高中数学第一章直线、多边形、圆11全等与相似射影定理素材北师大版4-1

射定射影定理，又称“欧几里德定理希腊著名数学家原本》作者欧几里得提出。内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项图中eq\o\ac(△,Rt)ABC中ACB=90°，CD是斜边AB上的，则有射影理如下：CD²=AD·BD，AC²=AD·，²=BD·AB，AC··CD定理介绍定理解释所谓射影正投影三形或任意三角形中的射影定叫几里德Euclid)定理）直角三角形中边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项[1]定理提出者简介欧几里得（希腊文：υκλειδης，公元前325年—公元前2年希腊数学家，被称为“几何之父活于托勒密一世（公元323－公元前83年）时期的亚历山大里亚。他最著名的著《几何原本》是洲数学的基础结平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书几里得也写了一些关于透视圆锥曲线球几何学及数论的作品。直角三角形射影定理证法一1

可以只用勾股定理来证明。①CD^2=AD×②AC^2=AD×AB;BC^2=BD④ACBC=AB×CD证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BA^2∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2∴2CD^2=2ADBD∴CD^2=AD×②∵CD^2=AD×BD(已证)∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2∴AC^2=AD×∴×③∵BC^2=DC^2+BD^2且DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)BD=AB×BD∴BC^2=AB×BD④∵eq\o\ac(△,S)ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD1/2AC×BC=1/2AB×∴AC××证法二用三角函数证明由等积法可知：×BC=BD×AC在eq\o\ac(△,Rt)ABD和eq\o\ac(△,Rt)中，tanBAD=BD/AD=BC/AB故AB×BC=BD×两边各除以tanBAD得：AB2=AD×AC同可得BC²=CDCA在eq\o\ac(△,Rt)ABD和eq\o\ac(△,Rt)中tan∠BAD=BD/AD，cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠故BD/AD=CD/BD2

得BD2=AD×任意三角形射影定理内容任意三角形射影定理又称“第一余弦定理△ABC的角是A、、，们对的边分别是a、、，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。注：以a=b·cosB”例bc在a上的影分别为·cosC、c·cosB，名射影定理。定理证明证明1：设点A在直BC上的射影为点则AB、在直BC上的射影分别为、CD且·cosB，CD=b·cosC∴a=BD+CD=b·cosC+c·同理可证其余证明2：使用正弦定理证明证法①，，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a··cosA.3

同理可证其余。证法②∵在ABC中∴sinA=sin(180°-A)sinA=sin(B+C)；根据正弦定理，可得

。同理可证其余。欧几里得面积射影定理定理内容欧几里得提出的面积射影定理规面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦(COS=S影S原(平多边形及其射影的面积分是为)证明思路

和,它所在平面所成的二面角因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的为平面多边形的面积比=边长的乘积比所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值两平面