河北省衡水市重点名校2021-2022学年高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是()

与

去

年

同

期

相

比

增

长

率

(

求

)

■at一4"Enetuti闻

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

2.已知八x)=±L是定义在R上的奇函数，则不等式/(*-3)。：9-7)的解集为()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

22

3.双曲线C：三一21=1(加＞0),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线。的渐近线方程为()

5m

A.2x±5y=0B.2x±V5y=0C.氐±2y=0D.氐土y=0

4.下列四个图象可能是函数y=图象的是()

X+1

5.已知以=5-2i（i为虚数单位，5为z的共轨复数），则复数二在复平面内对应的点在（）.

3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

z

6.复数z,在复平面内对应的点为（2,3）,z2=-2+z,则」

Z(

2

18.18.

A.—+—1B.---------1C.—1H—zD.-l--z

555555

2y22

7.已知双曲线G：L+=1与双曲线。2：/—?=1有相同的渐近线，则双曲线G的离心率为（）

m/H-10

5_

B.5C.75D

4-T

8.从集合｛-3,—2,—1,1,2,3,4｝中随机选取一个数记为加，从集合｛—2,—1,2,3,4｝中随机选取一个数记为〃,则在方

程江+.=1表示双曲线的条件下，方程广+q=1表示焦点在）’轴上的双曲线的概率为（）

mnmn

98179

A.B.—C.—D.—

17173535

9.设函数〃力=1口（％-1）的定义域为。，命题VXG£>,的否定是（）

VxeD,/(x)>xB.3x0e£>,/(x0)<x0

XfxiD,/(x)>xD.^xoeD,/(x0)>x0

10.函数/（x）=2x—|3x+l］在上的最大值和最小值分别为（）

22

A.一,-2B.

33

设全集U=R,集合A={x[(x—l)(x—3)20},B=■则集合（gA）n8等于（）

A.(1,2)C.(1,3)D.(2,3)

12.“-l<x+yKI且-是“Y+y24I”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.三棱柱ABC-AAG中，AB=BC=AC,侧棱M，底面A8C,且三棱柱的侧面积为3石.若该三棱柱的顶

点都在同一个球。的表面上，则球。的表面积的最小值为.

14.如图，为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角NMAN=60°，C

点的仰角NC4B=45°以及NM4C=75°;从C点测得NMC4=60°.已知山高BC=100加，则山高

15.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示:

不喜欢喜欢

男性青年观众4010

女性青年观众3080

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取，?个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取

了8人，则”的值为.

16.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，准线为/,尸为C上一点，尸。垂直，于点0,M,N分别为PQ,PF的中点，

MN与x轴相交于点R,若NNR尸=60。，则尸R|等于.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数/W=gx+l+|x-1|（xeR）的最小值为加.

（1）求团的值；

（2）若a,b,C为正实数，且——+——+——=-,证明：-+-^+->1.

ma2mb3mc3993

18.（12分）设数列｛4｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，q=l,若q,a2,生成等比数列.

（1）求。“及S”；

（2）设。产在［衣77*）,设数列他｝的前〃项和T“，证明：T“<；.

19.(12分)已知p:VxeR，M4x2+l)>x：:G[2,8J,mlog2x+1..0.

(1)若，为真命题，求实数，"的取值范围；

(2)若-TPvq为真命题且-pA"为假命题，求实数，"的取值范围.

20.(12分)已知抛物线。：丫2=20%(〃>0)的焦点为口，点P(2,〃)(〃>0)在抛物线C上，|P月=3,直线/过点

F,且与抛物线C交于A,B两点.

(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；

(2)求秋•丽的最大值•

21.(12分)在边长为6cm的正方形ABC。，E、F分别为3C、CD的中点，M、N分别为AB、C户的中点，现

沿AE、AF,哥'折叠，使3、C、。三点重合，构成一个三棱锥.

(1)判别MN与平面AM的位置关系，并给出证明；

(2)求多面体E—AFMN的体积.

22.(10分)在平面直角坐标系二二二中，以二为极点，二轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线二:

-co—二=4二加二(二>0”直线二的参数方程为一、二(二为参数).直线二与曲线二交于二，二两点.

-

■---/-二!□=-2一+-?n,_

(I)写出曲线二的直角坐标方程和直线二的普通方程(不要求具体过程)；

(II)设若「，「一|，厂成等比数列，求-的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度QDP总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1+(1+3.3%)«4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

2.C

【解析】

由奇函数的性质可得4=1,进而可知/(x)在R上为增函数，转化条件得X-3<9-V,解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为/(力=?三是定义在R上的奇函数，所以〃1)+/(-1)=0,

1-1

即——+-f—=0,解得4=1,即/•(X)=£_i=l__—,

e+al+a八)e'+le'+\

e

易知/(x)在R上为增函数.

又〃x—3)</(9—犬)，所以x_3<9—Y，解得-4<x<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

3.B

【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程后尤-指y=(),再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出〃？，进而求

出渐近线的方程.

【详解】

设左焦点为(-c,o),一条渐近线的方程为〃?X-=0,由左焦点到渐近线的距离为2,可得I二1=五=2,

所以渐近线方程为y=±%，即为2x±J^y=0,

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

4.C

【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由y=的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，因为)，=返回为

xx

奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据x>()时函数值，排除5,即可得解.

【详解】

...丁=§空］:+”的定义域为{x|x。一1},

其图象可由y=四四的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，

X

...y=51og；|x|为奇函数,图象关于原点对称，

X

...y=5喧的图象关于点(-1,0)成中心对称.

x+1

可排除4、。项.

当X〉0时，尸5理1.+11〉0,.•.8项不正确.

x+1

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档

题.

5.D

【解析】

设2=。+例,(凡》6/?),由弓=三一2"得［―2i=a—S+2)i=®/£，利用复数相等建立方程组即可.

【详解】

\ja2+b2

设z=a+",(a,8eR),贝(Iz—2i=a—S+2)i=―。；。,所以<a=-----------

3

b+2=0

'二旦厂r-

解得一―三，故z=3-2i,复数z在复平面内对应的点为（3，-2）,在第四象限.

Z?=-222

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，涉及到共扼复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

6.B

【解析】

Z]

求得复数4,结合复数除法运算，求得」的值.

Z2

【详解】

口“c>…2+3,_(2+3i)(—2—i)_(2+3i)(—2T)-1-8/18.

易知4=2+3,则Z?二2+广(-2+根-27)_-=----------1

5555

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

7.C

【解析】

由双曲线G与双曲线G有相同的渐近线，列出方程求出”的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案.

【详解】

222

由双曲线£:上+二一=1与双曲线C,:/-二=1有相同的渐近线,

mm-104

22

可得2,解得此时双曲线G：»】，

则曲线G的离心率为e=f=4三=6,故选C.

aV2

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8.A

【解析】

设事件A为，，方程二+2=1表示双曲线，，，事件8为“方程二+2=1表示焦点在y轴上的双曲线”，分别计算出

mnmn

尸(A),代4?),再利用公式P(8/A)=+P(AiR}计算即可.

P(A)

【详解】

v-2v2r22

设事件A为“方程工+匕=1表示双曲线”，事件B为“方程工+匕=1表示焦点在y轴上

mnmn

3x3+4x?17Q

的双曲线”，由题意，尸(A)=——=—,P(AB)=U=弓，则所求的概率为

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17

故选：A.

【点睛】

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

9.D

【解析】

根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】

因为，：VXGZ),/(x)Wx是全称命题，

所以其否定是特称命题，即/(%))＞外).

故选：D

【点睛】

本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

10.B

【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.

【详解】

u,c1

5x+1,—2«x<—

依题意，/(x)=2x—|3x+l|=・]3

-x-1,——<x<1

I3

作出函数/(x)的图象如下所示;

19

由函数图像可知，当X=—§时，/(X)有最大值—

当x=—2时，“X)有最小值—9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.

11.A

【解析】

先算出集合aA,再与集合3求交集即可.

【详解】

因为A={x|xN3或xVl}.所以dA={x[l<x<3},又因为8={x12*<4}={x|x<2}.

所以@A)c8={x[l<x<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.

12.A

【解析】

画出“-14x+y«1,-1<y<1,丁+/4],所表示的平面区域，即可进行判断.

【详解】

如图，“一14%+丁＜1且—1«万一丁41”表示的区域是如图所示的正方形,

记为集合P,+表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q,

显然P是。的真子集，所以答案是充分非必要条件，

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式表示的平面区域问题，考查命题的充分条件和必要条件的判断，难度较易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4万

【解析】

分析题意可知，三棱柱ABC-4瓦G为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O,

设棱柱的底面边长为明高为〃，则三棱柱的侧面积为3a/=36,球的半径表示为R=JJ,再由重要

不等式即可得球。表面积的最小值

【详解】

如下图，

,:三棱柱ABC-A31G为正三棱柱

/.设AG=a,BB[=h

••三棱柱的侧面积为3a•h=3G

a-h—A/3

二外接球表面积S=4;rR224乃.

故答案为：4万

【点睛】

考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出

图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题

14.1

【解析】

试题分析：在AABC中，•••N8AC=45。,ZABC=90。,BC=100,.•.AC=32_=100&,在AAMC中，

sin45°

'.INM4C=75°,ZA/C4=60°,/.ZAMC=45。，由正弦定理可得———=————即期=1000解

sinZACMsinZAMC'sin60°sin45°,

得AM=10()6,在R/AA/WTV中，MN=AM-sinZMAN=10073xsin60°

=150("。.

故答案为1.

考点：正弦定理的应用.

15.32

【解析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.

【详解】

Q1

由题可知，抽取的比例为被调查的总人数为40+1()+3()+8()=16()人，

则分层抽样的样本容量是gX160=32人.

故答案为：32

【点睛】

本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.

16.2

【解析】

由题意知：|切|=2,归司=俨。|,MN//QF,PQ〃。宠.由NN"=60。，可得△「。尸为等边三角形，MFLPQ,

可得尸为小?的中点，即求|FR|.

【详解】

•••抛物线C：y2=4x的焦点为F,准线为I,P为C上一点

；,\FH\=2,\PF\=\PQ\.

'：M,N分别为尸。，PF的中点，

:.MN//QF,

•••PQ垂直/于点Q,

：.PQ//OR,

=|PQ|,NNM=60。，

...APQF为等边三角形,

：.MF±PQ,

易知四边形MQHF和四边形MQRR都是平行四边形,

，尸为"R的中点,

：.\FP\=\FH\=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)m=J(2)证明见解析

2

【解析】

(1)分类讨论，去绝对值求出函数/(x)的解析式，根据一次函数的性质，得出/(x)的单调性，得出f(x)取最小值,

即可求〃，的值；

(2)由(1)得出=利用“乘1法”，^a+2h+3c=(a+2b+3c)\-+^-+^-\,化简后利用基本

a2b3c2h3cJ

✓72Z?c

不等式求出a+2/7+3c29的最小值，即可证出一+一+—21.

993

【详解】

’3八

——x,x^-2,

(D解：/(x)=；X+1+|x—l|=，1cc,

----x+2,-2<x<1,

2

—X,x>1,

[2

当xe(一叫1)时，f(x)单调递减；当XG[1,+8)时，.f(x)单调递增.

3

所以当x=l时，取最小值/〃=士.

2

(2)证明：由(1)可知，+」-+-5-=i.

a2b3c

HyEa2hc.口…十。2〃3ca+2b+3c.

要证明：—I-----1-21,即证—I------1-----=---------------21,

9939999

因为〃，b,。为正实数，

所以。+2b+3c—(a+2b+3c)|—i-----1-----|

Ia2b3c)

_aa2b2b3c3c

=3+—+—+—+—+—+—

2h3ca3ca2b

a2b>(2b3c｝

3+一+一+卜停+/3+2+2+2=9・

2ba

3

当且仅当。=2b=3c,即a=3,b=~,c=l时取等号,

2

g、，a2bc、，

所以一+—+->1.

993

【点睛】

本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.

2

18.(1)an=2n-l,Sn=nt(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题中条件求出等差数列｛4｝的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列｛4,｝的通项和前〃项和;

(2)根据裂项求和求出7“，根据的表达式即可证明？；<；.

【详解】

(1)设｛《,｝的公差为“，

a.=1]q=l

由题意有<2/\2/…

a2=d]-a5[(q+Q)=q・(q+4d)

倔=1

且d,

d=2

所以=1+2(〃-=,

c〃(4+4)„2

S“=-----------=〃5

_^.=1

(2)因为我

a3—1+/1+1J

7Hi--i-------i---<一i

n+144(/?+1)4,

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

1)

19.(1)—,+00(2)m<-l或〃？>一

4)4

【解析】

(D根据P为真命题列出不等式，进而求得实数机的取值范围；(2)应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”

真，一真"或，，为真，两真“且”才真.

【详解】

(1),/VxeR-+1)>x,

二〃2>0且1—16/7?<0，

解得机〉，

4

所以当，为真命题时，实数加的取值范围是

(2)由王:£[2,81,7%log2x+1N0,可得三不£[2,8],〃22---一，

i°gzx

又•.•当xw[2,8]时，一■；----e-1,--,

log?%L3」

•.•当夕为真命题，且-P入4为假命题时，

与夕的真假性相同，

m<—

当〃假夕假时，有J4,解得〃2<-1;

m<-1

.1

m>—\

当〃真4真时，有14,解得加>公；

m>-1

故当-1Pvq为真命题且力Aq为假命题时，可得根<_]或〃?>■!.

4

【点睛】

本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对

这些知识的掌握水平和分析推理能力.

20.(1)y2=4x,P(2,2码;(2)1.

【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

2

(2)设直线/的方程为：x+my-1=0,代入y2=4x,y+4my-4=0,设A(xi,ji),B(x2,以)，则yi+y2=-

2

4/n,jij2=-4,XI+X2=2+4/?I,XIX2=1,而=(%-2,yx-2A/2),而=(M-2,%—20),由此能求出西•丽

的最大值.

【详解】

(1)・・,点产是抛物线V=2px(p>0)的焦点，P(2,jo)是抛物线上一点，|P川=3,

2+~=3,

2

解得:p=2,

・•・抛物线。的方程为V=4x,

,・♦点P(2,〃)(〃>0)在抛物线C上，

:.〃2=4X2=8,

由〃>0,得〃=2啦,：.P(2,272).

(2)VF(1,0),J设直线/的方程为：x+my-1=0,

代入y2=4x,整理得，y2+4my-4=0

设A(Xl,ji),B(必，J2),