高中数学选择性必修二 第四章 数列（章末复习）单元复习全面过

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1.知识网络

「I图象法卜।

解析法卜

数列的T列表法〉

有关概念

一

数数

列列

的

应

用

_

2.知识梳理

等差数列等比数列

如果一个数列从第2项

如果一个数列从第2项起，每一起，每一项与它的前一项

项与它的前一项的差等于同一的比等于同一常数，那么

定义个常数，那么这个数列就叫做等这个数列叫做等比数列，

差数列，这个常数叫做等差数列

这个常数叫做等比数列的

的公差，公差通常用字母d表示.

公比，公比通常用字母q

表示(qWO).

CL.

^-=q

递推公式an+\—an=d

an

由三个数mA,人组成的等差数

列可以看成最简单的等差数列.如果a、G、6成等比数列，

中项这时A叫做。与匕的等差中项，那么G叫做。与匕的等比

中项，且6=士而

并且A=*

2

通项公式m=〃i+(〃一\)dCln=Cl\Cfl1

一〃(q+4)一q(iT')

前”项和公式*2q手1时，Sn

1-q

j(〃+l)a】-aa.

nci\十d=-----,q=l时，Sn

2i-q

=iut\

。)，%的

="根一n

ani—an(r)i—ri)d-----q

关系%

m,n,$,

Cltn+恁-+Clt丽斯=。皿

m+n=s+t

伙“｝是等差数

｛4,,｝是等差数列｛%“｝是等比数列

性质歹ij,且乂WN*

n=2k~\,

Sik-\=(2k—1)s0a2•…♦侬-I=Q；A।

&WN*

ki，kz，%3(k”

气，a,成等差数列气，%，气，成等比数列

k2,饱GN*)成ky

等差数列

巴旦是同一常数

利用定义m+i一即是同一常数

利用中项2

d/tan+2—

利用通项公式a=pn+q,其中p、q为常数

判断方法n

S“=A(/—1),其中A#0,

利用前n项和

2

Sn=an+bn(a,b为常数)q#0且g#1或Sn=〃p(p

公式

为非零常数)

二.规律方法收藏

(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；

(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加和错位相减.

(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.

(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前〃项和最值问题时，都用到了函数思想.

(5)等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.

=.学科思想培优

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要表现为：获得数

学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系.在本章中，主

要表现在构造新数列，及数列的函数性质中.

【典例1】（2021•河南高三月考（理））“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬霜

雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二

十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著

作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的谷长损益相同（号是按照日影测定时刻的

仪器，悬长即为所测量影子的长度）二十四节气及号长变化如图所示，相邻两个节气辱长减少或增加

的量相同，周而复始.已知每年冬至的辱长为一丈三尺五寸，夏至的唇长为一尺五寸（一丈等于十尺，

一尺等于十寸），则号长为七尺五寸时，对应的节气为（）

A.春分、秋分B.雨水、处暑

C.立春.立秋D.立冬.立夏

【答案】A

【解析】设从夏至开始到冬至，各节气的号长分别为卬，生，。3,…，％3,

则夏至时号长为4=15（寸），冬至时号长为63=135（寸），

因为每个节气展长损益相同，则｛4｝为等差数列，设公差为d,

所以a”=4+12d=15+12d=135,

解得d=10,

所以a”=15+（n—l）xl（）=10n+5,

由%=75,得〃=7,

即唇长七尺五寸对应的节气为从夏至开始的第七个节气，即秋分；

设从冬至开始到夏至，每个节气的署长为"，

则2=135+(n—1)•(-10)=-10/1+145,

由超=75,得〃=7,

即厚长七尺五寸对应的节气是从冬至开始的第七个节气，即春分.

所以髻长为七尺五寸时，对应的节气为春分和秋分.故选：A.

【典例2】(2021•河南驻马店市•高三期末(文))1975年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓

出土了大量记载秦法律令的竹简，其中包括徭律一条.徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服

徭戍迟到处以申斥和费罚.失期三日到五日，碎；六日到旬，宽一盾；过旬，费一甲.意思是：迟

到2天以内算正常，不处罚；迟到3~5天，口头批评；迟到6~10日，罚一面盾牌；迟到10天以

上，罚一副甲胄.若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距900里，第一天行6()

里，以后每天都比前一天少行2里，要求18天内到达，则该队服徭役的农民最可能受到的惩罚是

().

A.无惩罚B.淬C.费一盾D.费一甲

【答案】C

【解析】由题意知，每日行走的路程成等差数列，记为｛4,｝,

因为首项为60,公差为-2,所以％=-2〃+62.

设从甲地到乙地用人天，则603+62生9。。,

2

即左2—61k+900=0,解得&=25或&=36(舍),

即从甲地出发前往乙地所用的时间为25天，

因为要求18天到达，所以迟到了7天，

又因为迟到6~10日，罚一面盾牌，故应费一盾.故选：C.

【典例3](2021•宁夏吴忠市•高三一模(文))已知数列｛4｝满足4=0,用=而为","CN’.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)设”=近壬近,〃eN*,数列也｝的前〃项和S“，求证：S„<1.

%

【答案】(1)a“=而J〃+l(“eN*)；(2)证明见解析.

【解析】(1)由册q用G小得包兽

.a2a3an__y/3/A/54n\Jn+l_'Jn-yfn+l

'•4%为TT'V2V3'"V^2V^T-72-

；q=0,；.a”=而+1（“eN）

.、/d,5/72+I—yjYlJ/l+l—n11

（2）由（1）得以=三-------=I1=~r一~7-9

。〃+1yjn<n+l

1111111

.•.s„=b、+Z?2+•••+”〃1~~I--------——|...-I--------■—>-1-----------

ViV2V2A/34nM+lVn+1

当〃GN*时，•••-/==>0，，S.<1,即证.

Vn+1

二'数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运

算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在求等差、等比数列

的特定项，公差（公比），前n项和，项数的运算中.

【典例4】（2021•河南郑州市•高二期末（文））在等比数列｛《,｝中，有外%=8%，数列也｝是等

差数列，且％=%，则白+生等于（）

A.4B.8C.16D.24

【答案】C

【解析】是等比数列，.••8%=%45=%，«9*0.所以“9=8，即4=%=8,

•••也,｝是等差数列，所以用+配=2仇=16.

故选：C.

S1

【典例5】（2021•湖北荆州市•荆州中学高二期末）设等比数列｛。,｝的前〃项和为S,,,若詈=孑，

s

贝甘15=（）

113

A.-B.—C.-D.一

2334

【答案】D

【解析】••・｛4｝是等比数列，.,.S5，SKJ—S5，S|5-跖）也称等比数歹IJ,

,,言=；,设§5=2左百0=攵，

k

则$5=-后,，S[5-S]0=5,则S]5=7,

3k

.鸟1=2_=3.故选：D.

"57-2^-4

（典例6]（2021•安徽六安市♦高三一模（文））设等差数列也｝的前"项和为S,,，公差d>（）且a；=a；,

则s“取得最小值时，”的值为（）

A.3B.4C.3或4D.4或5

【答案】C

【解析】由a；=姆，可得（a1+%）（4-%）=0,

因为。>0,所以4一。700,

所以4+。7=0，所以2a4=0=>%=0-

因为d>0,所以｛a“｝是递增数列，所以4（4<%<%=0<%<4<…，

显然前3项和或前4项和最小.故选：C

【典例7】（2021•河南许昌市♦高二期末（理））在数列｛叫中，4=1,见=2,对V/eN*,

53m,、

a

n+2=24+1一/4,，则fl2021=（）

【答案】C

533

【解析】由4+2=5-5a“得%+2—4+1=-（%+|-4）

3

数列口用一%｝是以=1为首项，5为公比的等比数列,

3.

+「⑥=（5广（〃GN）

.,.当“N2时，％=（«„-一an-2）---H（。3—。2）+（。2一）+“I

2

经检验，〃=1时成立.，。“=2(二)1—1.

2

•■•«2021=2(1)202°-1,故选：C.

【典例8】(2021•广西河池市•高二期末(理))已知数列｛4,｝的前”项和为S"，％=；,对任意的

〃eN*都有〃。“=5+2)区田，则SZM=()

2019202020211010

A.----B.----C.----D.----

2020202120221011

【答案】C

【解析】数列｛q｝满足卬=；,对任意的〃eN*都有〃勺=(〃+2)。向，

则有«(rt+l)a„=(〃+1)(〃+2)。,用，可得数列｛〃(〃+1)%｝为常数列，

有〃+=2%,得〃("+1)凡=1,得a,,=1,

〃(〃+1)

111

又由4=~~~=-----7，

"(〃+1)n〃+1

所以*^2021=1---1------1--------------=1------二-----•故选：C

20-(2232021202220222022

【典例9］［多选］(2020•广东揭阳市•揭阳三中高二期中)已知数列｛。,｝的前n项和为S”=33〃-n2,

则下列说法正确的是()

A.=34-2«B.&为S.的最小值

C.同+同+…+底|=272D.|+|生|+…=450

【答案】AC

［解析［q=S］=33-1=32,

2

an-Sn—Sn_t-33n—/?—33（n—1）+（/?-1）--34—2”（“>2）,

对于〃=1也成立，

所以。〃=34-2〃，故A正确；

当〃<17时，。“>0,当n=17时a0=0,当〃>17时，an<0,

，S“只有最大值，没有最小值，故B错误；

因为当〃<17时，。“>0,；.同+同^---i-|aM=Si6=33x16-16?=17x16=272,故C正确;

同+LI+…+|%）|=&6+（-。17一%---%）

2

=2Sl6-S30=2x272-（33x30-30）

=544-90=454,故D错误.故选：AC.

三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本

形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本

章主要表现求数列的通项公式，在等差，等比数列判定、数列求和及数列开放题运用等方面.

【典例10】【多选】（2020•湖北高二期中）已知数列｛4｝的前〃项和S“满足S"M+S,,=4（〃+1）2,

下列说法正确的是（）

A.若首项q=l,则数列｛《,｝的奇数项成等差数列

B.若首项q=l,则数列｛4,｝的偶数项成等差数列

C.若首项4=1,则九=477

D.若首项6=%若对任意〃GN*,%<。向恒成立，则。的取值范围是（3,5）

【答案】BCD

【解析】由5,用+S“=4（〃+Ip①得5„+S„_,=4/（〃之2）②，

①一②可得%+%=4（〃+1）2-4〃2=8n+4=4（2n+l）（n>2）（3）,

所以a.+a,i=4(2〃-1)(“23)④,

③一④可得a,用-a,i=8(〃23),

因此数列｛4｝从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差；

若q=l,即，=%=1,则S2+B=4(1+1):即。2+2%=16,所以々=14；

由S3+S2=4(2+17得色+2§2=36,则%=6；

由+S3=4(3+厅得%+2sa=64,则4=22；

所以a3—4=5w8,=8,

因此数列｛q｝的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即A错，B正确；

此时S15—%+(6++…+45)+(凡+04+…+

-7x(7-1)]r7x(7-l)1

=1+7a,H---------x8+---------x8=477,即C正确；

2J_2

因为%,%，％，…，。2,用成公差为8的等差数列，。2，。4，。8,…，。2”也成公差为8的等差数列；

为使对任意〃eN*，an<a„+i恒成立，

只需％<。2<“3<。4，

若q=Q,由S2+S[=4(l+l)2=16,则生=16-2即由S3+邑=4(2+1了=36,可得

%=36—2S2=4+2。；由S4+S3=4(3+1)=64得。4=64-2S3=24-2a

所以〃<16—2。<4+2〃<24-2〃，解得3<〃v5,即D正确.故选：BCD.

【典例11】(2021•辽宁大连市•高三期末)在①S“=j"2一如+1(〃GN*M为常数)，②

an+l=a„+d(neN*,d为常数)，③弓用=qa.(q>0,〃eN*,q为常数)这三个条件中任选一个，补

充到下面问题中，若问题中的数列存在，求数列一'一(〃eN*)的前10项和；若问题中的数列

不存在，说明理由.

问题：是否存在数列｛qJ("cN*),其前〃项和为S“，且4=1,%=4,?注：如果选

择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

cit=Si

【解析】如果选择①，由1p„

%—工一%,

l=--k+l

4

即《

27

4=——3k-3+2k

4

k=)

解得《4

k=-L

4

该方程组无解,

所以该数列不存在.

如果选择②/+1=a,,+d(〃eN*,d为常数)，即数列｛%｝为等差数歹IJ,

a-Q13

由4=1,%=4,可得公差d3

22

CC1,31

所以为=2n~2

所以一匚+」一2111115

+…+-1―•••—|—

4o413(4a2a2a3"ioa\\78

如果选择③=«“(夕>0,〃€'*国为常数)，即数列｛叫为等比数歹U,

由q=l,%=4,可得公比4=4=2,

1I1/c、

所以------+-------=-(n>2),

所以数列I」一｝是首项为g，公比为，的等比数列，所以其前1()项和为3(1-占].

l«A+J24314力

【典例12](2021•江苏徐州市•徐州一中高三期末)设数列｛%｝,｛么｝是公比不相等的两个等比数

列数列满足%=

，｛c“｝an+btl,nEN".

(1)若4=2"力,,=3",是否存在常数人,使得数列｛C,,M—履“｝为等比数列?若存在，求k的值;

若不存在，说明理由；

(2)证明:｛%｝不是等比数列.

【答案】（1）存在，左=2或左=3；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意知，若数列｛%M—公,｝为等比数列，

则有（C,用-S『=（c„+2-3+J•（%-A*），其中〃22且〃eN*，

将c.=2"+3"代入上式，得

gm+3"+|_k（2n+3"）］2=［2"+2+3"+2-k（2n+］+3n+1）］•［2"+3"-k（2n-'+3"-1）1,

即［（2—女）2"+（3-Q3”丁=［（2—%）2川+（3—•［（2—k）2n-'+（3-左）31］,

整理得」（2—Q（3—Q-2"-3"=0,解得％=2或2=3.

6

（2）设数列｛6,｝,｛〃｝的公比分别为P，dP#4且PMHO,4，乙力0,

则%=6p"T+4

为证｛%｝不是等比数列，只需证3*%•ca,

事实上c；=（4〃+何）~=tZ12p1+2afypq+b^q2,

q•C3=（4+/?,）•（aw2+丽2）=a"2+“4（p2+/）+b；q”,

由于。工4，故p1+q°>2pq,又4力尸0,从而c；Rq•c3,

所以｛%｝不是等比数列.

【典例13］（2021•云南昆明市•高二期末（文））已知｛%｝是等差数列，也｝是递增的等比数列且前

«和为S“，2a,=4=2.+6=10,.在①4也成等差数列，②S“=2n+'+A

（X为常数）这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多

个条件分别解答，按第一个解答计分）.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）求数列｛4+仇｝的前〃项和

,,+|

【答案】条件选择见解析；（1）a“=n,2=2"；（2）y；2-2+—+-.

22

【解析】选①解:

(1)设等差数列｛4｝的公差为d,

2a]—2,%+〃8=1°，/.2q+8d=10,ax—1,(7=1,

/.an=1+(〃-1)x1=〃.

由题意知伪=2,2｛；&)=仇+2，得54=2人2+2”，

2

设等比数列｛4｝的公比为4，5b2-q=2h2+2h2q,即2/一5"2=0,

解得q=2,或4=g，由数列出｝为递增等比数列可知q=g不合题意,

所以也“｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列.

.•也=2x2"T=2"

(2)由(1)知=〃+2",

23,,

.-.7；,=(l+2')+(2+2)+(3+2)+...+(n+2))

23,,

.-.7；,=(l+2+3+...+n)+(2'+2+2+...+2))

n(i+n)2(1-2")

-ln=~2~+~1^2~

,,+1

...r2-2+—+-.

"22

选②解：

(1)设等差数列｛4｝的公差为"，

•.•2。]=2,%+。8=10,/.2q+8d=10,=1,d=T,

/.an=1+(〃-1)x1=n.

令71=1,则S]=2"i+X,.\h]=5|=4+A=2,Z=—2,

...Sn=2〃X-2

,+n

当〃22时，b„=S,-S„_l=(2''-2)-(2-2)=2"

当"=1H寸，伉=2也满足上式.

b“=2"

（2）由（1）知a“+2=〃+2",

.-.7；,=（l+2,）+（2+22）+（3+23）+...+（n+2n）,

.-.7；,=（1+2+3+...+«）+（2'+22+23+...+2,（）,

2（l-£）；乜2"「2+Y+己

"21-222

四'数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，

主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要

表现在数列的的实际应用问题中.

【典例14］（2021•河南信阳市•高二期末（理））“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载增最早

用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成

十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比