2014学年第二学期期末卷答题附答案

厦门厦门大学答题卷考生信考生信息＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿栏装订—二三四五六七八九十—二三四五六七八九十线（请打√A（）B（线名称、考试时间和地点、A/B卷。（5）Izdv，其中z

2x2y2zx2y2

y2z

2x

y2,(x,y)D其中

y

1，用柱坐标系，

2r Izdvddrrzdz12 r（5）已知空间立体zx2y2z0xx0(x,yz)x，求立体的质量

1y2线xy线

11订M订

(x,y,

-

x 5解二：依题意1x2(x,y,z)0x1x2装1所以立体装1

1x21x2

1x2,0zx2y2考生信息＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿考生信息＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿＿＿年级栏

(x,y,

0dx

1xx21x

5解三：依题意(x,y

(x,y)Dxy

0zx21y其中Dxy为xoy平面上由曲线x ，x0所围成的平面区域.所1yM(x,y,xx

x(x2y2 0022d00

r4cosdr25解四依题意，(xy

(x,y)Dxy

0zx2y2，其中 为xoy平面上由1y线x ，x0所围成的平面区域.1yM

(x,y,

1 1 2

2rr

r2cosdz5（6分）计算曲线积分dxdyLA(10到L|x||y再从C(0,1B(10)AC，CBy1x,y1

1dxdy dxdy

dx

2L|x||y ACx

CBx=01(1)dx1 11

21x(1 0x(1=0

2dx

1四、(6分)设(x3y))dxy36xy)dy与路径无关，其中具有连续的导数，且(00.L数u(x,y使得du(xy)x3y))dxy36xy)dy并计算(1,1)(x3y))dxy36xy)dy解:由题意知

(y3

(x3( 即y)6y又(0)0,得y3y2.

3 4 4u(x,y)x3dx(y36xy)dy

C 取C0,得u(x,y) 3xy (1,1)(x3(y))dx(y36xy)dyu(1,1)u(0,0)5

3 2 （5分）计算(x2y2dS，其中z2x2y2z1z0所截得的部分解：

:{(x,y)|x2y21},z

1(x2y2

=(x2y2)1(zx)2(zy)2=2(x2y2

22 =22d1r3dr2

2（10分）计算(xz)dydzzdxdy其中zx2y2(0z1的下侧 1：记zz1(x2y21D为xoy (xz)dydzzdxdyzdxdydxdy 设表示由和1所围成的空间区域，则由 ，

0

0rdr

)rdr0因 (xz)dydzzdxdyz2DyzDxy分别为yozzz(xz)dydzzdxdyz

z)dydz

z)(dydz)(x2y22

zy2dydz(x2y2

4 zz其

zy2dydz

dyy

(1y2)2dy 3 (x2y2)dxdy2d1r2rdr

所以(xz)dydzzdxdy2

zy2dydz(x2y2)dydz2

解法3：设D为xoy平面上的投影区域，则zx2y2xyDxyx2y2 在曲面z2xz2ycos

14x214x24

2

14x214x24114x24dydzcosdxdy2xdxdy(xz)dydzzdxdy[xz(x,y)](2x)z(x, [x(x2y2)](2x)(x2y2(y2x2)2x(x2y2(x2y2

(积分区域关于y轴对称，被积表达式x(x2y2关于x为奇函数

七、(10分)F(xyz

0F

F

F2 x

y

zdvFndS 其中是光滑封闭曲面FF沿曲面的单位外法线方向n的方向导数证明：记ncoscos,cos为曲面FFcosFcosFcos

FndSFxcosycoszcos FFdydzFFdzdxFF

F F FFndSxFxyFyzFz

2F

2F

2F

F

F

F2

z2Fdvxy

z

0 F

F

F2FndSx

y

z 八（共8分，每小题4分）判断下列级数的敛散性.如果收敛，请是绝对收敛还是条件收敛3 3

2narctann

n11 n n3 3

解（1） 2narctann

n2narctann2narctann

2narctann

nn

1

n2arctan

2 所以 2narctann

11（2）因 n 3n

,n,2而级数3n1n（10分）f(x)

x2x

将f(x)展开成林级数（2）将f(x)展开成x1的幂级数 （1） x2x x

x2

1 x2f

x

x

1]xn

f(x) x

x 4

x14

1(x

x11即0x2时3 44f(x) 44

(x

2(x[3(1)n2](x1)n

nln(11十、(10分)证明级数1

条件收敛f(x)ln(1x)f(x)1ln(1x)x2f(x)01 (1所以当n2时

limln(1n)limln(1x)

01

1

1

x1 判别法知，级数

(1)nln(1n)收敛1又当n2时(1)nln(1

1，由于级数

1

(1)nln(1n)发散故级数

1(1)nln(1n)条件收敛1

n

n1n

1（10）

2n1

2n(2n1的和.2n22n2n解：lim

1x1，故R1.nun

x1

2n1x(1,1 设S(x)2n1x2n1x2n1

1而

x2n2 n12n1

n

1x2n1

x dx1ln1

2n

01

1x

1即S(x)2n12ln1x xln1x

1

22 1n12n(2 1

122十二（10分）设f(x)是周期为2π的周期函数，且当πxπ时，f(x)x2x.将f(x)展开成级数122解：f(x)的系数a

πf(x)dx

π(x2x)dx

πx2dx2π2 π

π

π a1πf(x)cosnxdx1π(x2x)cos π π2πx2cosnxdx2[x21sinnxπ2πxsinπ

n4[x1cosnxπ1πcos

n4(1)nb1πf(x)sinnxdx1π(x2x)sin π π2πxsinnxdx2[x1cosnxπ1πcosπ

n2n

n f(x

x

(1)[2cosnx sin 3 3

xπ,3π,5π,

2（5分）已知数列un为单调增加且有界的正数数列，试证明：级数1n是收敛的n1 un1证明：因为数列