河北省衡水市景县2022年高考仿真卷数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列{q}的通项公式是4=〃去亩(空];r],贝)4+4+。3+…+%2=()

A.0B.55C.66D.78

2.已知将函数f(x)=sin(s+e)(0＜6,-3＜夕＜3)的图象向右平移9个单位长度后得到函数g(x)的图

TT

象，若/(X)和g(x)的图象都关于x=一对称，则3的值为()

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

3.已知集合A={1,3,5},8={1,2,3},C={2,3,4,5},贝IJ(ACB)DC=()

A.{1,2,3,5}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

4.已知等差数列{4}的公差不为零，且一，一，一构成新的等差数列，S“为{%}的前〃项和，若存在“使得S“=0,

则〃二()

A.10B.11C.12D.13

5.函数/(耳=011(如:+夕)的部分图象如图所示，则/(x)的单调递增区间为()

-------1■攵乃，----Fkjt、keZB.-------F2左4,-----F2攵4,keZ

4444

C.卜k,-------Fk,keZD.卜2k,-----卜2k,keZ

4444

6.函数/（x）=x3cosx+xln|x|在［一肛0）U（0,幻的图象大致为（）

7,若复数[满足iz—2=i,则|z|=(

A.y[2B.73

8.直线1过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线交于A,B两点，则4|AF|+|8尸|的最小值是

A.10B.9C.8D.7

22

9.已知等边A48C内接于圆T：x+j=l,且尸是圆T上一点，则西・（丽+北5的最大值是（）

A.72B.1C.6D.2

10.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）

1016

C.---71D.---71

33

11.设全集U=R,集合M=N={x|2-y},则“映n=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-00,1]

22

12.已知双曲线c：二y1（Q〉0,Z?>0）,以点P（〃,o）为圆心，。为半径作圆P,圆P与双曲线C的一

a

条渐近线交于M，N两点，若NMPN=90°,则C的离心率为（）

A.72B.y/3C.且D.—

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列佃,｝满足4用=34,且%+%+%=9,则10g］（坦+/+&9）=.

3

（1\6

14.264的二项展开式中，含6项的系数为___________.

INX）

15.已知tana=3,贝！Jcos2a=.

16.在AABC中，内角A,5,C的对边分别为a,。,c,已知B=Ja=2,b=6则AABC的面积为

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=e"sinx.

7T

⑴若左）在0,-上单调递增，求实数”的取值范围;

7T

（2）若“=1,对Vxe0,-,恒有/（X）,,区成立，求实数b的最小值.

18.（12分）如图，在三棱柱AOF-BCE中，平面ABC。_L平面ABE。侧面ABC。为平行四边形，侧面他及'为

正方形，ACYAB,AC=2A3=4,M为ED的中点.

（1）求证：EB//平面ACM；

（2）求二面角A/-AC—尸的大小.

19.（12分）如图，在四棱柱ABC。-A4G。中，底面ABC。为菱形，AB,=CB,.

（1）证明：平面_L平面ABC。；

(2)若NZMB=60。，△。耳8是等边三角形，求二面角A-8。-G的余弦值.

20.(12分)已知点P(l，T),Z=(x-l,y),方=(x+l,y),且||+|同=4,满足条件的Q(x,y)点的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在过点(0,-1)的直线/,直线/与曲线C相交于A8两点，直线PAP8与)，轴分别交于M,N两点，使

得|PM|=|PN|?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.(12分)已知函数/(x)=(x+D(e*-l).

(I)求/(x)在点(TJ(-D)处的切线方程；

(n)已知/(对之所在R上恒成立，求。的值.

eb

(皿)若方程/(幻=匕有两个实数根且不<%,证明：x2-xx<b+\+——.

e-l

22.(10分)已知函数/(x)=|x—1卜|x+2|.

(1)求不等式/(幻《2的解集A；

(2)若不等式〃对xwA恒成立，求实数机的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin(亭1•万］的值，可进一步得到数列｛2｝的通项公式，然后代入

q+a2+a.+--+al2转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当〃为奇数时，sin］若，卜sin"+1^)=sin卜+1^)=sin半=-1,

2〃+1兀

当〃为偶数时，sin-------71=sinnn-\——=sin—=1

222

所以当〃为奇数时，4=一/;当〃为偶数时，。“=〃2,

所以4+a2+/■1---1■“12

=-12+22-32+42112+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

2.B

【解析】

因为将函数/（x）=sin（ox+。）（0＜。＜6,—工＜。＜工）的图象向右平移5个单位长度后得到函数g（x）的图象,

223

可得g(x)=sin[«x—(71、

+(P=sina＞x--co+（p,结合已知，即可求得答案.

3/

【详解】

••・将函数/（X）=sin（ox+。）（0＜。＜6,-3＜夕＜9）的图象向右平移9个单位长度后得到函数g（x）的图象

/、

.冗

g(x)=sinx-y+(p=sincox——co+(p,

一I3,

7T

又•"⑺和g（x）的图象都关于'对称'

71.71

一3+夕=&兀~\----

•,由42(4，&eZ),

7171,717

-^a)-—co-\-(p=k27i+—

得《3=（匕一女2）万，（4，&eZ）,

即69=3（4-左2）（匕，&wZ）,

又：0＜。＜6,

"'-to=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

3.D

【解析】

根据集合的基本运算即可求解.

【详解】

解：•.•A={1,3,5},5={1,2,3},C={2,3,4,5},

则（AC5）DC={L3}D{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}

故选：D.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

4.D

【解析】

利用等差数列的通项公式可得4=-6d,再利用等差数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】

1I1

由一，一，一构成等差数列可得

qa3aA

J___1__J___1_

6Z3Q]

—CL-,CL-＞-CL-2d—d.

即'_x=-_1An——=—二＞4=2%

%生。3。4a\a4

又g=4+3”=＞4=2（4+34）

解得：q=-6d

77〃M

又S“=—[2a(+(«-l)J]=—(-12J+(n-l)J)=—J(n-13)

所以S“=0时，”=13.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

5.D

【解析】

由图象可以求出周期，得到口，根据图象过点(2,-1)可求。，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.

4

【详解】

T51

由图象知一=——=1,

244

27r

所以7=2,①=—=兀，

2

3

又图象过点I,-1),

37r

所以一l=sin(——+夕)，

4

3兀

故夕可取一，

4

37r

所以fM=sin(^x+—)

4

人〜兀，3万,八,71.丁

令LK71----W7TXH----W2k71H---，攵£Z,

2412

解得2k--<x<2k--,keZ

44

所以函数的单调递增区间为-3+2%,-!+2%,keZ

44

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.

6.B

【解析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.

【详解】

/（X）是奇函数，排除GD；/O）=〃（ln〃-»2）＜0,排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的判断，属于常考题.

7.D

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.

【详解】

解：由题意知，iz=2+i,

ii2-1

•••忖=|1一斗"+（_2）2=逐,

故选：D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.

8.B

【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得有+画=}=1；再由基本不等式可求得41Aq+忸月的最小值.

【详解】

由抛物线标准方程可知p=2

因为直线1过抛物线.v?=4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

ii

p

所以4|AF|+忸尸］

/

1

=(4|AF|+|Z?F|)-、府网

4\AF\

=4+1+

\BF\

因为|A目、怛司为线段长度，都大于0,由基本不等式可知

(\BF\4|Ab|)\~BF―4AF'

4+1+~~>5+2——x-~-

[网\BF\)山阴\BF\

>5+2x2

>9,此时忸耳=2|AF]

所以选B

【点睛】

本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题.

9.D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设P(cosO,sinO),则西.(而+元=)=1-cos。，计算得到答案.

【详解】

如图所示建立直角坐标系，则A(l,0),岑)，C，设P(cos6,sin。)，

则可•(而+定)=(1一cos6,-sin6)•(-1-2cos&-2sin6)

=(1-cos0)(—1-2cosG)+2sin20=2cos2^-cos^-l+2sin26=1-cos642.

当。=一不，即尸(一1,0)时等号成立.

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

10.c

【解析】

由三视图可知，该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半，所以,

半圆柱的体积为VJ='X22X乃xl=2%,上部半圆锥的体积为匕=‘x』x2乃x2?="，所以该几何体的体积为

2233

10zr

1/=吊+匕=24+学=弩，故应选C.

11.A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.

【详解】

M={x|dWx}={x|0WxWl},N={x|2'<l}={x|x<0},

eN={x|x20},

则用「立加=卜|0<%<1}=[0,1],

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题.

12.A

【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，且NMPN=90°,则可根据圆心

到渐近线距离为在a列出方程，求解离心率.

2

【详解】

不妨设双曲线C的一条渐近线版-皎=0与圆P交于M,N,

因为NM/W=90。，所以圆心P到床一做=。的距离为：-rJ^==—=—a,

^la2+b2c2

即2c2-2/=JEac，因为e=—>1,所以解得6=e\

a

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题.对于离心率求解问题，关键是建立

关于a,c的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关

系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-5

【解析】

数列｛《,｝满足“e=3%知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得log4%+%+%）的值即

可.

【详解】

4川=3”,,，

数列｛4｝是以3为公比的等比数列，

又,+%+。6=9,

%+%+%=9x3,=3'9

：.log[（%+%+）=~1°83^5=-5

3

故答案为：-5.

【点睛】

本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题.

14.-160

【解析】

写出二项展开式的通项，然后取X的指数为:求得广的值，则五项的系数可求得.

【详解】

北产品.（2五厂'上）'=（-1丫”爱力,

5r1

由3—二=一，可得r=3.

62

含五项的系数为（一1户26咒或=—160.

故答案为：-160

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.

【解析】

14

解：由题意可知：cos2a=2cos9-<z-l=2x——---------1=——.

tana+15

16月

10.----

2

【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面积公式S='acsin6计算即可.

2

【详解】

由余弦定理，得〃=a2+/-2accosB,即3=4+。2—2°,解得c=l,

故AABC的面积S=—acsinB=1叵.

22

故答案为：立

2

【点睛】

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)f-V3,+oo)(2)-J

71

【解析】

⑴求得f'(x),根据已知条件得到了'(x)NO在oj恒成立，由此得到asinx+cosx川在0,夕恒成立，利用

[_6J|_6_

分离常数法求得。的取值范围.

(2)构造函数设g(x)=/(x)-法，利用求二阶导数的方法，结合g(x)40恒成立，求得。的取值范围，由此求得力

的最小值.

【详解】

(1)f'(x)=ae<LXsinx+e'"cosx=ea\asinx+cosx)

71TT

因为/⑴在°'6上单调递增'所以八x)N0在0,-恒成立,

即asinx+cosxNO在。,二恒成立，

_6_

当x=0时，上式成立，awR

当x004/、cosx1』J1)

9有aN------=-------，需Q2,

tanx

sinxtanxI7max

而0c5，0<tanx<,---26,------<-6，故aN-6

63tanxtanx

综上，实数。的取值范围是［-6,+8)

、八兀

(2)设g(x)=/(X)—力x=e"sinx-b九，xG0,—,贝!1g'(尤)="(sinx+cosx)-〃，

x

令k(x)-e(sinx+cosx)-b9

TTjr

/2'(x)=e'(2cosx)NO,〃(幻在0,-单调递增，也就是g'(x)在0,-单调递增，

n

所以g'(x)el-b,e2-b.

当1一820即bVl时，g（x）2g（0）=0,不符合;

当＜0即N/时，g（x）—g（。）=。，符合

当1一人＜0＜/一6即1＜人＜一时，根据零点存在定理，土。€（0，T）使,（不）=°，有xe（O"o）时，g'（x）＜0.

g（x）在［0,天）单调递减，龙时，g'（x）＞°，g（x）在［%，叁单调递增，g（o）=o成立，故只需g<0

即可，有〃二一人万土40,得2上e-2Wb＜e-2,符合

271

1三7-

综上得，b＞-e2,实数〃的最小值为*e2

兀71

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法,

考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

18.（1）证明见解析（2）45°

【解析】

（1）连接30,交AC与0,连接MO,由MO//FB,得出结论；

（2）以A为原点，AC,AB,A尸分别为x,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

（1）连接BD,交AC与0,连接

在ADFB中,MO//FB,

又EB<z平面ACM,M。u平面ACM,

所以FB//平面4cM；

（2）由平面ABCDJ"平面43EF,AC±AB,AB为平面ABC。与平面A8EF的交线，故AC_L平面故

AF1AC,又AE_LA3,所以4厂_1_平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,分别为％,>,z轴建立空间直角坐标系，

4（0,0,0）,C（4,0,0）,B（0,2,0）,D（4-2,0）,F（0,0,2）,M（2,-l,l）,

设平面ACM的法向量为而=（x,y,z）,衣=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

m-AC=4x=0

,得加=（0,1,1）,

m-AM=2x-y+z=Q

平面AC户的法向量为丽=（0,1,0）,

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19.（1）证明见解析（2）0

【解析】

（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明AC_L平面即可.

由ABC。为菱形可得AC±BD,连接与和AC与BD的交点。,

由等腰三角形性质可得BQ1AC,即能证得AC，平面用；

(2)由题意知，平面A8CD,可建立空间直角坐标系。孙z,以。为坐标原点，04所在直线为x轴，0B所

在直线为＞轴，。与所在直线为z轴，再分别求出平面GB。的法向量，平面48。的法向量，即可根据向量法求出

二面角—G的余弦值.

【详解】

(1)如图，设AC与50相交于点0,连接用。，

又A3CD为菱形，故ACLBD,。为AC的中点.

又ABi=CB],故gOLAC.

又BDu平面BDD&],4。＜=平面/)。4,且8。口用。=。，

故AC_L平面BDD、B],又ACu平面ABCD,

所以平面，平面ABCD

(2)由八/拓啰是等边三角形，可得用。_LB。，故B0工平面ABC。，

所以用。，AC,30两两垂直.如图以。为坐标原点，。4所在直线为x轴，08所在直线为＞轴，。与所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系。孙z.

不妨设AB=2,则AO=,OB1=5/39

则A(G,O,O),8(010),B、(0,0,5,。(0,-1,0),4(73,-1,V3),C,(-V3,-1,A/3),

设3=(x,，X，zJ为平面。产。的法向量,

n-BD=O,2y=0,

即1r可取〃=(1,0,1),

n-OC]=0,—yJ3x]-y+6z、=0,

设肩=(九2，%，Z2)为平面A/。的法向量,

in-BD=0,即1;一()'可取温=

(-1,0,1).

m-OAi=0,VZ

\J3X2-y2+32=0,

n-m

所以cos<〃,〃?>=五百0

所以二面角4-8。-G的余弦值为0.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想

象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题.

x?v~15

20.(1)—+—=1(2)存在，y=一彳-1或y=—x-l.

43'2-2

【解析】

(D由|[+忸]=4得7(x-l)2+y2+Jx+lf+f=4看成Q(x,y)到两定点6(-1,0),(1,0)的和为定值，满足椭圆

定义，用定义可解曲线C的方程.

(2)先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线/的斜率存在时，设直线点斜式方程y=依-1,由尸M，

可得kPA+kPB=0,再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k的一元二次方程求解.

【详解】

解：⑴设6(T0)，K(L0),

由a=(x-l,y),B=(x+l,y),+同=4,

可得J(x-1)2+V+"(x+l>+y2=4,即为|。耳|+|。闾=4,

由4>归勾，可得。的轨迹是以耳(-1,0),乙(1,0)为焦点，且勿=4的椭圆，

22

由c=l,a=2,可得=="2_。2可得曲线。的方程为亍+(=1；

(2)假设存在过点(0,-1)的直线/符合题意.

当直线/的斜率不存在，设方程为D,可得M,N为短轴的两个端点,

|PM=|PN|不成立；

当直线/的斜率存在时，设方程为.丫=1,4不%-1）,8（/,3-1）

^\PM\=\PN\,可得kpM+kpw，=O,即％+%=0，

,5,5=

___f^Y_________S

可得‘2।22=0,化为2Axi工2_（%+二）（%+工2）+5=0，

%）-1x2-12

y=Ax-1、,

由；。，，，c可得（3+442）f-8依-8=0,

3x+4/=12

由（0,-1）在椭圆内，可得直线/与椭圆相交，

8k8

X.+X=-------7，中2=-----------彳

12-3+4F1-3+4公

o5gk

则2«m)-伏+”许)+5=。

化为-16k—8左（左+3）+5（3+4左2）=0,即为4&2-125+5=0,解得左=1或&=',

222

所以存在直线/符合题意，且方程为y=1或〉=1》一1.

【点睛】

本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题.（1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在

于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数

法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，

利用判别式得出是否有解.

1—P

21.（I）y=——（x+1）；（fl）a=l；（ID）证明见解析

e

【解析】

（I）根据导数的几何意义求解即可.

（II）求导分析函数的单调性,并构造函数〃（x）=/（x）-办根据单调性分析可得〃（X）只能在x=0处取得最小值求解

即可.

（m）根据（I）（II）的结论可知〃“之匕£（》+1）,/（耳2》在/?上恒成立,再分别设〃=匕£（*+1）的

ee

解为七、再根据不等式的性质证明即可.

【详解】

(I)由题/''(xAe*—l+(x+l)心故/(-l)=eT—1=1一1.且八一1)=0.

e

故/(X)在点(-1,/(-1))处的切线方程为y==(x+1).

e

(II)设〃(x)=/'(力-01：=。+1乂6*_1)一/20