河南省八市2021-2022学年高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设直线/过点A（0,-1）,且与圆C：/+,2一2〉=0相切于点3,那么翳花=（）

A.±3B.3C.>/3D.1

2.已知人2是平面内三个单位向量，若力6,则忖+22]+恒+4-4的最小值（）

A.V29B.729-372C.V19-2^D.5

3.设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x>l},则An（.B）=

A.{x[0<x〈l}B.{x[0<x<l}C.|x|l<x<2jD.{x[0<x<2}

4.已知集合4=卜,一310<0},集合3={41<%<6},则AflB等于（）

A.{x|-l<x<5}B.{x|-l〈x<5}

C.{止2cx<6}D.{x|-2cx<5}

5.若不等式V+狈+120对于一切恒成立，则。的最小值是（）

5「

A.0B.-2C.一一D.-3

2

6.已知复数2满足,=1—i,则5=（）

Z

C.——+—iD.-----------i

2222

7.设大”)是定义在R上的偶函数，且在。+oo)单调递减，贝IJ()

0443

A./(log30.3)>/(2.)>/(2-)B./(log30.3)>/(2^)>/(2-°)

34043

C./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2--)>/(2-°-)>/(log30.3)

8.函数/（x）=sin（QM+。）的部分图象如图所示，则/（x）的单调递增区间为（）

A.------卜k兀,---1-k7i,keZB.---------卜-----&2k兀,keZ

4444

C.+Z:,keZD.--+2k,--+2k、keZ

_44JL44

9.若》+页。,)小11)与出互为共辗复数，则％+y=()

1-z

A.0B.3C.-1D.4

10.已知函数f。)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递增，则()

0606

A./(-3)</(-log313)</(2)B./(-3)</(2)</(-log313)

a66

C./(2)</(-log313)</(-3)D./(2°-)</(-3)</(-log313)

11.抛物线方程为y2=4x,一直线与抛物线交于AB两点，其弦AB的中点坐标为（1,1）,则直线的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.-2x-y-1=0

12.如图在一个60’的二面角的棱有两个点A,5,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB,

且AB=AC=2,8D=4,则C。的长为（）

A.4B.275C.2D.273

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.实数X,），满足yW2x-1,如果目标函数2=x-y的最小值为-2,则工的最小值为

X

x+y<m

14.［以2_j_］展开式中/项系数为160,则。的值为.

15.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为（1,1），（2,2）,函数

〃力=4疝（如:+0）卜＞0,0＜啰＜?网＜1^的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为

/W=-----------

|2fl||A+u|

16.若函数/（%）=2-'--4在区间（-2,”）上有且仅有一个零点，则实数。的取值范围有.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在正四棱锥P-A3QD中，底面正方形的对角线AC,8。交于点。且

2

（1）求直线BP与平面PC。所成角的正弦值；

（2）求锐二面角8—PD—C的大小.

18.（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如

图1）：规定产品的质量指标值在［65,85）的为劣质品，在［85,105）的为优等品，在［105,115］的为特优品，销售时劣

质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代

替产品的质量指标值位于该区间的概率.

T|4()

|20

iKt100

:80

s60

l4()

2(>

a:金0

*.

102（）30405060

年背储精用x（万）匚）

图2

（1）求每件产品的平均销售利润;

（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用X（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对该企业近5年

的年营销费用X,和年销售量K，（，=1,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

55

E匕-硕匕-工）

/=1/=1/=1/=1

16.3523.40.541.62

]5_J5

表中/=In玉，v,.=Iny,,u=-^u:,v=-2^v,..

5/=i5i=i

根据散点图判断，y=可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用X（万元）的回归方程.

①求y关于x的回归方程；

②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售

利润一营销费用，取*59=36）

附：对于一组数据（％,H），（/，彩），…，（""，匕），其回归直线0=6+6〃的斜率和截距的最小二乘估计分别为

/=上匕-------------，a=v-jSu.

/=1

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,44。。=90,平面240,底面

ABCD,。为AD的中点，M是棱PC上的点且PM=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=2.

2

（1）求证：平面「。5_1平面以尸AD；

（2）求二面角M-BQ—C的大小.

20.（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花

卉.方案是：先建造一条直道OE将AABC分成面积之比为2:1的两部分（点。，E分别在边AB,4c上）；再取DE

的中点M,建造直道AM（如图）.设A£>=x,DE=%,AM=y2（单位：百米）.

A

(1)分别求必，乃关于*的函数关系式；

(2)试确定点。的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

21.(12分)记无穷数列｛%｝的前〃项中最大值为最小值为外，令.=乂，、〃%,则称也｝是｛。,卜极差数

列”.

(1)若勺=3〃-2,求也｝的前〃项和；

(2)证明：｛a｝的“极差数列”仍是也｝;

(3)求证：若数列也｝是等差数列，则数列｛4｝也是等差数列.

x=tx-cose

22.(10分)已知直线/：厂厂a为参数）,曲线£:（。为参数）.

y=->/3+v3z[y=sm9

(1)设/与G相交于A,B两点,求|A@；

|/a

(2)若把曲线G上各点的横坐标压缩为原来的5倍，纵坐标压缩为原来的券倍，得到曲线。2,设点P是曲线G上

的一个动点，求它到直线/距离的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

过点4(0,-1)的直线/与圆C：尤2+j-2｝)=()相切于点3,可得发.陇=o.因此

即可得出.

1\BAC=AB[AB+BCY=AB"+ABBC=AB=^C-^,

【详解】

由圆C：f+y2-2y=。配方为/+(丫-1)2=1,

C(O,1),半径r=l.

V过点A(o,-1)的直线/与圆c：/+y-2y=0相切于点B,

二ABBC=Q^

：.ABAC=AB(XB+BC)=AB2+ABBC^AB2^AC2-r2=3i

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.

2.A

【解析】

由于。J，且为单位向量，所以可令£=(l，O)，B=(O,l),再设出单位向量Z的坐标，再将坐标代入忖+2中忸+2坂-4

中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果.

【详解】

解：设c=(x,y),«=(1,0),^=(0,1),则/+卜2=],从而

卜+2c|+Ra+26-d=J(2x+1]+(2y)-+^(x-3)2+(y-2)'

=^3(x2+y2)+x2+y2+4x+l+^(x-3)2+(y-2)2

=7(x+2)2+y2+^(X-3)2+(J-2)2>V52+22=^9.等号可取到.

故选：A

【点睛】

此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题.

3.B

【解析】

分析：由题意首先求得CRB,然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：CRB={X|X<1},

结合交集的定义可得：An（CKJB）={O<x<l}.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.B

【解析】

求出A中不等式的解集确定出集合A,之后求得AQB.

【详解】

由A={X|X2—3X-10<0}={M（X+2）（X-5）<0}={H-2<X<5},

所以Ac8={x|-1Wx<5},

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

5.C

【解析】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论.

解：不等式x2+ax+lK）对一切xG（O,成立，等价于aN-x-工对于一切xejo,不成立，

2xI2」

•••y=-x-L在区间［（）,（上是增函数

x\2_

,5

-

2

•••a的最小值为-2故答案为C.

2

考点：不等式的应用

点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中

档题

6.B

【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.

【详解】

所以，z=^-^z.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

7.D

【解析】

利用“X)是偶函数化简/(log30.3),结合/(x)在区间(0,+力)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

•••/(X)是偶函数，.••〃1嗝0.3)=/(-log3y)=/(log3y),

W10g3y>l>2《3>2s>0,因为/(X)在(0,+OO)上递减，

.•J(log3+<〃2«3)</(244),

即/(1嗝().3)</(2.)</(244).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

8.D

【解析】

由图象可以求出周期，得到0,根据图象过点(5,-1)可求。，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.

【详解】

T51

由图象知7=;一二=1,

244

~21

所以7=2,co=—=冗，

2

所以…『⑼,

故。可取一，

4

37r

所以/(x)=sin(7x+7)

4

人〜兀，3万，…71.r

令2K7T<71XH----W24TTH，左£Z,

242

解得2k--<x<2k--,keZ

44

所以函数的单调递增区间为一：+2%,-!+2攵，ZeZ

44

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用"五点法''求函数解析式，属于中档题.

9.C

【解析】

、，由3+i,〜皿山皿.urr

计算——=l+2l,由共辄复数的概念解得X，)，即可.

1-z

【详解】

V—=l+2z,又由共辗复数概念得：x=l,y=-2,

1-z

x+y=-1.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，共扼复数的概念.

10.C

【解析】

根据题意，由函数的奇偶性可得〃-又由

3)=〃3),/(-log313)=/(log313),2°6<2<log313<log327=3,

结合函数的单调性分析可得答案.

【详解】

根据题意，函数/(x)是定义在R上的偶函数，则/(—3)=〃3),/(—Iog313)=/(log313),

有2°6<2<log313<log327=3,

又由/(x)在(0,+8)上单调递增，则有/(20-6)</(一腿313)</(-3),故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题.

11.A

【解析】

设3（%,必），利用点差法得到彳孑■=3=2,所以直线A3的斜率为2,又过点（1,1）,再利用点斜式

即可得到直线A3的方程.

【详解】

解：设4（%,%）,3（々,%），，乂+>2=2,

又"二:"两式相减得：犬—£=4（玉一%）,

、%=4%2

•••（3+%）（，-%）=4（石-%2），

.•・山=白2,

Xj-x22

•••直线A8的斜率为2,又...过点（1,1）,

二直线AB的方程为：y-l=2（x-l）,即2x—丁一1=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可

把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.

12.A

【解析】

由丽=乱+通+防，两边平方后展开整理，即可求得前2,则CO的长可求.

【详解】

解：CD=CA+AB+BD>

•••CE>=C^+AB+丽2+2CA.AB+2CA.BD+2AB.BD，

CAIAB,BD±AB>

CA.AB=O,BD.AB=0,

C4.fiD=|C4||BD|cosl20°=：--x2x4=-4.

2

一CD=4+4+16-2x4=16，

CD|=4,

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.—

7

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-y的最小值为—2,确定出山的值，进而确定出。点坐标，结合

目标函数上几何意义，从而求得结果.

X

【详解】

y>1

先做一，的区域如图可知在三角形ABC区域内，

[y<2x-l

y=2r+l

由2=%一），得丁=%一2可知，直线的截距最大时，Z取得最小值,

此时直线为y=x-（-2）=x+2,

作出直线y=x+2,交y=2x—1于A点,

由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线%+>=加也过A点,

y=2%—1fx=3

由《，得<,代入％+>=加，得机=3+5=8,

y^x+2[y=5

所以点C的坐标为（7,1）.

2等价于点a,y）与原点连线的斜率，

X

所以当点为点c时，上取得最小值，最小值为1,

x7

故答案为：—.

【点睛】

该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结

合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.

14.-2

【解析】

表示该二项式的展开式的第r+1项，令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.

【详解】

该二项式的展开式的第r+1项为7；+i=笳［0?）6-=（_1广小一笳.尤12-3「

令12—3r=3=r=3,所以〃=（一1）3.-xl2-3x3=-20a3%3，则—20〃=160=＞«=-2

故答案为：-2

【点睛】

本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.

15.2sm（铲一向

【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为尸点，再由函数性质

进一步求解参数即可

【详解】

等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点4B,C,D,E,F,其中点AB,C,。与已有的两个

顶点横坐标重复，舍去；若为点E则点E与点（2,2）的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于-2,不可能为（1,1）,

因此点E也舍去，只有点E满足题意.此时点（2,2）为最大值点，所以/（x）=2sin（ox+。），又（）＜&＜、，贝!）

；=套＞1,所以点（11），（2,2）之间的图像单调，将（1,1,）,（2,2）代入/（x）的表达式有

71

./\169+0=--F2攵7TCD=——,

sin(G+e)=5n]中63

=><

兀

sin(20+/)=l2co+(p^—+2k7r(P--1+2左乃，&€Z,

由同<、知3=—(因此f(x)=2sin/qx-/].

6k36；

故答案为：2sin(§x_k)

【点睛】

本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题

16.。=0或。之一

2

【解析】

函数/(x)=2k刈一4A4的零点0方程2kdi=心+〃|的根，求出方程的两根为玉=-4。，々=°，从而可得-4a=0

或-Aa<-2)即a=0或a2,.

2

【详解】

函数/(x)=沙网一4k+4在区间(-2,+«>)的零点=方程力心=心+。1在区间(一2,”)的根，所以|x-2a|=21x+a|,

解得：%=—4。，-^2=0,

因为函数f(x)=2k网一卢司在区间(-2,+00)上有且仅有一个零点，

所以Ta=0或Ta«-2,即。=0或

2

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)逅；(2)60°.

3

【解析】

(1)以OE,OP,OP分别为尤轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为2,再求解而与平面PCO的法

向量,继而求得直线BP与平面尸。所成角的正弦值即可.

(2)分别求解平面BPD与平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.

【详解】

解：(1)在正四棱锥P-ABC。中,底面正方形的对角线AC,BD交于点。，

所以OPJ_平面ABCD,取的中点的中点E,

所以。H,。瓦。尸两两垂直，故以点。为坐标原点，

以。瓦OP分别为x轴,丁轴,2轴，建立空间直角坐标系.

设底面正方形边长为2,

因为OTAB,

所以OP=1,

所以3（I，I，O），C（T，I，O），D（T，T，O），P（O,O，I）,

所以丽

设平面PCO的法向量是〃=（x,y,z）,

因为丽=（0,—2,0）,存=（1,-1,1）,

所以CD,n=-2y=0,CP-r^x-y+z=0,

取x=l,则y=0,z=-1,

所以〃=（l,0,—1）

_BP-nV6

所以M<BP,心一丽F'

所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为—.

3

(2)设平面BPD的法向量是n=(x,y,z),

因为丘(T,T,1),诙=(-2,-2,1),

所以BP•--x-y+z=0,BD-n=~2x-2y=0,

取x=l,贝ijy=T,z=O,

所以1=(LT0),

由(1)知平面PCD的法向量是3=(1,0,—l),

,---、m-n1

所以，。$＜加,心=彳闩=彳

rIH2

所以＜而,分＞=6()。，

所以锐二面角B-PD-C的大小为60°.

【点睛】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题，属于中档题.

1

18.(1)3元.(2)①y=364②216万元

【解析】

(1)每件产品的销售利润为X,由已知可得X的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从

而可得X的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；

(2)①对y=心%”取自然对数，得Iny=ln(a.x")=lna+blnx,

令〃=lnx,v=lny,c=\na,则丫=。+6/,这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程,

从而可求得y=；

…111

②求出收益z=3y-x=3x36R_x=108?_x，可设公炉换元后用导数求出最大值•

【详解】

解：(1)设每件产品的销售利润为X,则X的可能取值为-0.8,4,6.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优

等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1.

所以P(X=-0.8)=0.25；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列为

X-0.846

P0.250.650.1

所以E(X)=(-0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件产品的平均销售利润为3元.

(2)①由y=得Iny=ln(a-d)=lna+hlnx,

令a=lnx,v=Inj,c=\na,贝！|u=c+Z?a,

-054i

由表中数据可得。=上J------------=777=Z，

Vn/—\21.625

i=l

八23411635

则2="-万万=二一=4.68-1.09=3.59,

535

.i(

所以£=3.59+—〃，即lng=3.59+-lnx=lne359-x3,

3

因为取e"9=36，所以g=36x3，故所求的回归方程为y=36x^.

②设年收益为z万兀，则z=3y-x=3x36/-%=1()8--x

令［=)>0，则z=108f-/，z'=108-3产=—3(/_36),当0</<6时，z'>0,

当t>6时，z'<0,所以当1=6,即x=216时，z有最大值432.

即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元.

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用.在求指

数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程.

19.(1)证明见解析；(2)30。.

【解析】

(1)推导出CO//8Q,QB1AD,从而平面由此证明平面产。3,平面以卓。；

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.

【详解】

解：（1）AO//8C,BC=-AD,。为A£>的中点，

二.四边形BCOQ为平行四边形，CO//BQ.

ZADC=90°ZAQB=90°,即QB_L.

又・.・平面BAD，平面ABC。，且平面24。口平面的8=4）,

SQ_L平面PAD.

平面PQB_L平面PAD.

（2）vPA^PD,。为AD的中点，

PQYAD.

••・平面/VLDJ_平面ABCZ）,且平面PADD平面ABC£>=AD,

AP。，平面ABCO.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1),

0(0,0,0),P(0,0,V3),8(0,2,0),C(-l,2,0),

设M(x,y,z),则PM=k，y,z-6),MC=(-\-x,2-y,-z),

PM=3MC^

x=3(-1-x)

二<3(2-j),

z-6=-3z

3

x-——

4

3

G

z-——

4

在平面MBQ中，9=（0,2,0）,丽=[一]，：，平],

I4247

设平面MBQ的法向量为m=（x,y,z）,

2y=0

m-QB=0

则_，即33G八，

mQM=0

〔424

平面MQB的一个法向量为五=

.(1,0,73)-(0,0,1)由

-cos(m,n)=----------------------=——，

22

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30。.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.

20.（1）丫1=J"2T—2"—6，3].必~,x€[2,3],

VxV4x2

（2）当AO=几百米时，两条直道的长度之和取得最小值6+乎）百米.

【解析】

2

（1）由5»此=§5.昵，可解得AE.方法一：再在AM应中，利用余弦定理，可得弘关于x的函数关系式；在AADE

和A4EM中，利用余弦定理，可得力关于x的函数关系式.方法二：在八4。石中，可得方后=通-而，则有

DE2=AE-2AEAD+AD2＞化简整理即得；同理人冠=；（A方+荏），化简整理即得.（2）由（1）和基本不等

式，计算即得.

【详解】

2

解：（1）•■SAAI）E=-SAAHC,AABC是边长为3的等边三角形，又A。=x,

I.C.L2rle2•万、”.6

-A.D•A.E•sin—=——x3xsin—.A,E——.

233l23）x

0<AD=x<3

由<0<AE=%3,得2<x<3.

x

法1：在AADE中，由余弦定理，得

DE2=AD2+AE2-2ADAE-COS-=X2+^--6.

3x2

故直道DE长度,关于X的函数关系式为y=+¥-6,xG[2,3].

在A4DE和AA£M中，由余弦定理，得

AD?=QV+41〃-2£)M•AM•cosNAMO…①

松=七“卡加/..cos（乃-ZAMQ）…②

因为M为£>石的中点，所以。例=用0=,。后.

2

由①+②，^AD2+AE2^DM2+EM2+2AM2=-DE2+2AM2,

2

所以炉+（9]=[（无2+¥—61+2A〃2,所以4用2=二+>+。.

UJx2）4x22

所以，直道AM长度力关于x的函数关系式为

>2=不?+（+：'xe[2,3].

法2：因为在ZW）石中，DE=AE-AD>

所以诙2=/_2醺.而+诟2=j£]-2--xcos^+x2=X2+^$-6.

\x）x3x

所以，直道OE长度川关于x的函数关系式为》=小》2+居一6,XG[2,3].

在&4。七中，因为M为OE的中点，所以画7=g（而+质）.

222

所以而2=l（AD+A£+2AD-A£）=^fx+^+6^.

所以，直道AM长度为关于x的函数关系式为%=,1•+当+|，%€[2,3].

（2）由（1）得，两条直道的长度之和为

故当AO=几百米时，两条直道的长度之和取得最小值|逐+｛—J百米.

【点睛】

本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.

33

21.(1)-n2--n(2)证明见解析(3)证明见解析

44

【解析】

(1)由｛%｝是递增数列，得a=〃-2一由此能求出也｝的前〃项和.

(2)推导出％池(〃=1,2,3,…),max｛4也，…也｝一min也也，…也｝=〃-4=以,由此能证明也｝的“极差

数歹U”仍是也｝.

⑶证当数列也｝是等差数列时，设其公差为M,。=&詈-"'I；〃*=M”丁缶-乌亨日=优,

｛4｝是一个单调递增数列，从而吃=。“，mn=a,,由d，>0,d'<0,d'=0,分类讨论，能证明若数列也｝是

等差数列，则数列｛q｝也是等差数列.

【详解】

(D解：••・无穷数列｛4｝的前〃项中最大值为M“，最小值为/%,二,an=3n-