2023考研数学(二)真题及参考答案2

狮子1213免费为大家分享PAGE2023年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.〔1〕设，那么的零点个数为〔〕0 1.2 3〔2〕曲线方程为函数在区间上有连续导数，那么定积分〔〕曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积. 三角形面积.〔3〕在以下微分方程中，以〔为任意常数〕为通解的是〔〕 〔5〕设函数在内单调有界，为数列，以下命题正确的选项是〔〕假设收敛，那么收敛. 假设单调，那么收敛.假设收敛，那么收敛. 假设单调，那么收敛.〔6〕设函数连续，假设，其中区域为图中阴影局部，那么 〔7〕设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵.假设，那么〔〕不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆.〔8〕设，那么在实数域上与合同的矩阵为〔〕. .. .二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.〔9〕函数连续，且，那么.〔10〕微分方程的通解是.〔11〕曲线在点处的切线方程为.〔12〕曲线的拐点坐标为______.〔13〕设，那么.〔14〕设3阶矩阵的特征值为.假设行列式，那么.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)〔此题总分值9分〕求极限.(16)〔此题总分值10分〕设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.(17)〔此题总分值9分〕求积分.(18)〔此题总分值11分〕求二重积分其中(19)〔此题总分值11分〕设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.假设该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.(20)〔此题总分值11分〕(1)证明积分中值定理：假设函数在闭区间上连续，那么至少存在一点，使得(2)假设函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点〔21〕〔此题总分值11分〕求函数在约束条件和下的最大值与最小值.〔22〕〔此题总分值12分〕设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，〔1〕求证；〔2〕为何值，方程组有唯一解，并求；〔3〕为何值，方程组有无穷多解，并求通解.〔此题总分值10分〕设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，〔1〕证明线性无关；〔2〕令，求.2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点.又中含有因子，故也是的零点，D正确.此题的难度值为0.719.(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积．此题的难度值为0.829.(3)【答案】【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即.故以函数为通解的微分方程是此题的难度值为0.832.(4)【答案】【详解】时无定义，故是函数的间断点因为同理又所以是可去间断点，是跳跃间断点.此题的难度值为0.486.(5)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调.所以单调且有界.故一定存在极限.此题的难度值为0.537.(6)【答案】【详解】用极坐标得所以此题的难度值为0.638.(7)【答案】【详解】，故均可逆．此题的难度值为0.663.(8)【答案】【详解】记，那么，又所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确.此题的难度值为0.759.二、填空题(9)【答案】2【详解】所以此题的难度值为0.828.(10)【答案】【详解】微分方程可变形为所以此题的难度值为0.617.(11)【答案】【详解】设，那么，将代入得，所以切线方程为，即此题的难度值为0.759.(12)【答案】【详解】时，；时，不存在在左右近旁异号，在左右近旁，且故曲线的拐点为此题的难度值为0.501.(13)【答案】【详解】设，那么所以所以此题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】此题的难度值为0.839.三、解答题(15)【详解】方法一：方法二：此题的难度值为0.823.(16)【详解】方法一：由得，积分并由条件得，即所以方法二：由得，积分并由条件得，即所以所以此题的难度值为0.742.(17)【详解】方法一：由于，故是反常积分.令，有，方法二：令，有，O0.52xDO0.52xD1D3D2此题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为O0.52xO0.52xD1D3D2此题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知上式两端对求导得，即由别离变量法解得，即将代入知，故，于是所求函数为此题的难度值为0.497.(20)【详解】(I)设与是连续函数在上的最大值与最小值，即由定积分性质，有，即由连续函数介值定理，至少存在一点，使得即(II)由(I)的结论可知至少存在一点，使又由，知对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有此题的难度值为0.719.(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数令解方程组得故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求在条件下的最值设令解得，代入，得故所求的最大值为72，最小值为6.此题的难度值为0.486.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得故证法三：记，将其按第一列展开得，所以即(II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．由克莱姆法那么，将的第1列换成，得行列式为所以(III)方程组有无穷多解，由，有，那么方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．此题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，那么可由线性表出，不妨设，其中不全为零(假设同时为0，那么为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得：那么线性相关，矛盾.所以，线性无关.证法二：设存在数，使得