2第二讲 无穷小量与连续

xxx泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称授课题目

高等数学研究第二讲

授课对象无穷小与函数的连续性

课时数4教学

通过教学使学生掌握

无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大目的重点难点

量之间的关，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。1．用等价穷小量代换求极限2．函数的续性的判3.间断点的求法第二讲

无穷小函数的连续１无小如果

lim

,就说在这个极限过过程中是无穷小量。２无大lim

，lim

，lim｜

就说在这个极限过过程中是穷大量。教学提

３无界量4.函数的连续性定义函yf

x

的某一领域内有定义，如果纲

(1)极限limf(2)那么就称

limfxf。５、函数的间断点第一类间断点

左右极限相等（可去间断点）间断点（右极限都存在）左极限不相等（跳跃间断点）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在教学过程与内容

教学后记

第二讲

无穷小函数的连续无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关１无穷如果

lim

0

,就说在这个极限过过程中

是无穷小量。【说明说一个函数（数列）是无穷小量，必需指明在哪个极限过程。在这个极限过程中

是无穷小量另个极限过程

不一定是无穷小量。0

时sinx是无穷小量，但

时，

sinx

不是无穷小量；（）是一可作为无穷小的常数；（）

x

2

3

作为无小（

x0

看次项无穷大（

x

主要看次项在同一变化过程中如果

lim

,就是比高阶的无穷小记

;如果

lim

,就说

是比

低阶的无穷.如果

lim

,就说

与

是同阶无穷;如果

lim0,0就说关于的无穷小，)

.如果

lim

,就说是等价无穷小记~例：当0时

()

与

()1arcsincosx

是等价无穷小，则求k.【】由设，

limx

x)x)

limx0

arcsinxkx=

limx

2

x(1xx)=

1xx3lim2k0x24

，

得

k

34

.例2：x0穷量

t

2

dt

tdt,

sint

3

dt

，排列起来，0

0使排在后面的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（）a)

．b)

．c)

．d)

．【说明无穷小量的阶主要看它和哪个x同阶，然后再x阶定顺序；（）穷小量求导数后阶数降低一阶。【解】

x

2

(0阶x(2阶

12

)

3

阶

，应选Ｂ例3设函数

f(

在

＝０的某邻域具有二阶连续导数

f(0),f

f

．证明：存在惟一的一组实数

a,b,c

，使得当

时，af()bf(2h(3h)(0)(h2

．【分析】条件告诉我们

x0

af()bf(2)cf(3h)f(0)h2

0因而同上

cf

，

f

0,a【证】略２无大lim

，

lim｜

，就说在这个极限过过程中无穷大量。定理：当自变量在同一变化过程中时，（１）若

f(x

为无穷大量，则

1f()

为无穷小量。（２）若

f(x

为无穷小量，且

f(x0

，则

1f()

为无穷大量。【说明】常见无穷大量的阶

n

a

n

n

n３界如不存在

M0

使，对

I

，都有

f()

，则称

f(x

在

I

上无界limf(

，则

(

a

上无界，

limf()

，则

(,

上无界

xxabxxxffxxabxxxffxfxf可去间断点00fx跳跃间断点，fxf例4：x０，变量

1sinxx

是C)a)无穷小b)无穷大c)无，但不是无穷大；d)有界，但不是无穷小．4.函的续函数

f

x

的某一领域内有定义，如果(1)极限f(2)

limfxx

那么就称

f。如果函数

f(x)

在开区间

()

内每一点都连续则

f(x)

在开区间

(,)

内连续;如果函数

f(x

在开区间

(,b

内连续,在右连续点左续,则称函数

f(x

在闭区间

[a]

上连续。如果

limfx

就说函数

f

x在点0左连续。如果limf右续。xtanxx0,x例：f(xarcsin在x(。22x【解】limffx５函的断

设函数

f

x在点0的去心领域内有定义在前提下如果函数

f

有下列三种情形之一在x没定;虽在xx有定,limf0虽在xx有定,limff0则函数x在x为不连,而x称为函数的不连续点或间断点0间断点x的:第类断:左极限及极限都在，，补充定义使之连)第类断:左极限及极限至少有一个存在，无穷间断点

limfx

，第一类间断点

左右极限相等（可去间断点）

2间断点（右极限都存在）左极限不相等（跳跃间断点）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）例6：求

f(x)

lnx

的间断点，并指出它的类型。【分析】由于初等函数在定义域都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。【解】

f(limxx

2

lnxx

，

是第二类间断点f(x)limxx1

x

2

lnxxx

，

x

是第一类间断点limf()limxx2

lnx2

x2是二类间断点例7：

f()t

tx

sint

，求

f(x

的间断点，并指出其类型．【解】f()

limt

tsintx

limt

sint(sinxsint

limt

costsinxcost

sinx

可去间断点，

x2k(

第二类间断点，例：

)xf(x)eax2axxxsin4

xx,？时x

f(x

在x=0点续x=0是去间断点。【解】

flimf()x

)

lim

3=

lim

1

211

2lim012

=

limx

3ax

2

.=

4lim0

e

ax

2

ae4lim

ax

x2x

2

2

4.令

f0)0)，aa

，得a

当a=-1时

limf()6f(0)

，即f(x)处续当a=-2时

lim