河北省邯郸市2021-2022学年高考临考冲刺数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线C：马_与=1（«>0,。>0）的右焦点与圆M：（x—2>+y2=5的圆心重合，且圆”被双曲

线的一条渐近线截得的弦长为20，则双曲线的离心率为（）

A.2B.72C.73D.3

2.如图，AABC内接于圆。，是圆。的直径，DC=BE,DC"BE,DC上CB,DC上CA,AB=2EB=2,则

三棱锥E-ABC体积的最大值为（）

3.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若Sg=16,4=1，则数列｛q｝的公差为（）

3322

A.-B.一一C.-D.一一

2233

4.已知£=（1,2）,b=（m,m+3）,c=（m-2,-i）,若Z//B，贝!![."=（）

A.-7B.-3C.3D.7

5.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.

正（主）视图傅（左）视图

俯视图

A.20定S，且26e5B.2/定S，且2月eS

c.2V2GS.且2百任SD.2V2eS）且26Gs

6.已知名，是空间中两个不同的平面，〃?，〃是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（)

A.若mua,nu0,且a_L/7,则/w_L〃

B.若mua,nua,且加〃/7,“//£,则a///?

C.若m工a,nI/。,且a_L/7,则/〃_L〃

D.若根_La,〃///7,且e//〃，则〃

7,若命题二：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题二在边长

为4的正方形二二二二内任取一点二，则二二二二＞90：的概率为二，则下列命题是真命题的是（）

8

A.二八匚B.（「匚）A二C.二八（「二）D.二

8.已知。，b,c分别是△ABC三个内角A,B,。的对边，acosC4-V3csinA=Z?+c,则4=（）

71

冗gc兀n2万

A.—B.—C.—D.—

6433

9.已知复数2=（1+。（3-1）。为虚数单位），则z的虚部为（）

A.2B.2zC.4D.4i

10.已知点A是抛物线V=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|例=加归口，

若加取得最大值时，点P恰好在以4F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）

V5—1口V2—1

A.V3-1B.V2-1

2.2

11.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100h〃/日现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数和行驶速度超过90km/h

的频率分别为（）

频率

「|SEF

。70758085W95100时速(km；h)

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

12.若双曲线上—与=1的离心率e=Y7,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()

4b-

A.273C.百

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在平面四边形---中;=4'则'=*六•=

14.设函数/(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0),若/(x)在(0,1］上的最大值为一，则。=

2

15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{4},则为)0=.

16.(5分)有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和

尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为45()cm,中间两个和尚的

身高之和为315cm,则最高的和尚的身高是cm.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(12分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,Z?sinA=3csinB,a=3,cos^=~-

(I)求6的值；

(II)求cos(28-为的值.

x=m-\------1

2

18.(12分)已知直线/的参数方程为《L(，为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐

f

Iy=——2

标系，曲线。的极坐标方程为夕2cos2夕+3225而。=12,且曲线。的左焦点尸在直线/上.

(I)求/的极坐标方程和曲线C的参数方程；

(II)求曲线。的内接矩形的周长的最大值.

19.(12分)已知/(x)=Asin(3。)(A>0,0<4,网<9)过点呜)，且当x.时，函数f(x)取得最

大值1.

(1)将函数f(x)的图象向右平移?个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式；

6

JT

(2)在(1)的条件下，函数/z(x)=/(x)+g(x)+2cos2x-l,求/z(x)在［0,,］上的值域.

20.(12分)在锐角AABC中，仇c分别是角A,8,C的对边，m=(2Z?-c,cosC),方=(a,cosA),且海〃展

(1)求角A的大小；

(2)求函数y=2sin28+cos］(-28)的值域.

21.(12分)已知变换7将平面上的点(1,；),(0,1)分别变换为点-2),设变换T对应的矩阵为

(1)求矩阵加；

(2)求矩阵M的特征值.

22.(10分)设AABC的内角的对边分别为a/,c,已知2bcos6=acosC+ccosA.

(1)求B；

(2)若AABC为锐角三角形，求工的取值范围.

a

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

22

由已知，圆心M到渐近线的距离为可得G又0=2=。2+〃，解方程即可.

7777

【详解】

由已知，c=2,渐近线方程为法土缈=0,因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2近，

lb2b,

所以圆心M到渐近线的距离为62To）2=6/=—=b故yjc2-h2

Ja2+/ca==1,

c

所以离心率为e=-=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.

2.B

【解析】

根据已知证明8E1平面ABC,只要设AC=x,则BC=」4-X2（0<X<2>从而可得体积

VE_ABC=：次（4_巧,利用基本不等式可得最大值•

【详解】

因为DC=BE,DCI/BE,所以四边形OCBE为平行四边形.又因为DC±CB,DC±CA,CBnC4=C,CBu平面

ABC,C4u平面ABC,

所以OC_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形中，AB=2EB=2,

设4C=x,则BC=14-％2（0<%<2）,

所以5彼西=；AC-8C=3x,14—f,所

以/-例=:4，4_、=、JX2（4_X2）又因为、（4—尤2）<龙+：—无］,当且仅当

（丫24一丫2、2

/（4-x2）<,即》=应时等号成立，

I2,

所以化-曲）叱4

故选：B.

【点睛】

本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为X,

用建立体积V与边长x的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值.

3.D

【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.

【详解】

依题意，S=8(qt.)=8(%t%)=]6,故/+。6=4,故/=3,故4="6二％=-2,故选：D.

822'33

【点睛】

本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.

4.B

【解析】

由平行求出参数加，再由数量积的坐标运算计算.

【详解】

由a//B,得2m—(m+3)=0,则〃z=3，

b=(3,6),c=(1,-1)>所以6.c=3-6=-3♦

故选：B.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.

5.D

【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2M，BE=7(2A/2)2+22=2^•

故选：D.

E

【点睛】

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

6.D

【解析】

利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理，对选项做出判断，举出反例排除.

【详解】

解：对于A,当mua,nu°,且C，，则〃?与"的位置关系不定，故错；

对于3,当〃〃时，不能判定。//夕，故错；

对于C,若机_La,〃///?,且。_L〃，则机与〃的位置关系不定，故错；

对于。，由/a//△可得mJ■尸，又〃///7,则wJ_/7故正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理.一般可借助正方体

模型，以正方体为主线直观感知并准确判断.

7.B

【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为二］=上=4即命题二是错误,

则r二是正确的：在边长为4的正方形二二二二内任取一点二，若二二二二＞90：的概率为二.=三士==，即命题二是

正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案（「二）A二是正确的，应选答案B。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真

假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算

公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。

8.C

【解析】

原式由正弦定理化简得GsinCsinA=cosAsinC+sinC，由于sinCwO,OvAv乃可求A的值.

【详解】

解：由。cosC+V3csinA=h+c及正弦定理得sinAcosC+V3sinCsinA=sinfi+sinC*

因为B=TT—A—C,所以sin8=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得出sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCwO,所以sin(A-5)=g.

jr

又0<A<〃，故人=一.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

9.A

【解析】

对复数z进行乘法运算，并计算得到z=4+2i,从而得到虚部为2.

【详解】

因为z=(l+i)(3-i)=4+2"所以％的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意产=-1.

10.B

【解析】

设P(x,y),利用两点间的距离公式求出根的表达式，结合基本不等式的性质求出机的最大值时的P点坐标，结合椭

圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.

【详解】

设尸(x,y),因为A是抛物线f=4)，的对称轴与准线的交点，点尸为抛物线的焦点,

所以A(0,T),下(0,1),

巾|PA|l(y+l)2+x2/(y+l『+4y

四|^(y-l)2+x2V(yT『+4y

\y2+2y+l

当y=。时，m=L

*+11+-^—<11+4

当y>。时，寸丁+2k1y+i+22+2rr

v>Vvy

当且仅当y=l时取等号，...此时p(i2,l),

\PA\=2y/2,\PF\=2,

•・•点P在以AF为焦点的椭圆上，2c=|A尸|=2,

由椭圆的定义得2a=|B4|+|P目=2忘+2,

c2c2rr

所以椭圆的离心率e=—=「=c6c=（2—l,故选B.

a2a2V2+2

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率

有以下几种情况：①直接求出a，C,从而求出e；②构造a,C的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定

义来求解.

11.B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过90km/h的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的频率为0.06x5=0.3,

,在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数为：0.3x1000=300,

行驶速度超过90km/〃的频率为：（0.05+0.02）x5=0.35.

故选：B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.C

【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得a,b,c的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.

【详解】

双曲线立一4=1的离心率《=立,

4b22

则。=2,e=?=¥，解得c=J7,所以焦点坐标为卜S,0),

所以〃=二?==百，

则双曲线渐近线方程为y二士日》，即、Qx±2y=(),

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得］=叵q=6,

V3+4

故选：C.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13._7

【解析】

由题意得=+===_==+===+:,然后根据数量积的运算律求解即可.

【详解】

由题意得三+三=(三三+三)+(三+三)=三_三，

zz+ff=(3z+ff)+(zz+ff)=ff+zf»

A;;

(Tz+zz).(zz+zf)=(ZL-zz).(zf+zz)=zz-iz=9-/d=-/

【点睛】

突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用三三表

示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷.

14.a=—

2

【解析】

2x-2

求出函数的导数，由/'(X)+。在上/可得/")在』］上单调递增，则函数最大值为

x(x-2)(0J(x)>0,(0

即可求出参数的值.

【详解】

解：/(幻=Inx+ln(2-x)+ax定义域为(0,2)

y,U)=-+—!—■+</=2x-2

—/-----r+a

xx-2x(x-2)

•.•XG(0,11,«>()

2X-2

/，(x)=、+a>0

x(x-2)

・•・/(x)在(0,1］上单调递增，

故/(x)在(0,1］上的最大值为f⑴=a=；

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.

15.5252

【解析】

根据图像归纳4=2+3+4+...+"+2,根据等差数列求和公式得到答案.

【详解】

根据图像：q=2+3,々=2+3+4,故4=2+3+4+...+〃+2,

与(2+102)x101

故40G=2+3+4+…+102=^------f-------=5252.

故答案为：5252.

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.181.5

【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为4cm，生cm,a3cm,第四个(最高)和尚的身高为qcm,则q+4+4=3%=450,解

得见=150,又见+4=315,解得%=165,又因为a2，%，4成等比数列,则公比［吟=穹=11，故

a4=0,^=165x1.1=181.5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)人="(II)&

18

【解析】

(I)根据正弦定理先求得边c,然后由余弦定理可求得边b；

(H)结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.

【详解】

(I)因为Z?sinA=3csin

由正弦定理可得，ab=3bc,

又a=3,所以c=l,

所以根据余弦定理得，29+1-〃7/，

36

解得，b-V6;

2二

(n)因为cosBn：；,所以Sin8=年，

33

cos28=2cos2B-\=-^-,sin28=2sinBcosB=±-^,

99

um万、G,14044-

叫!Jcos(2B)=——cos2B+—sin2B=——x(——)+—x---=-------也--.

622292918

【点睛】

本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.

18.(I)曲线。的参数方程为：，为参数)；/的极坐标方程为0(疝。一856»)=20；(D)16.

【解析】

(I)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

(II)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.

【详解】

22

(I)由题意：曲线C的直角坐标方程为：—+^-=1,

124

所以曲线C的参数方程为,*=2逝。°$〃(夕为参数),

y=2sin6

因为直线/的直角坐标方程为：x-y-m=O9

又因曲线C的左焦点为尸(―2万,0),将其代入x-y-加=0中，得到加=—2、历，

所以/的极坐标方程为0(sine—cos。)=2夜.

(H)设椭圆C的内接矩形的顶点为(26cose,2sine),卜26cos6,2sin6),(2百cos6,-2sin。)，

(-2石cos6,-2sin。)(0<,

所以椭圆C的内接矩形的周长为：873cos6+8sin8=16sin1+(J,

77"77"TT

所以当e+==7时，即。=二时，椭圆c的内接矩形的周长取得最大值16.

【点睛】

本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程间的互化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应

用，极径的应用，考查学生的求解运算能力和转化能力，属于基础题型.

JI

19.(l)g(x)=sin(2x--)；⑵

6

【解析】

试题分析：

⑴由题意可得函数f(x)的解析式为/(X)=sin^2x+^,贝！］g(x)=/1一=s山(2》一小.

⑵整理函数h(x)的解析式可得：MX)=2“2X+?］,结合函数的定义域可得函数的值域为［-1,2］.

试题解析：

(1)由函数"X)取得最大值1,可得4=1,函数过jo,；］得s山0=；,解<3，。=/

71

=1=>--CD+--=---\-2k7r,keZ,0<69<4,:・co=2

<6662

=sin2T

(2)h^x)=\l3sin2x-¥cos2x=2sin[+,

T回生2、+台去-冷心+作1，

-l<25zn[^2x+^<2,值域为[—1,2].

71

20.(1)A=—；(2)2

3i

【解析】

(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得cosA,进而得到A；

⑵利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为y=l+sin128qj,根据B的范围可确定28-看71的

6

范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.

【详解】

(1)•/fnlln,.,.(2b-c)cosA-«cosC=0,

由正弦定理得：(2sin3-sinC)cosA—sinAcosC=0,

即2sinBcosA—sin(A+C)=2sin3cosA—sinB=0,

5ef0,—1,/.sinB0,cosA]_

2

又问呜,乃

9A.=—

3

n7171

(2)在锐角AABC中，A=-一<5<一・

362

?1sin2B--cos2B=1+sinf2B--兀

­,•y2sinB+cosI--2B\=1-COS2B+—COS2B+—sin2B=1+—

322226

71n兀71An兀715413

：—<B<—/.一<2B----<——<sin2B<1，一<y<2,

6296669216J2-

二函数y=2sin28+cos］。一2'的值域为《,2.

【点睛】

本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换

公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.

3--

21.(1)M=2(2)1或6

-44_

【解析】

ab

(1)设用=根据变换可得关于a,4的方程，解方程即可得到答案;

ca

(2)求出特征多项式，再解方程，即可得答案;

【详解】

_3

abb^Q

⑴设”c「则~2