不定方程-比例问题（教师版）

试卷

学校姓名：班级：考号：

I.(2019重庆市凤鸣山中学七年级期中）小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A、B两种不

同单价的水果．第一次购买A种水果的数量比B种水果的数量多50%，第二次购买A种水果的数量比第一次购买

A种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数散比第一次购买水果的总数显多20%，且第二次购买A、B

水果的总费用比第一次购买A、B水果的总费用少10%（两次购买中A、B两种水果的单价不变），则B种水果的

单价与A种水果的单价的比值是.

【答案】－

【解析】

【分析】

根据水果数量的等揽关系，可设第一次购买B种水果数扯为X个，用X分别表示第一次购买A种水果的数扯和第二

次购买两种水果的数世．再分别设两种水果的单价为a元和b元，根据两次购买价钱的等岱关系列方程，所列方程

中X是可以约去的，化简即得到a与b的数量关系．

【详解】

解：设第一次购买B种水果数械为x,

．．．第一次购买A种水果的数最为：(1+50%)x=-=:-x,

323

···第二次购买A种水果数最为：-x(I-60%)=7x--:-=~x,

255

56

:.第二次购买水果的总数量为：(-x+x)(I+20%)=::-x.....=3x,

25

312

第二次购买B种水果个数为：3x--=-x=—x,

55

33.12

设A种水果单价为a元，B种水果单价为b元，依题意得：（小一x+bx)(l-10%)=G"7X+b"7"X,

255

化简得：a＝幼

bI

..--

a2

I

...B水果的单价与A水果的单价的比值是—,

2

故答案为：-

【点睛】

本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简

求值．

2.(2021重庆一中九年级期末）随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁己挂满了各色灯饰，主要有随风舞动

的“水母＂、亭亭玉立的“麦穗＇和绚烂夺目的“星球＇三类主题灯饰，他们的数世比为3:4:2.每个灯饰均由A、

B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和，已知1个“水母“灯饰由1个A灯管、4

个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗＂灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母“灯饰的成

本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球“灯饰的成本比1个“水母“灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一

次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗＂灯饰的安装费占到了

三种灯饰总安装费的—，而“麦穗“灯饰总费用是三类主题灯饰总费用的一，且“麦穗“灯饰、“星球“灯饰的总费用

15

之比为8:7,则“星球＇灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是.

【答案】1:10.

【解析】

【分析】

设“水母“灯饰的数量为3x,“麦穗＂灯饰的数量为4x,“星球＇灯饰的数量为2x;一个A灯管的成本为a'一个B灯

管的成本为b,一个C灯管的成本为C'再分别表示所有“水母“灯饰的总成本为3x.5a=15ctx,所有“麦穗“灯饰的

总成本为4x•4a=l6ax,所有“星球＇灯饰的总成本为2x•7a=14ax,设“麦穗＇灯饰的安装费用为Y,则“水母“灯饰

和＇星球“灯饰的安装费用和为5y-y=4y,设“水母“灯饰的安装费用为w,则“星球“灯饰的安装费用为4y-w,

4l7

再求解“麦穗“灯饰的总费用与“水母“灯饰的总费用与“星球＇灯饰的总费用之比为一：—：一＝8:15:7,再列方程

15230

15

l5ax+w=—(16ax+y)

组[87，求解ax,y，再表示“星球“灯饰的安装费为4y-w＝卢w,三类主题灯饰总费用

14ax+4y-w=-;;-(16ctx+y)

8

l4

为：ISax+I6a.x+l4ax+5y=~w,从而可得答案

【详解】

解：设＇水母“灯饰的数掀为3x,“麦穗＇灯饰的数量为4x,“星球＇灯饰的数量为2x；一个A灯管的成本为a,一个

B灯管的成本为b,一个C灯管的成本为c,

则每个“水母“灯饰的成本为(a+4b+2c),

·:a+4b+2c=Sa,

:.2b+c=2a,

每个“麦穗＇灯饰的成本为(2a+2b+c)=2a+2a=4a,

每个“星球＇灯饰的成本为(l+40%)•Sa=7a,

则所有“水母“灯饰的总成本为3x-5a=15ax,

所有“麦穗“灯饰的总成本为4x4a=16ax,

所有“星球＇灯饰的总成本为2x07a=14ax,

设“麦穗＇灯饰的安装费用为Y,则“水母“灯饰和｀星球“灯饰的安装费用和为5y-y=4y,

设“水母“灯饰的安装费用为w,则“星球”灯饰的安装费用为4y-w,

4

．：“麦穗＇灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的一，且“麦穗＇灯饰与“星球”灯饰的总费用之比为8:7,

15

4

·:—+8x7=—

1530

·.“星球”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的—,

30

471

.“水母“灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的l-—-—=—,

15302

417

．“麦穗“灯饰的总费用与“水母“灯饰的总费用与“星球＇灯饰的总费用之比为—:-：—=8:15:7,

15230

』15ax+w=：(l6ax+y)

l4ax+4y-w=-;;-(16ax+y)

8

整理得{120ax+l5y—8w=O'

25y=8w

解得{:==tw

8

...“星球＇灯饰的安装费为4y-w=4x—w-w=-;:-::w,

2525

．．．三类主题灯饰总费用为：

2814

15a.x+16ax+J4ax+5y=45ax+5y=45x—W+5x—w=—w,

75255

714

·.“星球＇灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比为—w:—w=l:10.

255

故答案为1:10.

【点睛】

本题考查的是类二元一次方程组的应用，掌握把某些量看作是已知批，列方程组，解方程组是解题的关键．

3.(2021重庆南岸一模）随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了

多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客．3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数炽之比

为3:3:4.为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待

的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基

础上将减少－．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的一，而亲子游乐园、劳动

体验园4月份接待游客人数之比将达到3:2,则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是

3

【答案】—

10

【解析】

【分析】

设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数矗分别为3a,3a,4a,求出4月多彩植物园的人数，得

到4月接待总人数，设4月亲子游乐园人数为m,根据4月亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将

36

达到3:2,得到m＝一a，再根据题意求出比值．

【详解】

解：设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a,3a,4a,

则4月多彩植物园的游客人数为3a(l--)=2a,

:.4月接待总人数为2妒－＝14a,

:.4月亲子游乐囮、劳动体验园接待游客数星为12a,

设4月亲子游乐园人数为m,则劳动体验园人数为12a-m,

m3

由题意可得：=-

12a-m2

36

解得：m=7a,

5

:.4月亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比为：

36

-a-3a3

14a10

故答案为：—

10

【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，题干较长，解题时要细心认真读题，理消题中的条件，用字母表示出相关谥，

再进行运算．

4.(2021里庆巴蜀中学二模）“手中有粮，心中不慌＂．为优选品种，提高农作物产量，某农业科技小组对A,

B,C三个小麦品种进行种植对比研究．去年A,B,C三个品种各种植了相同的面积，但产量不同．收获后A,

B,C三个品种的售价之比为2:3:5,全部售出后，三个品种的总销售额是其中C品种销售额的3倍．今年，科技

小组加大了小麦种植的科研力度，在A,B,C种植亩数不变的情况下，预计A,B,C三个品种平均亩产量将在去

lll

年的基础上分别增加－，－和—．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨50%,A,

564

C两个品种的售价不变．若B,C两个品种今年全部售出后销售额之比是7:6.则今年A,C两个品种的产量之比

定

【答案】14:5

【解析】

【分析】

设去年各种植了又亩，去年A,B,C三个品种的亩产分别为u、V、W,计算得出今年亩产分别为(1+7)u、

(1+—)v、(I+—)w,今年B的售价为3x(l+50%），根据题意列式计算即可求解．

64

【详解】

设去年各种植了x亩，去年A,B,C三个品种的亩产分别为u、V、W,根据题意得到表格：

ABC

去年面积XXX

去年亩产u\IW

去年售价235

1l

今年亩产(1+-)u(l+~61)v(l+-)w

54

今年售价23x(1+50%)5

由表格以及题意得：2ux+3灯＋5xw=3x5xw,4.5x-~v:5x-.::.wx=7:6;

64

两式整理得：2u+3v=10w,18v=25w,

消去叶导：l2u=35w,

6

-u

.5~_24u_2X35W_]4

••5=-=-=

-w25w25w5

4

故今年A,C两个品种的产扯之比是14:5.

故答案为：14:5.

【点睛】

本题考查了三元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．注意设而不求、方程思想的应用．

5.(2021重庆西南大学附中九年级开学考试）某知名服装品牌在北硝共有A、B、C三个实体店．由千疫情的影

响，第一季度A、B、C三店的营业额之比为3:4:5,随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的

24

总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的一，第二季度B店的营业额占总营业额的一，为了

13

使A店与C店在第二季度的营业额之比为5:4,则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为

7

【答案】—

26

【解析】

【分析】

设第一季度A、B、C三店的营业额分别为3x,4x,5x,第二季度A店、C店的营业额为5y、4y,根据题意求得Y与

X的关系y=2x，第二季度B店的营业额4y，第二季度总营业额为13y,则第二季度A店增加的营业额与第二季

5y-3x

度总营业额的比值为，即可求解

13y

【详解】

解：？第一季度A、B、C三店的营业额之比为3:4:5

：．设第一季度A、B、C三店的营业额分别为3x,4x,5x

？第二季度A店与C店在第二季度的营业额之比为5:4

:．设第二季度A店、C店的营业额为5y、4y,B店的营业额为z

？第二季度B店的营业额占总营业额的—,

13

•••z＝—,4解得z=4y

5y+4y+z13

:．第二季度总营业额为13y

·:B店增加的营业额占总增加的营业额的—

4y-4x2

=-，解得y=2x

··13y-12x7

5y-3x7

第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为=-

l3y26

【点睛l

此题考查了分式方程的应用，理解题意设合适的未知数，弄清楚题中的等量关系是解题的关键．

6.(2022重庆西南大学附中七年级期末）某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研

究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5:3:2,甲、乙、丙三种水果的平均亩产旦之比为6:3:5.今

年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年

的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产显在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．其中

甲、乙两种品种水果的产量之比为3:1,乙、丙两种品种水果的产量之比为6:5，丙品种水果增加的产械占今年

水果总产位的—，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为

87

【答案】5:7##~

【解析】

【分析】

设去年甲、乙、丙三种水果的种植面积分别为：5x,3x,2x,设去年甲、乙、丙三种水果的平均亩产撮分别为：

9agn3.6吽n_6

6a,3a,5a,设今年的种植面积分别为：m,n,f,再根据题中相等关系列方程：一—-＝3(D,一——=－@，求

3.6a驴5agf5

5

解：m=l.2n,f=0.6n,再利用丙品种水果增加的产虽占今年水果总产拯的一，列方程

87

5agf-5a心＝—（9agn+3.6a驴＋5agf），求解x=—n,从而可得答案．

87

【详解】

解：．争·去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5:3:2,

设去年甲、乙、丙三种水果的种植面积分别为：5x,3x,2x,

·:去年甲、乙、丙三种水果的平均亩产岱之比为6:3:5,

设去年甲、乙、丙三种水果的平均亩产懿分别为：6a,3a,5a,

则今年甲品种水果的平均亩产量为：6a?(150%)=9a,

乙品种水果的平均亩产量为：3a(l+20%)=3.6a,丙品种的平均亩产觉为5a,

设今年的种植面积分别为：m,n,f,

·:甲、乙两种品种水果的产量之比为3:l,乙、丙两种品种水果的产鼓之比为6:5,

9a穸13.6a驴6

\=3CD,=-@,

3.6咚n5dgf5

解得：m=l.2n,f=0.6n,

又丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的—,

87

\5agf-5a心＝—（9agn+3.6a驴＋5agf），

87

\87?5ag).6n87?Sa孚x4Sa?1.2nl8an+lSan,

解得：x=~n,

所以三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为：

l0x=2n三

m+n+f1.2n+n+0.6n7

故答案为：5:7.

【点睛】

本题考查的是三元一次方程组的应用，设出合适的未知数与参数，确定相等关系，建立方程组，寻求未知量之间

的关系是解本题的关键．

7.(2022重庆巴蜀中学七年级期末）新春佳节享团圆，吉祥如意在虎年！新年将至，某超市第一周销售吉祥、如

意、团圆三种年货礼包的数位之比为3:l:4,吉祥、如意、团圆三种年货礼包的单价之比为l:5:2.第二周由千人

工成本的增加，超市管理人员把如意礼包的单价在第一周的基础上上调20%，吉祥、团圆礼包的单价保持不变，

预计第二周三种年货礼包的销售总额比第一周有所增加，其中团圆礼包增加的销售额占第二周总销售额—，如意

12

19

礼包和团圆礼包的销售额之比是3:4,三种礼包的数量之和比第一周增加一恤，则团圆礼包第一周与第二周的数量

32

之比为

【答案】4:5

【解析】

【分析】

设某超市第一周销售吉祥、如意、团圆三种年货礼包的数亚为3a,a,4a,三种年货礼包的单价为b,5b,2b，则

第一周销售额可得；设第二周如意年货礼包的销售数量为y,由于第二周礼包的单价在第一周的基础上上调20%,

所以第二周礼包的单价为6y,销售额为6by,则团圆礼包第二周销售额为8by，利用已知条件列出方程求解即可

【详解】

解：设某超市第一周销售吉祥、如意、团圆三种年货礼包的数谥为3a,a,4a,三种年货礼包的单价为b,5b,

2b,则第二周三种年货的售价为：b,5bxl.2=6b,2b;

设第二周三种年货的销量分别为X,y,Z,

？如意礼包和团圆礼包的销售额之比是3:4,

:.6by:2bz=3:4

:.z=4y

第二周团圆包增加的销售额为：2bx4y-2bx4a=8b(y-a)

？团圆礼包增加的销售额占第二周总销售额—,

12

:.b(x+l4y)x一＝8b(y-a)

12

:.x=82y-96a

19

？三种礼包的数扯之和比第一周增加—,

32

19

:.x+y+z=(3a+a+4a)x(1+—)

32

51

:.82y-96a+y+4y=—a

4

:.y:a=S:4

:．团圆礼包第一周与第二周的数谥之比为4a:4y=a:y=4:5

故答案为：4:5

【点睛】

本题考查三元一次方程的应用；理解题意，能够通过所给的扯之间的关系列出正确的方程是解题的关键．

8.(2021·重庆九年级期中）一驴友分三次从M地出发沿着不同线路(A线、B线、C线）去N地，在每条线路

上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等；B

线、C线路程相等，都比A线路程多32%;A线总时间等千C线总时间的一半；他用了3小时穿越丛林、2小时涉

水行走和2小时攀登走完A线；在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了

20%、50%、50%．若他用了X小时穿越丛林、Y小时涉水行走