2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第09讲综合分析法

/11/11/第9讲综合分析法知识与方法从要证的结论出发,逐步寻求不等式成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件为止,从而证明不等式的正确性、合理性的论证方法,称为分析法.其证明思路是“执果索因”,故也称为因果分析、逆推论证或执果索因法.分析法是一种证明不等式很有效的方法,也是解决数学难题的重要方法.典型例题【例1】已知1<a≤2,函数(1)证明:函数y=fx(2)记x0为函数fx在(i)a-(ii)x0【解析】(1)因为f'x=ex所以f'x>0,所以因为1<a≤所以由零点存在定理得fx在0(2)解法1:分析法证明i因为fx单调,1<a≤2则et=2+t先证x0由于x≥0时,且ex0-x0再证x0要证明x0≥a-1记hx=e所以h'x在0,ln所以h'所以hx在0≤x从而x0综上,可知a-(ii)要证明x0fe只需证ea因为ex≥1只需证a2-a因为aa所以aa所以x0解法2:(i)因为fx0=所以a-令gx一方面:h'所以h'x>h'0=所以ex另一方面:因为1<a≤2,所以a-因此只需证明当0<x<因为g当x∈0,ln2时,g1所以g'x<maxg'所以gx在0,1单调递减,所以g综上,所以ex-x(ii)ttx因为t'所以t=因为1<a≤所以tx只需证明2a即只需证明4ea则s'所以sa>s因此x0【例2】已知函数fx=ln(1)求实数a的取值范围;(2)若x1,x【解析】(1)函数fx的定义域为0令gx若a=0,则f'若a<0,则g'x=-所以gx在0在-1a,+∞(i)当1+ln-1gx=1(ii)当1+ln-1a<0,即设mx=-2x-ln所以mx=-2x-ln易知gx=1所以gx在0,+∞上有两个变号零点,所以若a>0,则g'x=-ax+ge1a=e-1a>0,f'x所以x0是f综上所述,实数a的取值范围是0,+∞(2)解法1:分析法要证logx1+即证lnx由(1)可知,x0>1所以lnx所以只需证lnx由(1)可知,函数fx在x所以fx即lnx即lnx即lnx1+ln所以原不等式成立.解法2:综合法由(1)可知,x0>1所以lnx由(1)可知函数fx在x所以fx即lnx所以lnx即lnx1+ln所以logx【例3】已知函数fx(1)求fx(2)证明:在x>12且x【解析】1fx的单调增区间为(2)解法1:分析法(1)当12<x<1所以x-1lnx<(2)当x>1时,因为lnx要证x-1lnx<而4x2-综上所述,在x>12且x解法2:直接讨论法在0<x<1时,有(1)在12<x<1(2)在x>1时,设则g'令hxh在x>1时,h'所以g'x>0,所以综上知,在x>12且x【点睛】使用的不等式:当x>1时,lnx强化训练1.函数fx=lnx-ax+1(1)求a的值;(2)求fx(3)证明当x∈1,+∞【解析】1a=1;2函数f(3)证明:当x∈1,+∞时,1由2可得fx=lnx可得fx<f设Fx当x>1时,F'x>即有xln2已知函数fx(1)当a=1时,讨论(2)若a≥0,证明:【解析】(1)当a=1时,fx=x当1<x<2时,f''x<0,所以f'x≥0,所以(2)x-a>得lnx-a要证明fx<e即证xln因而只要证明xln当0<x≤1时,所以xln当x>1时,设h'记ux因为x>1,所以u'ux>u1=e+1>hx>h所以当x>1时,综上可知,若a?0,3.已知a>1,函数f(x(1)证明:函数y=f((2)记x0为函数y=f(x)在【解析】证明:(1)f'f''(x)=ex-1>0f'所以存在x1∈(0,a故当x∈0,x1时,当x∈x1,+∞时,又f(0)=0,所以fx1<0,当故由零点存在定理,f(x)在x所以函数f(x)(2)由(1)得:f(x)在x故要证:x0<a即证:ea-3设g(a)=由g''(a)=0?a=ln?3,所以g'g'所以存在x2∈(ln?3,ln?4.6),使得所以g(a)在1,x2因为g(1)=e-52由g'x2由二次函数的单调性,得gx综上,得证4.已知函数f(x)=13a垂直.(1)若函数f(x)在1(2)若f'(x)有两个极值点x1,x【解析】因为f'(x)=(1)由前可知,f根据题意:f'(x)>0在12即a>exx2在所以g'(x)=(所以g(x)所以g(x(2)令h(x)=f由题可知,h'(x)=0有两个根x1又x=0显然不是该方程的根,所以方程2设φ(x)=exx,则当0<x<1时,φ'(x故要使方程2a=exx所以a的取值范围是e(3)由(2)得:0<且由h'x1=0所以f'令r(t)=r(t)所以r(1)<r(5.已知f(x)=ln?x,设Ax(1)设g(x)=f((2)试判断弦AB的斜率kAB与f(3)证明:当x>1时,e【解析】(1)g(若a?0,则g'(若a>0,由g'(当x∈-1,1a-1时,g'(x)>0,当x(2)证