《对数函数的应用》示范课教学设计【高中数学人教】

环节二对数函数的应用任务一、复习引入问题1上一节课我们学习了对数函数的概念、图象和性质，你能画一个表格梳理所学内容吗？答案：内容如表1：表1概念y＝logax(a＞0，且a≠1)0＜a＜1a＞1图象定义域(0，＋∞)值域R性质（1）过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0（2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性（4）y＝ax与y＝logax互为反函数任务二、知识应用例1求下列函数的定义域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？答案：求解的依据是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域(0，＋∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范围就是(0，＋∞)，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．解：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．（2）因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．物价x12345678910年数y0答案：对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数．对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓．解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为x＝(1＋5%)y，即x＝1.05y(y∈[0，＋∞))．由对数与指数间的关系，可得y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)．由计算工具可得，当x＝2时，y≈14．所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．（2）根据函数y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得下表：物价x12345678910年数y0142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．例3比较下列各题中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．答案：解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7．（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9．例4溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH．解：（1）根据对数的运算性质，有．在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，减小，相应地也减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．（2）当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7＝7．所以，纯净水的pH是7．追问胃酸中氢离子的浓度是2.5×10－2摩尔/升，胃酸的pH是多少？答案：pH＝－lg(2.5×10－2)≈1.6，所以胃酸的pH大约是1.6．任务三、归纳总结问题2应用对数函数的知识我们能解决哪些问题，请你说说自己的看法．答案：在理论层面，可以得到一些相等关系和不等关系；在实践层面，可以在经济、科技、工程等方面给予分析和指导．环节三、目标检测1.求下列函数的定义域：（1）y＝ln(1－x)；（2）；（3）y＝log7eq\f(1,1－3x)；（4）y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)．2.比较下列各题中两个值的大小：（1）lg0.6，lg0.8；（2）log0.56，log0.54；（3）logm5，logm7．3.某地去年GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%．（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式；（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？参考答案：1.（1）．（2）．（3）．（4）．2.（1）lg0