2023年高考一轮复习精练必备第11讲 导数与函数的极值、最值（解析）

2023年高考一轮复习精讲精练必备

第U讲导数与函数的极值、最值

一、知识梳理

1.函数的极值

一般地，设函数在光o处可导，且/(xo)=O.

(1)如果对于xo左侧附近的任意x,都有尸(x)〉0；对于xo右侧附近的任意尤，都有片x)<0,那

么此时xo是.*x)的极大值点.

(2)如果对于xo左侧附近的任意x,都有尸㈤<0；对于xo右侧附近的任意x,都有「(幻>0,那

么此时xo是7(x)的极小值点.

⑶如果/(X)在X0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则X0一定不是y=Ax)的极

值点.

(4)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2函数的最大(小)值

(1)函数/U)在［。，切上的最值

如果函数y=/(x)的定义域为［a,切且存在最值，函数y=/U)在(a,Z?)内可导，那么函数的最

值点要么是区间端点。或4要么是极值点.

(2)求y=/(x)在区间［a,切上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/U)在区间(a,/?)上的极值;

②将函数y=/U)的各极值与端点处的函数值四您比较,其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值.

常用结论

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然

认为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的

大小关系.

二、考点和典型例题

1、利用导数求函数的极值

【典例1-1［(2022•全国•高三专题练习)函数f(x)的定义域为开区间(°力)，导函数尸(x)在(。力)内的图

像如图所示，则函数/(X)在开区间力)内有极小值点()

0

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【详解】

由导函数尸（x）在区间（a⑼内的图象可知，

函数/（刈在（49内的图象与X轴有四个公共点，

在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，

在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，

所以函数/（X）在开区间力）内的极小值点有1个，

故选：A.

【典例1-2】（2022.陕西商洛•一模（文））已知函数f（x）=x2-8x+61nx+l,则.f（x）的极大值为

()

A.10B.-6C.-7D.0

【答案】B

【详解】

函数/（x）的定义域为（0,+8）,

尸(土21-8+:2(1)(>3)

X

令f'(x)=0,解得x=l或x=3,

故

X(0,1)10,3)3(3,+oo)

广⑴>0=0<0=0>0

单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以/（力的极大值为〃1）=Y，

故选：B.

【典例1-3]（2022・新疆•三模（文））若函数〃力=炉-加-灰+/在x=l处有极值10,则

)

A.6B.-15C.-6或15D.6或-15

【答案】B

【详解】

12

f(<x)=x'-a>C-bx+a,fXx)=3x-2ax-b

又x=l时f(x)有极值10

3-2a-h=0[a=-4

.,,c，解得，,,或

\-a-b+a=0[Z>=11

当a=3,0=-3时，/,(X)=3X2-6%+3=3(X-1)2>0

此时/(x)在x=l处无极值，不符合题意

经检验，“==U时满足题意

a—b=-15

故选：B

【训练1-1】(2022.河南新乡•二模(文))已知。>0,函数〃力=/厂卜3的极小值为则。=

()

A.孤B.1C.蚯D.V2

【答案】C

【详解】

f'(x)=-x2+a2=-(x-a')(x+a),则/(x)在(-<»,-")和(a,+oo)上单调递减，在(-a,a)上单调递增，所

174

以/(X)极小值=〃_。)=_/+铲3=_§/=_§,贝I]q3=2,则4=蚯.

故选：C

【训练1-2】(2022•安徽•蒙城第一中学高三阶段练习(文))已知机为常数，函数”•rhxlnx-Z/nd有两

个极值点，其中一个极值点可满足%>1,则/(%)的取值范围是()

A.(-<»,0)B.(0,+ao)C.1-8,-；)D.

【答案】D

【详解】

f\x)=\nx-^nvc+\,由函数/(x)=xlnx-2皿2有两个极值点，

则等价于:(x)=0有两个解，即y=Inx与y=4〃a-1有两个交点，

所以In.%+1=4〃/.

直线y=4，nr-l过点(0,-1)

由y=lnx在点P(l,0)处的切线为y=x-l,显然直线y=x-l过点(0,—1)

当0<4加<1时，直线y=4znr-l与曲线y=lnx交于不同两点(如下图)，且％<1<々=玉)，

2345》267x

/(%)=f(々)=9(In々-2叫)=々(in々-1、+1)=々"-」,

令g(x)="n；_x(x>]),则g(x)=等>O(x>l),

所以g(x)="ln；7(x>i)单调递增,g(x)>g⑴=-g,即

故选：D.

【训练1-3】(2021•四川省叙永第一中学校高三阶段练习(文))已知函数/。)=/+渡+灰+。在*=1

与》=-：时，都取得极值.

⑴求。，b的值；

⑵若/(-D=|,求fM的单调增区间和极值.

【答案】(1)。=—5，b=-2

(2)函数的单调递增区间是b8,-|卜口(1,—),单调递减区间是函数的极大值是

函数的极小值是

【解析】⑴

f\x)=3x2+2ax+b,由条件可知/''(1)=0和=

3+2。+6=0

1

即・4_生+〃=。，解得：a=——，/?=-2

2

.3-3

所以f(xbd-gf-Zx+c,

检验：/'(力=3/-x—2=(x—l)(3x+2)

'8,-|)_2

(1,”)

X-311』1

*W+0—0+

单调递增极大值单调递减极小值单调递增

经检验x=l与x=-12时，都取得极值，满足条件，所以。=-；1，b=2

(2)

/(-l)=-l-l+2+c=|,解得：c=l,

所以/(》)=/-9-2犬+1

/r(x)=3x2-x-2=(x-l)(3x+2)

_2

X（1收）

~3H'O1

+0—0+

川X)

49__1_

“X)单调递增极大值赤单调递减极小值一5单调递增

有表可知，函数的单调递增区间是,8,-|）和（1,+OJ）,单调递减区间是

函数的极大值是=函数的极小值是-J.

【训练1-4】（2021•福建•莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数/（力=产+办2+析+。在x=-（与

x=l处都取得极值.

（1）求。，♦的值;

（2）若对任意xe[-l,2],不等式f（x）＜c2恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】（1）«=-1.8=-2；（2）（Y,-1）U（2,+OO）.

【解析】（I）由题设，,f'（x）=3x2+2ax+b,Xr[-|]=1-^a+^=0,/'⑴=3+2a+6=O,解得

1

a=—,/?=-2.

2

（2）由（1）,知〃尤卜丁-3/一？/。，gp/（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-l）,

当xe[-l,2]时，f\x）,〃x）随x的变化情况如下表：

_2

0，2]

X~31

制x)+0-0+

递增极大值递减极小值递增

"(X)在T-|)上单调递增，在「打上单调递减，在。,2］上单调递增，

.•.当x=_|时，/(_|)=||+c为极大值，又〃2)=2+c,则〃2)=2+c为/(x)在［—1,2］上的最大

值，

要使/(x)<c?对任意xe［-1,2卜恒成立，则只需c?>"2)=2+c,解得c-<T或c>2,

实数c的取值范围为(—,-1)U(2,4W).

2、利用导数求函数的最值

【典例2-1】(2022.河南.模拟预测(文))当工=机时，函数/(x)=d-x2+3x-21nx取得最小值，则，〃=

()

23

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】A

【详解】

解：:(x)=x(3x-2)+正产=(3x-2)(x+：)(x>0),

当xe(|,+8卜寸，y,(x)>0；当时,/f(x)<0.

所以函数.f(x)在上单调递减，在6,+8)上单调递增，

所以当x=:时，〃X)取得最小值.

故选：A.

oY_丫3丫<〃

二一’一,若函数f(x)无最小值，则实数〃

(2x,x>a

的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.(-8,-1］

C.(-1,-Ko)D.(1,-Ko)

【答案】A

【详解】

由y=3x-x3yr=3-3x2,

令y'>0,得,令y'<0,得x<-i或x>l,

所以y=3x-/在(―,-1)上单调递减，在上单调递增，在(1,物)上单调递减,

所以当x=-l时，y=3x-V取得极小值，为一2,

因为""""无最小值,—2>2d

所以解得a<-l.

2x,x>a3(7-G3>2a

故选：A

【典例2-3](2022.上海交大附中高二期中)函数y=/(x)的定义域为(-2⑵,解析式f(x)=--4/+1.

则下列结论中正确的是()

A.函数y=f(x)既有最小值也有最大值B.函数y=/(x)有最小值但没有最大值

C.函数y=f(x)恰有一个极小值点D.函数y=/(x)恰有两个极大值点

【答案】A

【详解】

vf(x)=x4-4x2+\,xe(-2,2),二:(幻=_8工=4道丁—2)；

令/'(x)=0,则x=0或x=±也；

•••当-2<x<-a时，ruxo,此时函数〃x)单调递减：

当-血<x<0时，尸。)>0,此时函数/⑶单调递增；

当Ovxv/时,f'(x)<0,此时函数/(x)单调递减；

当近<x<2时,r(x)>o,此时函数”劝单调递增,

・••/(x)在犬=±0时取得极小值，在x=0时取得极大值，故C,D错误：

/(-2)=/(2)=24-4X22+1=1；

/(0)=1,/(-72)=/(V2)=(X/2)4-4X(V2)2+1=-3；

函数，(x)既有最小值也有最大值；

故答案为：A

【训练2-1】(2022•浙江省杭州第二中学高二期中)已知aeR,函数/(x)=e2,+(x-2a)e'+〃的最小值

为g(4)，则g(。)的最小值为()

A.—B.-eC.—~D.0

ee-

【答案】A

【详解】

方法一：由题意得：_r(x)=2e”+(x—2a+l)e'=e'(2e'+x—2。+1)；

令Mx)=2e'+x-2a+l,贝i]〃(x)=2e'+1>0,.[Mx)在R匕单调递增，

2

X/?(2a)=2e0+1>0,当x-时，/t(x)-»-oo,,,.3%0e(-a>,2«),使得力&)=0,

则当xc(ro,Xo)时，/i(x)<0,即/'(x)<0；当xw(xo，+oo)时，h(x)>0,gp/z(x)>0；

/•/(X)在(YO,玉))上单调递减，在(%,+00)匕单调递增，

=/(%)=e2M+(豌)一2。)巳"+/.

由力(为)=0得：a=2e：x0+l,

即g(a)=e2t»-(2e^+l)eA"+勺.丁+1[=4*+[+2x0+1,

设P(X)=4ACX+X2+2x+l,则〃'(力=(4无+4烂+2戈+2=(2工+2)(2巳'+1),

・••当X£(-O0,-1)时，p(x)<0；当X£(-l,+00)时，p(X)>0；

.”(力在(-,-1)上单调递减，在(-1,小)上单调递增，

“矶血=〃(-1)=-：+1-2+1=_：,...g(aL=£^11=一

方法二：令〃(〃)=(〃一e')+Re",则当a=e“时，=^eA\

令机(x)=xe“，则m/(x)=(x+l)er,

当xw(-oo,-l)时，m(x)<0；当xw(—l,+oo)时，m(x)>0；

则加(力在(-00,-1)上单调递减，在(-1,+00)匕单调递增，

二"ML.=MT)=即gSL=一5

故选：A.

【训练2-2】(2022・四川•模拟预测(理))对任意awR,存在匕«0,小功，使得e。—In8=1,则b-“的最

小值为()

A"B.—C.1D.e

22

【答案】C

【详解】

由题e"=ln5+l，令e"=ln/?+l=(>0),则。=lnfS=e'」所以b-a=e'T-lnt,令

"r)=e'T—ln(>0),则-⑺=e-_L令〃(切二尸⑴二尸」，

则/(x)=尸+5>0,则"⑺即尸⑺在(0,+e)时单调递增，

又/(I)=0,则0<f<1时/'⑺<0/>1时f'(t)>0,

所以r=l时f(r)取得极小值也即为最小值，最小值/⑴=1,即6-a的最小值为1.

故选：C.

【训练2-3】(2022•北京市第三十五中学高二期中)已知函数/(》)=；^-4》+4.

⑴求/(X)的单调区间；

⑵求/(A)在区间［-3,4］上的最大值和最小值；

(3)画出fM的草图(要求尽量精确).

【答案】⑴增区间为(TO,-2),(2,+<»),减区间为(-2,2)；

(2)最小值为-三4，最大值为三28；

【解析】⑴

由题设尸(x)=/-4,

所以(-8,-2)、(2,+«))±f\x)>0,(-2,2)±f'(x)<0,

所以的单调增区间为(-8,-2)、(2,+8),单调减区间为(-2⑵.

(2)

由(1)可得如下列表：

X-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,4)4

f,M—0+0—

28_428

f(x)7递增递减递增

T-3T

当x=2时，Ax)在［-3,4］的最小值为一；

当x=-2或x=4时，/(x)在［-3,4］的最大值为?.

(3)

X-3-2024

28_428

fix)74

T~3

结合(1)的结论，函数图象如下:

【训练2-4】(2022.黑龙江・齐齐哈尔市第八中学校高二期中)已知函数f(x)=(x2-2x-3)e\

⑴求的单调区间；

(2)求/(x)在区间［-2,4］上的最大值和最小值.

【答案】⑴单调递减区间为卜后石)，单调递增区间为(-双-国和(石，+孙

⑵最大值为5e4，最小值为(2-2司e4.

【解析】(1)

函数/(*)的定义域为R,f'(x)=e\x2-5),

由尸(x)=e"-5)=0,可得x=土百，

当x>逐或x<-右时，f\x)>0,当-石<x<6时，f'M<0,

/(X)的单调递减区间为(-6灼，单调递增区间为卜8,-逐)和(6+8).

⑵由(1)知/'⑶在［-2,右］上单调递减，在［遥,4］上单调递增.

又/(—2)=4,/(4)=5e4,/(6)=(2-2班)e*,

e

・••/(X)的最大值为5/，最小值为(2-2石)一.

3、综合应用

【典例3-1］(202L陕西咸阳・高三开学考试(文))已知函数/")=31一3办2一2尤(。€2在；1=2处取得

极值.

⑴求/(x)在［-2,1］上的最小值；

(2)若函数g(x)=f(x)+b(beR)有且只有一个零点，求b的取值范围.

【答案】⑴-弓⑵,8,-(］U［5，+8］

【解析】⑴

解：因为/(x)=大丁—5以~—2x(“eR),所以/'(x)=x?—ox—2,

•."(X)在x=2处取得极值，.•J(2)=0,即22-2a-2=0解得〃=1,

/./(x)=^x3--X2-2x,所以r(x)=x2-x-2=(x+l)(x-2),所以当x<-l或x>2时/'(x)>0,当

-l<x<2B^/，(x)<0,

.•./(x)在［-2,-1)上单调递增,在(-1,1］上单调递减,

112I113

又/'(-2)=彳xQZ^-:Xjzy-ZxGZX-GfdA彳xr-7xf-Zxg-u，

323326

13

.••/(X)在［-2,1］上的最小值为.

3

(2)解：由(1)知，f(x)=—x—2-V,

若函数g(x)=/(x)+bgeR)有且只有一个零点，

则方程』=f(x)(bwR)有唯一解，即/一g一2x(/,eR)有唯一解，

由(1)知,/㈤在(TO,-1),(2,+oo)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,

【典例3-2】（2021.天津市第一。二中学高三期中）设函数“xb-d-xZ+x+Z.

⑴求〃x）在x=-2处的切线方程；

（2）求，（x）的极大值点与极小值点;

⑶求在区间［-5,0］上的最大值与最小值.

【答案】（l）7x+y+10=0；（2）极小值点为x=-l,极大值点为x=g

（3）/（6而户，"X）四=97.

【解析】⑴

由题意得：/，(x)=-3x2-2x+l,则/'(-2)=-12+4+1=-7,

又2)=8-4_2+2=4,

・••/（X）在x=-2处的切线方程为y-4=-7（x+2）,即7x+y+10=0；

(2)令尸(x)=_3x?-2x+l=0,解得：x=—l或x=§

则xj，（x）J（x）变化情况如下表:

2