江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（六）

江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（六）

（理科）

（考试时间120分钟，满分150分）

一、单项选择题（共12题，每题5分，共60分）

1.设xeR,贝=是"复数z=（X2-1）+（x+1）i为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知点P的极坐标为（2,工-）,那么过点P且平行于极轴的直线的极

4

坐标方程是（）

A.psin6=J^B.psin0=2C.pcose=J^D.pcos0=2

3.通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列

联表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

2

中仁2=n(ad-bc)2得K2=11Q(4QX30-2QX20)g78

-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，~~60X50X60X50-'

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别有关"

B.有99%以上的把握认为“爱好运动与性别有关"

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好运动与性别无关”

D.有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关"

4.设随机变量《服从正态分布N（3,4）,若P（S〈2a-3）=P（S>a+2）,

则a的值为（）

75

A.-LB.—C.5D.3

33

5.吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的

概率为自，学生乙能解决它的概率为两人在30分钟内独立解决该题，

53

该题得到解决的概率为（）

6.从标有数字3,4,5,6,7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件

A="取到2张卡片上数字之和为偶数"，事件B="取到的2张卡片上数字都

为奇数“，贝P（B|A）=（）

7.下列类比推理的结论正确的是（）

①类比"实数的乘法运算满足结合律"，得到猜想"向量的数量积运算满足结

合律"；

②类比"平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行"，得到猜想"空间中，

同垂直于一直线的两直线相互平行”；

③类比"设等差数列｛a"的前n项和为Sn，则S4,S8-S4,S12-S8成等差

数列"，得到猜想"设等比数列｛、｝的前n项积为T2则T4,手To，铲T«9成等

*4*8

比数列”；

④类比"设AB为圆的直径，p为圆上任意一点，直线PA,PB的斜率存在，

则kpA-kpB为常数"，得到猜想"设AB为椭圆的长轴，p为椭圆上任意一

点，直线PA,PB的斜率存在，则kpA.kpB为常数

A.①②B.③④C.①④D.②③

8.某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供

学生选修，其中4-1,4-2,4-4三门由于上课时间相同，所以至多选

一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修

方案种数是（）

A.120B.98C.63D.56

9.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

极坐标系（单位长度相同）.已知曲线C的极坐标方程为p=4cose,直线1

K

x=l+tcos-^-

的参数方程为（t为参数）.若点P在曲线C上，且P到

K

直线1的距离为1,则满足这样条件的点P的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf，(1)+lnx,

贝I」f'(1)=()

A.-eB.-IC.1D.e

11/c1\2015..2112015✓,—x[7i1i

11.右(2x-1)=a()+a]X+a2X+...+a2oi5x(x《R),则

1a2a3a2015

镇7丁+春一+…济广的值为（)

■2015B'.2015c《OsoD.一酸。

12.如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，

从顶点A处向该容器内注水，注满为止.已知顶点B到水面的高度h以每

秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V(co?)与时间T(S)的函数关

系是V(t),则函数V(t)的导函数y=V，(t)的图象大致是()

■A

二、填空题(共4题，每题5分，共20分)

13.如果随机变量4〜B(n,p),且E『7,D『6,则P等于.

14.二项式(心鼠-夕尸的展开式的第二项的系数为-坐，则J+2X，x的

62

值为.

15.如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一

粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件"豆子落在正方形EFGH内"，B

表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内"，则P(B|A)=.

①乘积(a+b+c+d)(p+q+r)(m+n)展开式的项数是24；

②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的

个数是36；

③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空

位，那么不同的坐法种数为24；

88

④已知（1+x）=a0+a1x+...+a8x,其中a0,aP,a&中奇数的个数为2.

其中真命题的序号是

三、解答题(17题10分，18-22题每题12分，共7()分)

17.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立

jx=-4+costJx=8cos9

极坐标系.已知曲线C(t为参数),(0为

l：[y=3+sint2(y=3sin9

参数).

(1)化Ci，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

冗

(II)若C1上的点P对应的参数为t=—,Q为C2上的动点，求PQ中点

M到直线C3：p(cos0-2sin0)=7距离的最小值.

18.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数

学成绩(均为整数)分成六段［40,50),［50,60)...［90,100］后得到如下

部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在［70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(II)用分层抽样的方法在分数段为【60,80)的学生中抽取一个容量为6

的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段

(1)证明PA〃平面EDB；

(2)证明PB_L平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小.

20.椭圆C焦点在y轴上，离心率为零，上焦点到上顶点距离为2-

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线I与椭圆C交与P,Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S

△OPQ=1，则I而『+|丽仔是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由―

21.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量S表示方

程x?+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).

(I)求方程x?+bx+c=0有实根的概率；

(II)求£的分布列和数学期望；

(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根

的概率.

22.定义在R上的函数f(x)满足^⑴二立尹"、*-2%*2-2f(0)x,

g(x)=f(y)---x2+(l-a)x+a.

(1)求函数f(X)的解析式；

(2)求函数g(x)的单调区间；

(3)如果s、t、r满足|s-r|《|t-r|,那么称s比t更靠近r.当a22且x21

时，试比较£•和ex7+a哪个更靠近Inx,并说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.C.2.A.3.B.4.A.5.C6.C7.B.8.B.9.C.

10.B11.C.12.D.

二、填空题

13.解：•..随机变量S〜B(n,p),且E《=7,D[=6,

.fnp=7

"[np(l~p)=6，

7(1-p)=6,

.6

1-P=y

解得p=y.

故答案为：-y-.

14.解：二项式（|ak-率"的展开式的通项为Tr+]=C；（|a|x）3-r（-吟）

♦.•展开式的第二项的系数为一返，

2

cl|a|3-1(-返)L-返，

362

解得：a=±l,

当a=-1时,J=JJx2dx=匕x，I一；=2[■1"(-8)]=(,

当a=l时，J+2x2dx=JL2x2dx=：x3|L2=^"口一(-8)]=3,

Jt2X?dx的值为3或/

故答案为：3或羡.

15.解：根据题意，得

SAE0HgxiX41

P(AB)：-：----=zZ=

S©o24冗

uu7TX]/

SEKH__1

•・・P(A)s00一元

P(AB)=1

P(B|A)

P(A)~1

故答案为：!

16.解：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是4x3x2=24；

故①正确，

②如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2xA32A2?=24种，

如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，首先排5,有C；=3种，然

22

后排1和2,有A2A2=12种，

3xA22A2?=12种，共计12+24=36种；故②正确；

③将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是

将空位分为四部分，五个空位四分只有1,1,1,2

空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三

个人排列A，3=6,

根据分步计数可得共有4x6=24,故③正确，；

④由（1+x）8=ao+a|x+a2X2+...+agx8.

可知：a0,a1（a2..a8均为二项式系数，

28

依次是C8°,cjC8...C8.

8726354

VC8°=C8=1,C^=CS=8,C8=C8=28；C8=C8=56；C8=70

Aa0,a?…中奇数只有a（）,两个，故④正确，

故答案为：①②③④.

三、解答题

x=一4+costn

17.解：（I）曲线Ci：，'（t为参数），化为（x+4），（y-3）

[y=3+sint

2=1,

二J为圆心是（-4,3）,半径是1的圆.

©2：卜=对,"。为参数），化为式+£

[y=3sin96491-

C2为中心是坐标原点，焦点在X轴上，长半轴长是8,短半轴长是3的椭

圆.

(II)当时,P(-4,4),Q(8cos0,3sin0),故

M(-2+4cosO,2+|sin8)，

直线C3：p(cos0-2sin0)=7化为x-2y=7,

M至ijC3的距离d=^|4cos6-3sin0-13卜华|5sin(0+6)+13|,

从而当cossine=gsin6=-盘■时，d取得最小值色氏

555

18.解：(I)分数在［70,80)内的频率

1-(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)x10=0.3,

故成绩落在［70,80)上的频率是0.3,频率分布直方图如下图.

(II)由题意，［60,70)分数段的人数为0.15x60=9人，［70,80)分数

段的人数为0.3x60=18人；

•••分层抽样在分数段为［60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，

.•"60,70)分数段抽取2人，分别记为m,n；,［70,80)分数段抽取4

人，分别记为a,b,c,d；

设从中任取2人，求至多有I人在分数段［70,80)为事件A,

则基本事件空间包含的基本事件有：(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),

(m,d),...(c,d)共15种，

则基本事件A包含的基本事件有：(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),

(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,dO共9种，

19.解：方法一：

(1)证明：连接AC,AC交BD于O,连接EO.

底面ABCD是正方形，.•.点O是AC的中点

在APAC中，EO是中位线，APA//EO

而EOU平面EDB且PAR平面EDB,

所以，PA〃平面EDB

(2)证明：

；PDL底面ABCD且DCU底面ABCD,APD±DC

VPD=DC,可知APDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线,

/.DE±PC.①

同样由PDL底面ABCD,得PDLBC.

：底面ABCD是正方形，有DC1.BC,BC_L平面PDC.

而DEU平面PDC,BC±DE.(2)

由①和②推得DEJ.平面PBC.

而PBU平面PBC,Z.DE±PB

又EF,PB且DEnEF=E,所以PB_L平面EFD.

(3)解：由(2)知，PBJ.DF,故NEFD是二面角C-PB-D的平面角.

由(2)知，DE1EF,PDJ.DB.

设正方形ABCD的边长为a,

2222

贝iJPD=DC=a，BD=72ZPB=A/PD+BD=V3PC=VPD+DC=V2a

DE总哈茅•

“c.AMC1+,2PD*BDa,支a娓

在RtZXPDB中，DF=~ss-=-7--=-r-a-

PB73a3

返a

在RtAEFD中，sinEFD^1~=%，,NEFD=J.

UFV6/J

JT

所以，二面角C-PB-D的大小为刁--

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a.

(1)证明：连接AC,AC交BD于G,连接EG.

依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,-1,-1).

•.•底面ABCD是正方形，,G是此正方形的中心，故点G的坐标为

(■^，5，0)且PA=(a,0,-a),EG=(y»0»

PA=2EG-这表明PA〃EG-

而EGU平面EDB且PA4平面EDB,二PA〃平面EDB.

(2)证明；依题意得B(a,a,0),而=(a,a,-a).

22

又DET=(O,4，故拜牛=0

:.PB±DE.

由已知EFJ_PB,且EFnDE=E,所以PB_L平面EFD.

(3)解：设点F的坐标为lx。，y0,z0),pf=Xpg,则(x0,y0,z0-a)

=入(a,a,-a).

从而x0=Xa,y0=Aa,z0=(1-入)a.所以

_--

FE=(x0.yy0»李-Z0)=(-入a,(y)a,(~y)a)-

由条件EFLPB知，丽・丽=0，即-入a2+g-入)a?-(入J)a2=0，解

得人:4

・••点F的坐标为得，仔，等•)，且「£二(-年，卷，-卷)，

333366

品(管-T告

44C4

•••PB-FD=-V-V+^-=0

000

即PB1FD,故NEFD是二面角C-PB-D的平面角.

222、房

-FE-FD--J+V=V,且MEI」aaa_丫。

8­=—+-=—+-="=-7"a»

J1oJ0V936366

同1瑞'+W+年粤a,

______/

.…FE・FD_61

…0sB昨同而|-逅V6-2,

6a3a

.，兀

••/EFD=w.

jr

所以，二面角C-PB-D的大小为

20.解：(I)由题意可得‘-a-2

a-c=2-V3

解得a=2,c=«,

可得b2=a2-c2=1,

X2+£；

即有椭圆C的标准方程为:

(II)设P(X],y|),Q(x2,y2)

(1)当I斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称,

SAOPQ=lxll,lyil=l>

21

又解得X/专y『=2,

lop|2+l0Q|2=2(xj+yj)=2x(导2)=5；

(2)当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx+m,

2

由题意知mxO,将其代入*2+誉-=1，得

(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,

△=(2km)2-4(k2+4)'(m2-4)>0=i>k2+4>in2

,__2kn>

xi+x°一—

即有，12k2+4

m2-4

X，x=-

12k2z—+4

22

则IPQI=^/(l+k)(x,-X2)-O到PQ距离气上,

则S^PQ方咆在里耳亚网巫四三三4

解得k2+4=2m2,满足△>(),

22

即有I而产+1而2=(xj+yj)(x2+y2)

="3(X[、+x；)+8=-3(X[+X2)」+6x[•x2+8

0(kx2n)2_4c―3k2+3ip2-12

=-3(--)^+6*----z-+8=-------5------+8=-3+8=5,

m2m‘m，

综上可得I正/+1而|2为定值5.

21.解：(I)由题意知，本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的基本事件总数为6x6=36,

满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2-4c40,即b>2«.

下面针对于c的取值进行讨论

当c=l时，b=2,3,4,5,6；

当c=2时,b=3,4,5,6；

当c=3时,b=4,5,6；

当c=4时，b=4,5,6；

当c=5时,b=5,6；

当c=6时,b=5,6,

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,

因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为丝.

(II)由题意知用随机变量£表示方程x2+bx+c=O实根的个数得到『0,1,

2

根据第一问做出的结果得到

则P(&=0)啜,P(&=1)嗫$P(g=2)嚼,

•••；的分布列为

《012

P11X11

361836

；的数学期望E&=OX圣+1X3+2X圣=L

361836

(III)在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，

这是一个条件概率，

记"先后两次出现的点数中有5"为事件M,

“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N,

贝叩⑻嗡P(MN)啧，

••.P(N|M)需卡

22.(1)f(x)=r(1)e2x-2+2x-2f(0),所以f'(1)=f，(1)+2

-2f(0),即f(0)=1.又f(0)=f'飞-2,

所以F(1)=2e2,所以f(x)=e2x+x2-2x.

(2)f(x)=e2x-2x+x2,

x2--2-x

g(x)=f(y)~a)x+a=e+^-xx-1-x+(1a)x+a=e~a(x-1),

g'(x)=ex-a.

①当a&0时，g，(x)>0,函数f(x)在R上单调递增；

②当a>0时，由g'(x)=ex-a=0得x=lna,

.,.xe(-〜Ina)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；x£(Ina,+=)时，

gz(x)>0,g(x)单调递增.

综上，当aWO时，函数g(x)的单调递增区间为(8,8)；

当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为(Ina,+-),单调递减区间为

(-g,Ina).

(3)解：设p(x)=£-lnx,q(x)=/7+a-Inx,丁P'(x)=-与一工<0,

xxx

p(x)在x£[1,+8)上为减函数，又p(e)=O,・••当1<x<e时，p(x)

>0,当x