闭矩形，则它的面积的最大值．．函数

y

sin

cos（0

2

）的值域是_．．已知a,c为角形三边的长b=，且ac，满足条件的三角形的个数．．

x

2ax和

bx

的最大公约数为，小公倍数为xx

，则

a

=______,

d

．．已知

1a

2则方程

的相异实根的个数是．．

(7

2004

818

的个位数是_____________．．已知数列

aa且1

n

3a

n

a，则an

=____________．．n的方格,任取得长方形是正方形的概率__________．已知

abcxyz则xyzabc．．．二解题．已知矩形的长、宽分别为、b，现在把矩形对折，使矩形的对点重合，求所得折线长．．某二项展开式中，相邻的二项式系数之比为1：23…a，求二项式的次数、a、以及二项式系数．．(x)=axx+(5)x+6x，明）有f()=0）有f(x．．

f(x)

1x

于切自然数n有

fxf[)](x)fx)fx)n1n6

．．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭中心的轨迹．．已知

n

的等差数列，

b

n

n

nN)n

．用a、、11

表示数列

式；若

aa，a1

，求a的小值及最小值时的的．n1212复旦大学2004年送生考试数学试题（150钟一填题每分共分．

x8(x4

ax2

，则

a

_________．已知

55

，则

的范围是．．椭圆

x16

，则椭圆内接矩形的周长最大值_．．12手套（左右有区别）形成6双同的搭配，要从中取出只好能形成，有____种取法．．已知等比数列

a

，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为_____．

x

2

ax0

的所有整数解之和为，则实数

a

的取值范围．．已知

(x2xy，49

的最大值为_．．设

,1

2

是方程

x

sin

35

0

的两解，则

arctgx1

2

=__________．3的零解是．．

y

的值域是____________二解题每分，120分．解方程：

(x

3)

．．已知

12，，，2．132．已知过两抛物线C：xy，：

y

的交点的各自的切线互相垂直，求．．若存在M，任意tD（D为函数f(

的定义域有

f()M，称函数(

有界．问函数

f(x)

1sin在(0,)xx

上是否有界？．求证：

3

3

3

．．已知E棱长为a的正方体—D的的点，求点到平面A的离．11111．比较

25log大小并说明理由．．已知数列

n

a

n

，b6b，，4nnn1

，求(1)

a,n

n

；

nn

．简单解答：11一、填空题

2

(0.6,0.8)

13二、解答题：．证明：m

((m

(m

(

)

m（

m

m

)

m

mm而

m

m

m

m

m原式

11

1121234n2nn

证明：

2n

n(n(n

1n

nnnn

nnn

1n

1n原式〈

1

11)23nn22同济大学年主招生优秀考生文化试数学试卷一填题本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得，否则一律得零分，本大题满分40分．函数

f(x)logcos

的单调递增区间______________________．如图所示，为某质点在20秒作直线运动时，速度函数

vv(t)

的图象，则该质点运动的总路程=_____（厘米20．设与是两条非相互垂直的异面直线过直线的平面有以下结论(1)//b

可出现的结论序号．

．设某地于某日午后2达到最高水位，为米，下一个最O

10t高水位恰在12小后达到，而最低水位为0.20米若位高度（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间t单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式______________．设二象限角，

3,则sin58

．．已知复平面上点A与点B别对应复数2与2i，线段AB上的动点对应复数Z，复数2对应点Q点Q坐为xy，则点的迹方程________________________．．设有正数a与，满足a，实数y,x,y，使+是a与算术平均数，x是与122112几何平均数，则

x11(y)22

2

的取值范围．．从0,1,2，这10个数码中随机抽出5个排列成一行，则恰好构成可以被整除的位数的概率是_（分数给出答案二解题本大题共有，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分）题满分12分）试利用三角函数求函数

4

的最大值与最小值．分证于何实数a与b个数+-|,|1至少有一个不小于

．11题满分分）设抛物=k与线=有个不同的交点，且交点总可以被一个半径为1的片所同时遮盖，试问：实数应满足什么条？题满分分）设四棱锥P—中底面是长为的正方形，且PA⊥面．求证：直线⊥直线BD过直线BD垂直于直线PC的面交PC于三棱锥

PE—BCD体积取到最大值，求此时四棱锥—的．

EA

DB

C题满分12分）设有抛物线px(p>0)，B是抛物线的焦点，点C在正x上，动点A在抛物线上，试问：点C在么围之内时∠BAC是角3333上海交通大学年送、推优生数学试题一填题每小题分，共分）．方程

2

p

2

的两根

x,x1

满足

x

2

，则p（p．

8x

41,(0,)128

，则x．．已知Z有

1(1)nn2004

)

2004

，则______________．．将3个正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图这部分接于一个边长为

62

的正六边形（如下图接的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积．．已知

23

3

3

，x、y，则(x)=_______________．

2

2222

n

n

2

．．若z，且，z．．一只蚂蚁沿1×2×3立体表面爬，从一对角线一到另一端最短距离_______________．．封不同的信放入只好地址的信封中，装的概率，恰好只有一封装错的概率为_______．．已知等差数{}，n

a44319

，

a5916

．二解题第题8分第、3各分，第5题12分．

x

32

的三根分别为c，并且a,bc不全为零的有理数，求a,bc的．．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍(2)最角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．．

2

x

的最大值为，小值为1求实数a,．．已知月利率为等额还款方式，则若本金为元，试推导每月等额还款金额关于的函数关系式（假设贷款时间为．对于数列{}…即正奇数k有个，是否存在整数rs，使得对于任意正整数n都

a[n]

恒成立（[x]表不超过的最大整数年旦大学考试试卷一填题A

2

2

C=______(B表示B在R上补．．数满

x

11求300_______xx

．．求

5sin

的圆心坐标，

0,2

．抛物线

y2

2ax

与直线

y

交于和两，最大时．．lim

n2

n

________．n．求1+3+6+＋

nn2

．班个学生个女生个人去参观展览馆抽1女生的概率为_______．．求

在十进制中最后4位____________________．定义在R上函f)（x足

f

，则f．．求

y

sinx

的最大值是__________________．二解题．在四分之一个椭圆

xa2b

（xy>0上取一点，过P椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小．．在ΔABC中，tanAB:tan，求

AC

．．在正方体BD—ABD中，E、G点别为AD、AA、AB中，1求：到面距；二角G—D平1．在实数范围内求方程：

4

10

7

的实数根．．已知

sin

，求

sin

n

cos

n

关于的达式．l与双曲线交和Q点l与x交于轴于BAP．．定义在R上函

f

4

4

，

f

f

…求

n

；(2)是否存在常数，

2

，有

1123

1n

．222222年海交通大学推优、保送生考试数学试题一填题