2022年江苏省南通市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022年江苏省南通市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设f'(x0)=1,则等于()．A.A.3B.2C.1D.1/2

2.

A.2B.1C.1/2D.0

3.当x→0时，sinx是sinx的等价无穷小量，则k=()A.0B.1C.2D.3

4.

5.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定6.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.27.

8.函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．

A.单调增加且为凹B.单调增加且为凸C.单调减少且为凹D.单调减少且为凸9.

A.

B.

C.

D.

10.点M(4，-3，5)到Ox轴的距离d=()A.A.

B.

C.

D.

11.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C12.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π13.设y＝sin(x-2)，则dy＝（）A.A.－cosxdx

B.cosxdX

C.－cos(x－2)dx

D.cos(x－2)dx

14.

15.

A.f(x)－f(a)B.f(a)－f(x)C.f(x)D.f(a)16.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

17.设函数f(x)=2sinx，则f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．18.设是正项级数，且un＜υn(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()

A.B.C.D.

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.23.

24.

25.

26.设y＝sin(2＋x)，则dy＝．27.设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则

28.

29.

30.

31.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解为______.

32.

33.

34.函数f(x)=ex，g(x)=sinx，则f[g(x)]=__________。35.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分36.级数的收敛区间为______．

37.

38.已知∫01f(x)dx=π，则∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。

39.40.三、计算题(20题)41.42.43.

44.证明：45.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

46.

47.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．48.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．49.

50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

52.

53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.求微分方程的通解．56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．58.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

60.四、解答题(10题)61.求z=x2+y2在条件x+y=1下的条件极值．

62.

63.

64.

65.判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。

66.

67.

68.

69.

70.设y=3x+lnx，求y'．五、高等数学(0题)71.F(x)是f(x)的一个原函数，c为正数，则∫f(x)dx=()。

A.

B.F(x)+c

C.F(x)+sinc

D.F(x)+lnc

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B本题考查的知识点为导数的定义．

由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知

可知应选B．

2.D本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．

3.B由等价无穷小量的概念，可知=1，从而k=1，故选B。也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当x→0时，有sinx～x，由题设知当x→0时，kx～sinx，从而kx～x，可知k=1。

4.D

5.C

6.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

7.D

8.B解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)内f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，又由于f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹，可知应选B．

9.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

10.B

11.C

12.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．

由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有．

故知应选C．

13.D本题考查的知识点为微分运算．

可知应选D．

14.A

15.C

本题考查的知识点为可变限积分求导．

16.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

17.B本题考查的知识点为导数的运算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知应选B．

18.B由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数发散，则大的级数必发散，故选B。

19.D解析：

20.C

21.

22.

23.

24.

25.11解析：26.cos(2＋x)dx

这类问题通常有两种解法．

解法1

因此dy＝cos(2＋x)dx．

解法2利用微分运算公式

dy＝d(sin(2＋x))＝cos(2＋x)·d(2＋x)＝cos(2＋x)dx．27.-1

28.2

29.ee解析：

30.3e3x3e3x

解析：

31.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C，这就是方程的通解.

32.

33.x/1=y/2=z/-134.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx35.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

36.(-∞，+∞)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

37.

38.π2因为∫01f(x)dx=π，所以∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=(∫01f(x)dx)2=π2。

39.

40.

41.

42.

43.由一阶线性微分方程通解公式有

44.

45.

列表：

说明

46.47.函数的定义域为

注意

48.

49.

则

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.

52.

53.由二重积分物理意义知

54.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

55.

56.

57.58.由等价无穷小量的定义可知

59.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

60.

61.构造拉格朗日函数

可解得唯一组解x=1/2,y=1/2.所给问题可以解释为在直线x+y=1上求到原点的距离平方最大或最小的点．由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)为所给问题的极小值点．极小值为

本题考查的知识点为二元函数的条件极值．

通常的求解方法是引入拉格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点．

62.63.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得

得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．

本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示－个数值”的性质．

这种解题