数值计算基础习题集

精品文档精品文档精品文档精品文档《数值计算基础》习题集第1章引论1、已知，求近似值的有效数字位数、绝对误差限和相对误差限。2、下列各数均为四舍五入得到，指出它们各具有几位有效数字及绝对误差限和相对误差限：(1)6000 (2)7000.00 (3)2.00023、将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1)2.1514 (2)－392.85 (3)0.0039224、已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1)13267 (2)0.2965、已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。(1)0.3941 (2)293.481 (3)0.003816、已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。(1)1.8921 (2)22.351 (3)48361注：相对误差与有效数字的关系请使用以下定理定理：设x是准确值，x*是近似值X*=±0.XX...XX10k(keZ)，其中x,x，…,x都是12n 1 2n0~9十个数字之一，且X1中0。1(1)若x*有n位有效数字，则其相对误差限为「X10-n+i。2X11(2)若x*的相对误差限为:——-X10-n+i，则x*有n位有效数字。2(X+1)1参考答案1、有效数字位数4位，，2、(1)4位，，(2)6位，，(3)5位，，3、(1)2.15，，(2)-393，，(3)0.00392，，

4、(1) (2)5、(1)2位(2)3位(3)2位6、(1)3位(2)1位(3)2位第2章解线性方程组的直接法1、用高斯顺序消元法解线性方程组x1x1x2x3」-14-12、用高斯列主元消去法解线性方程组-1-413、用Doolittle三角分解法求解方程组-2-2、用高斯列主元消去法解线性方程组-1-413、用Doolittle三角分解法求解方程组-2-3-2-213x1x2x34、求矩阵的Crout三角分解4 2-22 2-2-2-3135、求矩阵的Cholesky三角分解\o"CurrentDocument"164 84 5 -48-422参考答案1、2、3、4、 22114、 22112-113-2-2164125、2-322第3章插值法与最小二乘法1、已知有y=f（x）的函数表x012y264分别使用待定系数法、Lagrange插值法、Newton插值法求其插值多项式，并给出余项。2、已知函数164125、2-322第3章插值法与最小二乘法1、已知有y=f（x）的函数表x012y264分别使用待定系数法、Lagrange插值法、Newton插值法求其插值多项式，并给出余项。2、已知函数1二六的一组数据:x012y10.50.2求分段线性插值函数，并计算f（1.5）的近似值。3、已知插值基函数心）,k二0，1，A,n，证明：当m<n时,Zl(X)Xm=Xmkkk=04、由下表求插值多项式，并给出余项。5、已知数据表:x12y24y,-3x123y3.87.210求其一次拟合多项式。6、求下列矛盾方程组的最小二乘解。x+x=4121x+2x=712x-x=212参考答案1、插值多项式：P2(x)=2+7x—3x2余项:-x(x-1)(x-2)2、L(x)=，-0.5x10.8-0.3xxG[0,1]xG11,2]L(1.5)=0.8-0.3x1.5=0.35精品文档精品文档第第6章逐次逼近法精品文档精品文档精品文档精品文档17173、略4、插值多项式：H(x)=10-13x+5x22f⑶(已)余项：f(x)-H(x)=f-^)(x-1)2(x-2)2 3!5、g(x)=0.8+3.1x6、2311第4章数值积分与微分1、给出数值积分公式：Jhf(x)dx工Af(-6、2311第4章数值积分与微分1、给出数值积分公式：Jhf(x)dx工Af(-h)+Bf(1h)-h 3确定A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少?2、1 .1试确定求积公式J1f(x)dx氏f(--=)+f(〜)的代数精度。-1 \：3 、:33、证明Newton-Cotes系数满足Zc(n)=1ii=04、分别用梯形公式、Simpson公式、n=4时复合梯形公式计算I=J1-1-dxo1+xxdx5、使用龙贝格算法计算J1——-，计算到S0x2+4 16、已知有y=f(x)的函数表如下x012y264利用数值微分三点公式计算f'(1)的近似值。参考答案131、A=h，B，B=-h，代数精度：2次2、代数精度：3次3、提示：令f(x)=14、0.75,25/36,0.6975、11T=——，230456、1第5章常微分方程数值解法1、取h=0.1,用改进欧拉法的预报一校正公式求初值问题|y二-yIy(0)=1在x=0.1,0.2处的近似值.计算过程保留3位小数y'=f(x,y)2、解常微分方程初值问题1/、的欧拉公式为y=y+hf(x,y)y(x)=y n+1 nnn001)试用近似求积公式』bf(x)dx氏(b—a)f(a)推导出该公式。a2)证明该公式精度为一阶y'=_y—xy23)若1 ，取步长h=0.2,使用该公式计算y(0.4)的近似值。Iy(0)=13、对初值问题‘y'=f(x,y)〈，、Iy(x)=y00试用数值积分法在区间［x,x］或［x,x］上对y'=f(x,y)两边积分，分别导出公式nn+1 n—1n+1h梯形公式：y=y+-(f+f)TOC\o"1-5"\h\zn+1 n2n n+1中点公式：y=y+2hfn+1 n—1 nhSimpson公式：y=y +—(f+4f+f)\o"CurrentDocument"n+1 n—1 3 n—1 n n+1并给出各公式的局部截断误差。参考答案1、y(0.1)-y1=0.905y(0.2卜y2=0.8192、3)y(0)=y=1，y(0.2)-y=0.8，y(0.4)-y=0.614401 23、局部截断误差：梯形公式：O(h3)，中点公式：O(h3)，Simpson公式：O(h5)

1、已知方程组x+2x-2x=11 2 3<x+x+x=323x+2x+x=5l1 2 3求使用简单迭代法（Jacobi迭代法）和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵。2、已知方程f（x）=x5—4x-2=01）给出一个该方程的一个不大于1的含根区间并证明之。2）使用简单迭代，构造