河南省许平汝九校联盟2022年高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在R上的偶函数/'(幻，当时，/(x)="—三手，设a=/(ln0),b=/(、/^),c=/(ln¥),

则()

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.c>a>b

29

2.设尸为双曲线c：0—5=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以。产为直径的圆与圆“2+俨=〃2交于尸、Q

a2b2

两点.若|P?I=|O尸I，则。的离心率为

A.V2B.73

C.2D.75

3.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N(85,b2),且尸(60<X<85)=0.3.从

中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()

A.40B.60C.80D.100

4.已知数列｛%｝为等差数列，S“为其前〃项和，4+%=4+4。，则S?i=()

A.7C.28D.84

5.执行如图所示的程序框图若输入〃=,，则输出的”的值为()

2

3

A.-B.2C.—D.3

22

2乃.2%

6.若i为虚数单位，则复数Z=-sin——4-1COS7的共趣复数5在复平面内对应的点位于（）

3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2、—x,x..0,

7.已知函数./■（》）=■贝！)./■(/(-1))=()

Y+1,九<0,'

A.2B.3C.4D.5

=/（x）-◎在区间（0/）上有三个零点，则实数a的取值范围是（

8.设/(x)=MR,若函数g(x)=)

9.已知角a的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(a-13°)=

10.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆后:=+与=1（。＞人＞0）的右焦点为/（c,。），若尸到直线2区一欧=0的

ab

距离为与C,则E的离心率为（）

A.昱B.1C.也D.克

2223

x+y<2

11.若变量x，y,满足《2x-3yW9,则f+y2的最大值为（）

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

12.如图，长方体ABCD-A与GR中，2AB=3A4i=6,即=2而,点T在棱人片上，若7P_L平面PBC.则

UliUUU

TPB、B=()

C.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

2-|x|,x<2,

13.已知函数/（》）={/、2函数g(x)=b-/(2-x),其中beR,若函数y=/(x)-g(x)恰

（x-2）,x>2,

有4个零点，贝必的取值范围是

14.已知集合4={幻%=%+%・3+。2,32+%,33},其中4w{(),l,2},Z=(H2,3.且6工0，则集合A中所有元素

的和为.

15.函数〃x）=s由（2x+?的最小正周期为;若函数“X）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为

x>0

16.满足线性的约束条件y的目标函数z=2x-），的最大值为

x+y<2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在直三棱柱中ABC-A用C，D、E、F、G分别是8C,B©,A4,，Cg中点，且43=AC=2e，

8C=明=4.

(1)求证：BC，平面ADE;

(2)求点D到平面EFG的距离.

18.(12分)底面ABC。为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若ZM=Z)"=Q3=4,

(1)求证：EGIDFi

(2)求二面角A—彼―C的正弦值.

X=-3H—

厂2.(/为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半

19.(12分)在直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为，

y=——t

2

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22-4pcos。+3=0.

(1)求/的普通方程及。的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点P至心距离的取值范围.

20.(12分)在数列｛4｝和等比数列也｝中，4=0,%=2,勿=25(〃eN*).

(1)求数列也｝及也｝的通项公式；

(2)若c“=ga”b”,求数列｛%｝的前〃项和S“.

21.(12分)已知椭圆C：5+y2=i的左、右焦点分别为「，心，直线/垂直于x轴，垂足为T,与抛物线y2=4x交于

不同的两点P,。，且瓦»及±=—5,过后的直线机与椭圆。交于A,B两点，设可=4耳及且.

(1)求点T的坐标；

(2)求|春+屈|的取值范围.

22.(10分)已知函数/(幻=%2一2xlnx,函数g(x)=兀+色一(Inx)2,其中aeR,玉,是g(x)的一个极值点，且

X

g(%)=2.

(1)讨论/(x)的单调性

(2)求实数无。和。的值

(3)证明£八1〉，ln(2〃+l)(〃eN")

k=i\J4k--12

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据偶函数性质，可判断出。关系；由x»()时，/(x)=e'-二|在，求得导函数，并构造函数g(x)=e'-

由g'(x)进而判断函数fM在0时的单调性，即可比较大小.

【详解】

/(x)为定义在R上的偶函数，

所以c=/In^y=f-In^y=/(ln0)

所以a=c；

龙？+

当工»0时，/(x)="—三2x，

贝!|r(x)=e-,

令g(x)=e*—x—l

贝!|g'(x)=，-l,当x?0时，g\x)=ex-l>0,

则g(x)=e'-x-l在xNO时单调递增，

因为g(O)=e°—O—l=O,所以g(x)="—x—12O,

即f'(x)=e'-x-i>Q,

则/(尤)=，一三三在0时单调递增，

而0<ln血<0，所以

/(ln^)</(V2),

综上可知，/(in等)=

即a=c<Z?,

故选：B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

2.A

【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.

【详解】

设PQ与x轴交于点A，由对称性可知尸。，大轴，

又・・・|PQRO/q=c,.•.|24|=泉・・.24为以QF为直径的圆的半径，

.・.4为圆心|。川=|・

「.尸[],1],又P点在圆/+J?="上，

e=\/2，故选A.

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，

运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半

功倍，信手拈来.

3.D

【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到P(XN110)=P(XW60),求出概率，再由题中数据，即可求出结果.

【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N(85,CT2),

则正态分布曲线的对称轴为x=85,

根据正态分布曲线的对称性，求得P(X2110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为500x0.2=1(X)人，

故选:。.

【点睛】

本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.

4.D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到%=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

•.•4+%=4+%o，

「・4+4]—6d=4]—5d+41—d

解得知=4.

..§21=型气42=21孙=84.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

5.C

【解析】

由程序语言依次计算，直到a<人时输出即可

【详解】

程序的运行过程为

135_

n12

222

531

a—2—1—

222

bIn-0后In2In-

222

当〃=2时，l>ln2；〃=3时，—<In—,此时输出〃=*.

2222

故选：C

【点睛】

本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题

6.B

【解析】

由共舸复数的定义得到I，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解

【详解】

由题意得三=-sin^--zcos^-,

33

因为-sin^^=-赵^<0,—cos--=—>0,

3232

所以5在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

【点睛】

本题考查了共轨复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.

【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

Y—Xx0

因为/(%)=，1,二所以/(/(一1))=〃2)=22-2=2.

x+l,x<0,

故选：A-

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

8.D

【解析】

令g(x)=/(x)-公=0,可得/(x)=ox.

在坐标系内画出函数/(x)=|lnx|的图象(如图所示).

当％>1时，/(%)=欣.由丁=111*得；/=2.

设过原点的直线y=分与函数y=/“x的图象切于点A(Xo，ln/),

则有《J_，解得<

xo

所以当直线y=*与函数丫=/〃x的图象切时

e

又当直线y="经过点Bd，2)时，有2=。十2,解得

结合图象可得当直线y=6与函数/(x)=|lnx|的图象有3个交点时，实数"的取值范围是

即函数g(x)=/(x)—以在区间(Qi)上有三个零点时，实数a的取值范围是选D.

点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复

杂的函数的零点问题常用此方法求解.

9.A

【解析】

由题意可得三角函数的定义可知：

.COS47°sin47°.l

sincr=——；--------；----=cos47,cosa=——-------------=sin47,贝1!mI：

sin247°+cos247°sin247°+cos247°

sin（a-13。）=sinacos130-cosasin13°

=cos470cos13°-sin470sin13°

=cos（47+13）=cos60=1.

本题选择A选项.

10.A

【解析】

由已知可得到直线2区-砂=()的倾斜角为45°，有二二1，再利用々2=〃+/即可解决.

a

【详解】

由尸到直线2笈-砂=0的距离为得直线2区-ay=0的倾斜角为45。，所以殳=1，

2a

gp4（a2-c2）=«2,解得e=等.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于4c的方程或不等式，本题是一道容易

题.

11.D

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可.

【详解】

解：画出满足条件2x-3y<9的平面区域，如图示：

x>0

如图点坐标分别为A（0,—3）,B（3,—l）,C（0,2）,

目标函数f+y2的几何意义为，可行域内点（x,y）与坐标原点（0,0）的距离的平方，由图可知B（3,-l）到原点的距离

最大,故，+力=32+（-1）2=10.

\/max'/

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题.

12.D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知7Plp3;结合羸=2函即可证明AP7A343尸用，进而求得7A•由线段关系及平

UUUUU

面向量数量积定义即可求得出.

【详解】

长方体ABCD-中，2AB=3A4]=6,

点7在棱A4上，若7P_L平面PBC.

则7P_LP8，帚=2P反

则APTAX=NBPBi,所以APL4]s\BPBX,

贝lJL4i=PB]=1,

uiruuirIUITI.uuir

所以TP・8]B=7P•qB・cos/尸7X

=物+:x2x(--—]=-2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.?2

【解析】

2-|x|,x<2,

(x-2)',x>2,

2—12—,x..0

“(2-x)={

x2,x<0

■:函数产/U)-g(*)恰好有四个零点，

•••方程加)-g(x)=0有四个解，

即/(*)/2-*)-8=0有四个解，

即函数y=/(x)t/(2r)与y=b的图象有四个交点,

x2+x+2,x<0

y=/(x)+/(2-x)={2,喷/2,

x2-5x+8,x>2

作函数y=f(x)+f(2-x)-^y=b的图象如下,

结合图象可知,

7,

一<b<2

49

故答案为

点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求

值，当出现加S））的形式时，应从内到外依次求值.

⑵当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量

的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

14.2889

【解析】

先计算集合中最小的数为27,最大的数为80,可得A={27,28,…,80},求和即得解.

【详解】

当%=1,4=6=4=。时，集合中最小数=27；

当/=2=4=%=2时，得到集合中最大的数2X（L^）=80；

1-3

nA={27,28,…,80}n%=（27+80）x54

=2889

（=272

故答案为：2889

【点睛】

本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

71

15.兀—

8

【解析】

直接计算得到答案，根据题意得到+++解得答案.

4（44）42

【详解】

/（x）=sin（2x+：）,故7=券=1，当xe（0,a）时，2x+?w+

故2a+[<g,解得tzwg.

428

TT

故答案为：乃；—.

8

【点睛】

本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

16.1

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用z=2x-y的几何意义，可求出目标函数的最大值。

【详解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如图所示:

平移直线y=2x-z,由图像知，当直线经过点C时，截距最小，此时工取得最大值。

x-y=Ofx=l

由<.c八，解得〈，，代入直线z=2x—y,得Z=2xl—1=1。

x+y-2=0[y=l

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)详见解析；(2)上叵.

3

【解析】

(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

(2)取DE中点为H，则尸"幺A。，证得FH，平面BCC^，利用等体积法%*°=VF.DEG求解即可.

【详解】

(1)因为AB=AC=20，BC=4,

:.ABYAC,QO是8c的中点，：.AD±BC,

vABC-ABCi为直三棱柱，所以人平面ABC,

因为DE为BC,qq中点，所以。E//A4,

.•.£＞石_1_平面48。，..。£，8。，又ADcDE=D,

.•.BCJ_平面ADE

(2)-.■AB=AC=2y/2,BC=4,

又E,F,G分别是A4,-C0中点，

:.EF=FG=EG=2&

由(1)知ADLBC,BBtlAD,

又8月ABC=8AD,平面BCCM,

取。E中点为H,连接DG如图,

则FH/^AD,...FHj_平面BCC.B,,

设点D到平面EFG的距离为h，

由Y"EFG=VF-DEG'得］〃S&EFG=g,FH•SDEG,

即弓(20)2=1X2X1X2V2X2V2,解得〃=手，

•••点D到平面EFG的距离为巫.

3

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握

线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.

18.(1)见解析；(2)sin^=—

4

【解析】

(1)先由线面垂直的判定定理证明EG_L平面再证明线线垂直即可；

(2)建立空间直角坐标系，求平面AEH的一个法向量与平面CFH的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.

【详解】

(D证明：连接AC,由AE,CG平行且相等，可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG//AC.

由题意易知AC_L8O,ACA.BF,所以EG上BD,EGLBF,

因为尸=8,所以EG,平面

又。Eu平面尸，所以£G_LDF.

(2)设ACn8O=O,EGC\HF=P,由已知可得：平面ADHE//平面BCGF,

所以EH//FG,同理可得：EF//HG,所以四边形EFGH为平行四边形，

所以P为EG的中点，。为AC的中点，所以。RAE平行且相等，从而OPL平面ABCO,

又所以。4,OB,0P两两垂直，如图，建立空间直角坐标系。一孙z,

OP=3,DH=4,由平面几何知识，得BF=2.

则A(2g,0,0),C(-2>/3,0,0),F(0,2,2),H(0,-2,4),

所以标=(—26,2,2),瓯=(26,2,2),HF=(0,4,-2).

,-/、,fA.Fn=0___一2\/^x+2y+2z=0

设平面A/77的法向量为〃=(x,y,z),由〈——，可得<，

'7[HF-n=0|4y_2z=0

令y=l,则z=2,x=B所以7=(百,1,2上同理，平面CEH的一个法向量为布=卜6,1,2).

设平面AFH与平面CFH所成角为。，

m-n-3+1+41…叵

则|cose|———=~»所以sin8=

|/7?||n|瓜瓜4丁

本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重点考查了空间向量的应用，属中档题.

573।564

19.(1)&-y+3省=(),X2+/-4X+3=0.(2)----------1.----------r1

22

【解析】

X=-34—,

厂2。为参数)，消去参数乙即可求得的/的普通方程，曲线。的极坐标方

(1)根据直线/的参数方程为

6

y=——t

,2

x=pcosO

程为-4pcos6+3=0,利用极坐标化直角坐标的公式:<y=^n0'即可求得答案;

(2)C的标准方程为(x-2>+y2=i,圆心为C(2,0),半径为1,根据点到直线距离公式，即可求得答案.

【详解】

X——3H—,

厂2a为参数)，消去参数/

(1)直线/的参数方程为〈

y=一t

2

；./的普通方程为Gx—y+36=0.

曲线。的极坐标方程为02_42cos6+3=0,

x=pcosO

利用极坐标化直角坐标的公式:

y=psinO

・•.C的直角坐标方程为f+y2-4x+3=o.

(2)C的标准方程为(x—2)2+y2=1,圆心为C(2,0),半径为1

圆心C至心的距离为d=-—0+3回=573

22

5615百4

・•.点P到/的距离的取值范围是

22

【点睛】

本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

20.(1)4=〃-1,bn=2"(2)S“=2+(〃-2)x2"

【解析】

⑴根据q=0与4=2可求得俗=2也=2$=8再根据等比数列的基本量求解即可.

(2)由(1)可得c„=(〃-1)x2“T，再利用错位相减求和即可.

【详解】

解:

(1)依题意4=2,4=23=8,

设数列也｝的公比为%由bn=2""M>0,可知g>0,

由4=々=2xq2=8,得d=4,又4>0,则q=2,

故a=b0i=2x2"T=2",

又由2%+I=2",得%=〃-1.

(2)依题意C“=(〃—1)X2"T.

S,=0x2°+lx2i+2x22+...+(??-2)x2n-2+(«-l)x2n-',0

则2s,=0x21+1x2?+2x2^+…+(〃—2)x2"T+5—1)x2",②

7—

①-②得—S“=2'+22+—+2"T—(〃—1)x2"=---------(〃—1)x2",

1-2

即-S.=-2+(2-〃)x2",故S“=2+(〃-2)x2".

【点睛】

本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.

一nJ7'

21.(1)7(2,0)；(2)2,^-.

8

【解析】

(1)设出P,。的坐标，代入庭由=-5,结合RQ在抛物线y2=4x上，求得P,Q两点的横坐标，进而求得T

点的坐标.

(2)设出直线〃，的方程，联立直线加的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合用=丸@,求得|诬+万『的表达

式，结合二次函数的性质求得|而+而|的取值范围.

【详解】

(1)可知耳(一1,0),6(1,0),

设尸(毛，％)，。(X0,-%)

则F\PF;Q=-5=(x0+l,%>伍一1，一%)=k-1一年，

又y2=4x,

所以-5=/2一1一43

解得%=2,

所以T(2,0).

(2)据题意，直线，〃的斜率必不为0,

所以设，〃:x=<y+L将直线”方程代入椭圆C的方程中，

整理得(*+2)y2+2》—1=0,

设A(X，X),B(%,%)，

r,,2f

则乂+%=一产港z①

加工②

因为用=%祁，

所以X=2%，且x<0，

将①式平方除以②式得上+&+2=-丁二

%M，+2

14/2

所以丸+上+2=—

2r+2

7

2«—2,-1],又解得0W/<亍

+

又7X+TB=（x+/-4,y+%），玉+JC2~4=/（^+y2）-2=-^^-■

所以|9+7^=（芯+々-4）2+（司+必）2=16一^^+（,:2）2

人1

令〃=-~I-，

产+2

,一7r

则n〃e

,169

所以|方+至］=8"4,——

32

uiruir“30

TA+TB€

，8

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的

坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

22.（1）“X）在区间（0,+力）单调递增；⑵%=1,。=1；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出/'（力，在定义域内，再次求导，可得在区间（0,+。）上r（x）20恒成立，从而可得结论；⑵由g'（x）=0,

可得X；-2/111/-。=0,由g（毛）=2可得片一毛（山工）2-2%+“=0,联立解方程组可得结果；（3）由（1）知

/（力二/一•内在区间包+⑹单调递增，可证明五——，＞lnx,取了=竺±1,%GN*,可得

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任亘+_而利用