广东省汕头市潮阳区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

xxxxxxxx学年广东省汕头潮阳区高（上期末学试（理科）一、选题：本大题8小题，每小分，共40分，在每题给出四个选项中，有一项是符题目要的.1分）命题“∀x∈R，e＞x”的否定是（）A．∃x∈，e＜xB．x∈，e＜xC．∀x∈R，≤xD∃x∈R，≤x2分）若向量=（12=（x，1）满足⊥，则||=（）A．

B．

C．

D．3分）设函数y=sin2x+

cos2x的最小正周期为T最大值为A，则（）A．T=2πA=2

B．πA=C．T=π，A=2DT=πA=4分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形则该几何体的体积为（）A．2π．πC．

D．5）某校高三年级100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[506070，8080，90，100]，这100名学生数学成绩在[，100]分数段内的人数为（）A．60B．C．50第1页（共19页）

D．45

1212111126分）设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）121211112A．若m∥n，α，则n∥α．若m∥αnα则m∥n

B．若α⊥γβ⊥γ，则α∥βD若m⊥αn∥则mn7分）如图，在RtABC中，AB=4，AC=3，∠以点B为一个焦点作一个椭圆使这个椭圆的另一个焦点在AC边上且这个椭圆过AC两点，则椭圆的离心率为（）A．

B．

C．

D．8分）若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①PQ都在函数（x）的图象上；②Q关于原点对称，则称点对[，]是函数y=f）的一对“友好点对（注：点对[，Q]与[Q，]看作同一对“好点对知函数f）=

，则此函数的“好点对”有（）对．A．0．1C．2D．二、填题：本大题6小题每小题5分，满分分9分）不等式|x﹣|﹣|2x|≥0的解集为．10分）已知直线：ax+3y+1=0，：2x+（+1+1=0，若l∥l，则实数的值是．11分）设、y∈R且满足，则z=x﹣的最大值等于．12分）已知正方体ABCD﹣ABCD的内切球的体积为的外接球的表面积为．

，则这个正方体13分）已知双曲线﹣

=1的离心率为2，它的一个焦点与抛物线=8x的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为．第2页（共19页）

2212211222nnn2nnn1m14分）设直3x+﹣5=0与圆Cx+y=4交于A，B两点，若圆2212211222nnn2nnn1m在线段AB上，且圆与圆C相切，切点在圆C的劣弧径的最大值是．

上，则圆C的半三、解题：本大题6小题，共80分，解答写出文字说、证明程或演算步骤15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，bc，（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．

=

．16分）已知命题：对∈[1，2]，不等式x≥k恒成立，命题Q：关于x的方程x﹣x+有实数根，如果命题“￢”为假，命题“P∧”为假，求k的取值范围．17分）已知圆C经过点A（03）和B（2圆心C在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4求实数m的值．18分）如图，在四棱PABCD，⊥平面，AD四边形ABCD是直角梯形中，∠ABC=∠BAD=90°．（1）求证：CD平面；（2）求二面角APD﹣C的余弦值．19分）等比数列c}满足和为S，且a=logc．（I）求a，S；（II）数列

的前项的前项和，是否存在正整数m＞1得，T，T成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．第3页（共19页）

12221120分）已知椭圆的焦点为（﹣10（1，0（﹣在椭圆上．122211

）（1）求椭圆C的方程；（2）若抛物线E：（p0）与椭圆C相交于点M、，当（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求P的值．（3）在（2）的条件下，过点F作任意直线l与抛物线E相交于点、两点，则直线AF与直线BF的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．第4页（共19页）

xxxxxxxxxx年东汕市阳高（）末学试（科参考答案与试题解析一、选题：本大题8小题，每小分，共40分，在每题给出四个选项中，有一项是符题目要的.1分）命题“∀x∈R，e＞x”的否定是（）A．∃x∈，e＜xB．x∈，e＜xC．∀x∈R，≤xD∃x∈R，≤x【解答】解：因为全称命题否定是特称命题，所以，命题∀x∈R，＞x”否定是：∃x∈，e≤x．故选：D2分）若向量=（12=（x，1）满足⊥，则||=（）A．

B．

C．

D．【解答】解：∵向量=12=（x，1满足⊥，∴•=0即1•x+21=0；解得x=﹣2，∴=（﹣21∴||=故选：．

=

．3分）设函数y=sin2x+

cos2x的最小正周期为T最大值为A，则（）A．T=2πA=2

B．πA=C．T=π，A=2DT=πA=【解答】解：化简可得y=sin2x

cos2x=2sin2x+

cos2x）=2cos=2sin（+

sin2xsin

cos2x）第5页（共19页）

2∴周期T=2

=π，最大值A=2，故选：．4分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形则该几何体的体积为（）A．2π．πC．

D．【解答】解：由三视图知几何为圆柱的一部分，且圆柱的高3，底面圆的半径为2由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=××2×3=2π故选：A．5）某校高三年级100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[506070，8080，90，100]，这100名学生数学成绩在[，100]分数段内的人数为（）A．60B．C．50D45【解答】解：根据频率分布直方图，得；数学成绩在[90，100]分数段内的频率为10a，由频率和等于1，得（2a0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005∴数学成绩在[70，100]分数段内的频率为第6页（共19页）

1﹣（0.04）×10=0.55，对应的人数为100×0.55=55．故选：B．6分）设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，α，则n∥α．若m∥αnα则m∥n

B．若α⊥γβ⊥γ，则α∥βD若m⊥αn∥则mn【解答】解：根据题意，分析选项可得：A、平行于同一条直线的直线和平面，不一定平行，它们也可能是直线就在此平面内，故错；B、垂直于同一个平面的两个面相交或平行，即与β可能相交，错误；、平行于同一个平面的两条直线，不一定平行，它们也可能是相交或异面，故错；D若m⊥αn∥则m⊥符合线面垂直的性质，正确；故选：D7分）如图，在RtABC中，AB=4，AC=3，∠以点B为一个焦点作一个椭圆使这个椭圆的另一个焦点在AC边上且这个椭圆过AC两点，则椭圆的离心率为（）A．

B．

C．

D．【解答】解：如图，记另一个焦点为D，则△ABD也是直角三角形．∵AB=4，AC=3，∠CAB=90°，∴BC===5，由椭圆定义可知：AB+AD=CB+CD=（+BC+）∴椭圆的长轴长2a=6，∴a=3，设椭圆的焦距为2c，即BD=2c第7页（共19页）

=6

22由椭圆定义可知：AD=2aAB=6﹣4=2，22又∵AD=

=

，∴2=∴离心率e==故选：A．

，解得c=，

，8分）若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①PQ都在函数（x）的图象上；②Q关于原点对称，则称点对[，]是函数y=f）的一对“友好点对（注：点对[，Q]与[Q，]看作同一对“好点对知函数f）=

，则此函数的“好点对”有（）对．A．0．1C．2D．【解答】解：由题意得：函数f）=“友好点对”对数，等于函数（x＞）的图象关于原点对称的图象，与函数﹣﹣（x≤0交点个数在同一坐标系中做出函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x﹣4x（x≤0）的图象如下图所示：第8页（共19页）

121212121212121212121212由图象可知，两个图象只有一个交点．故选：B．二、填题：本大题6小题每小题5分，满分分9分）不等式|x﹣|﹣|2x|≥0的解集为[﹣31]．【解答】解：由不等式可得①，或②，或③．解①求得﹣3≤x＜0解②求得0x＜解③求得x∈．综上可得，不等式的解集为[﹣3，]，故答案为：[﹣3，1]．10分）已知直线：ax+3y+1=0，：2x+（+1+1=0，若l∥l，则实数的值是﹣3

．【解答】解：∵l∥l，∴a（a+1﹣23=0，即a

2

+a﹣6=0，解得a=﹣3，或；当a=﹣3时，l为：﹣3x++1=0，l为：2x﹣2y+1=0，满足l∥l；当a=2时，l为：2x+3y+1=0，l为：2x+3y+1=0，与l重合；所以，实数a的值是﹣3故答案为：﹣3．第9页（共19页）

最大值1111322最大值111132211分）设、y∈R且满足，则z=x﹣的最大值等于﹣1【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

．，由z=x2y得：y=x﹣z显然，直线过A（11）时，z最大，∴z

=﹣1故答案为：﹣1．12分）已知正方体ABCD﹣ABCD的内切球的体积为

，则这个正方体的外接球的表面积为

12π

．【解答】解：正方体的内切球直径就是正方体的棱长，所以直径为：2即正方体的边长为：2

r=

，球的外接球的直径就是正方体的体对角线的长，正方体的对角线长为2

，球的表面积：4π•故答案为：12π．

=12π13分）已知双曲线﹣

=1的离心率为2，它的一个焦点与抛物线=8x的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为【解答】解：∵抛物线y=8x的焦点为（20曲线的焦点坐标为00

．故双曲线中的c=2，且满足=2，故，

，所以双曲线的渐近线方程为

．第10页（共19页）

2212211221221122122122故答案为：．221221122122112212212214分）设直3x+﹣5=0与圆Cx+y=4交于A，B两点，若圆的圆心在线段AB上，且圆与圆C相切，切点在圆C的劣弧

上，则圆C的半径的最大值是

1

．【解答】解：由圆C：x+y=4可得圆心O（0，0径R=2如图，当圆的圆心Q为线段AB的中点时，圆c与圆C相切，切点在圆的劣弧

上，设切点为P，此时圆C的半径r的最大．联立直线与圆的方程得

，消去y得到25x﹣30x﹣39=0，设A（x，y（x，则x+x=，所以线段AB的中点Q的横坐标为，把x=代入直线方程中解得y=，所以Q（，两圆心之间的距离OQ=d=因为两圆内切，所以圆c的最大半径r=R﹣d=2﹣1=1故答案为：1

=1三、解题：本大题6小题，共80分，解答写出文字说、证明程或演算步骤15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，bc，（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．

=

．【解答】解）∵

，∴第11页（共19页）

，∴sin=

22222222222222∴cosB=1﹣2sin=；22222222222222（II）∵a=3b=2

，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c

﹣2c∴c﹣2c+1=0∴c=1．16分）已知命题：对∈[1，2]，不等式x≥k恒成立，命题Q：关于x的方程x

﹣x+有实数根，如果命题“￢”为假，命题“P∧”为假，求k的取值范围．【解答】解：因为命题“P”为假，所以命题是真命题，又因为命题“PQ”为假，所以命题Q是假命题，要使对任意x∈12]，不等式x≥k恒成立，只需≤（x）=1所以命题P是真命题的条件是：k≤关于x的方程x﹣x+k=0有实数根，则只需△=14k≥0，即k≤．命题Q是真命题的条件是：k≤，所以命题Q是假命题的条件是k＞．综上所述，使命题“P”为假，命题Q”为假的条件是．

k的取值范围为17分）已知圆C经过点A（03）和B（2圆心C在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4求实数m的值．【解答圆心在线y=x上可设圆C的圆心坐标为再由圆C经过A（0，（32两点，可得|CA||CB，∴|CA=|CB|，∴a﹣0（a﹣3）（a﹣3）（a﹣2．解得a=1，故圆心（1，1径r=

=

，故圆C的方程为（x﹣1）

2

+（﹣1）

2

=5，（Ⅱ）圆心（1，1径r=

=

，圆心到直线y=2x+m的距离为：

=直线被圆C所截得的弦长为所以半弦长为：2第12页（共19页）

2222所以（）2222

2

=2

2

+（）

2

，所以实数m的值为﹣1

．18分）如图，在四棱PABCD，⊥平面，AD四边形ABCD是直角梯形中，∠ABC=∠BAD=90°．（1）求证：CD平面；（2）求二面角APD﹣C的余弦值．【解答证明：∵⊥平面ABCD，∴CD⊥分）又∵AB=BC，∠ABC=90°∴AC=

分）过C作CE∥AB，交于E，则CE=AB=BC=DE，∠CED=90°分）∴CD=

分）在△ACD中，AC+CD=4AB=AD，∴CD⊥AC分）又∵∩AC=A，⊥平面分）（2）解：∵CE⊥AD，⊥，∴CE⊥平面PAD分）过E作EFPD于F，连结，得CF⊥PD分）∴∠GHC是二面角APD﹣C的平面角分）设AD=2，则PA=AB=CE=DE=1，DP=∵△PAD∽DEF，

．∴∴EF=∴CF=

，分）==

分）第13页（共19页）

nnn2nnn1m122nnn2nnn1m12211111m6m2*1m

．∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为

分）19分）等比数列c}满足和为S，且a=logc．（I）求a，S；（II）数列

的前项的前项和，是否存在正整数m＞1得，T，T成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解）+c=10，+c=40，所以公比q==4…（分）由c+c=c+4c=10得c=2所以所以

…（4分）…（5分）由等差数列的求和公式可得，（Ⅱ）由（Ⅰ）知

…（6分）于是

…（8分）假设存在正整数m（＞1得T，T，T成等比数列，则，…（10分）整理得4m﹣7m，解得

或m=2由m∈N，m＞1得m=2，因此，存在正整数m=2，使得T，TT成等比数列第14页（共19页）

…（12分）

1222111212000000220分）已知椭圆的焦点为（﹣10（1，0（﹣在椭圆上12221112120000002

）（1）求椭圆C的方程；（2）若抛物线E：（p0）与椭圆C相交于点M、，当（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求P的值．（3）在（2）的条件下，过点F作任意直线l与抛物线E相交于点、两点，则直线AF与直线BF的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解答】解依题意，设椭圆C的方程为+

=1…（1分∵椭圆C的焦点为（﹣1，0（1，0P（﹣1

）在椭圆上，∴2a=PFPF|=∴a=，c=1，…（3分∴b==1…（4分

+

=2

，…（2分∴椭圆C的方程为

．…（4分）（2）根据椭圆和抛物线的对称性，设Mx，yx，﹣y，y＞0…（5分△OMN的面积S==xy，…（6分∵Mx，y）在椭圆上，∴

=1∴，那么S==x

（1﹣）=﹣第15页（共19页）

，

000212111222222000212111222222

时，，即当x=1＞1）时，=

．将x=1代入

=1

得，…（8分∵M1）在抛物线y=2px上，∴，解得p=．…（9分（3）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AFF=∠BFF，则．…（10分（B）当直线与x轴不垂直时，依题意设直线l的方程为y=k（﹣1≠0A（，y（，则A，两点的坐标满足方程组（分化简得2kx﹣（4k+1x+=0，

．…依

韦

达

定

理

得，

…

（

12

分），又∴

===

，+

=

，=第16页（共19页）

11．．2211．．22．．．．．22．．．=

，把

代入，得

=0综上，直线AF与直线BF的斜率之和为定值014分赠送—高中数知识点【】单性最大小值（）数的单调性①定义及判定方法函数的性质

定义如果对于属于定义域I内

图象

判定方法（）用定义某个区间上的任意两个

（利已知函数函数的

自变量的值x、,当x<时都有f(x)<f(x)，那么就说f(x)在这区间上是增数

o

f(x)

f(x)

的单调性（利函数图象（在某个区间图象上升为增）（利复合函数单调性

如果对于属于定义域I内

（）用定义某个区间上的任意两个

y

y=f(X)

（利已知函数自变量的值x当x<1时都有f(x)>f(x)，那么就说f(x)在这区间上是减数

o

f(x)x

f(x)

x

x

的单调性（利函数图象（在某个区间图象下降为减）（利复合函数②公定域，个函的是函，个函的是减数增数去一减数增数减数去个函为函．③于合数yf[()]

，u)

，f(