河北省廊坊市香河县2021-2022学年高二下学期数学期末试卷

河北省廊坊市香河县2021-2022学年高二下学期数学期末试卷

阅卷人

-------------------、单选题(共8题；共16分)

得分

1.(2分)已知全集U=R,函数y=ln(l—%)的定义域为M,集合N={%|/+5久—6<0},则下

列结论正确的是()

A.MCiN=NB.MUN=U

C.MCI(QN)=0D.Mc(QN)

【答案】A

【解析1【解答】函数y=ln(l—%)的定义域为M=[x\x<1},

集合N={x\x24-5x—6<0]={x|—6<x<1},

而(QN)={x\x<-6或x>1},

对于A,MCiN={x\x<1}D[x|-6<x<1}={x|-6<x<1}=/V,故正确；

对于B,MUN={x\x<1}U[x|-6<x<1}={x\x<1}=M#U,故错误；

对于C,Mn(QN)=(x\x<1}Cl[x\x<-6或%>1}={x\x<-6]丰0,故错误；

对于D,由"={刈》<1},(QN)={久|%W-6或％21},所以M不是QN的子集，故错误.

故答案为：A.

【分析】求出M=(x\x<1},N={x\x2+5%-6<0}={x|-6<x<1},(QN)={x\x<一6或

%>1}，然后根据集合的运算逐项判断可得答案.

2.(2分)下列说法中正确的是()

A.匕>5”是“X>3”的必要不充分条件

B.命题“对V%€R,恒有7+1>0”的否定是F久eR,使得/+1<0”

C.在同一直角坐标系中，函数y=2工与y=Igx的图象关于直线y=%对称

D.若塞函数/(x)=机工。过点弓，¥),则m+a=|

【答案】D

【解析】【解答】对于A选项：“x>5”是“X>3”的充分不必要条件，所以A选项不正确；

对于B选项：命题“对VxeR,恒有/+1>0”的否定是叼xeR,使得/+1式0"，所以B选项不

正确；

对于C选项：在同一直角坐标系中，函数y=2%与y=log2%的图象关于直线y=%对称，所以C选

项不正确；

对于D选项：因为幕函数/（%）=2过点亭），所以号=7n（/,且6=1,解得a=4,即

m+a=楙，所以D选项正确；

故答案为：D.

【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与

指数函数的关系判断C选项；由嘉函数的定义求参数即可判断D选项.

3.（2分）随着人们生活水平的提高，产生的垃圾也越来越多，而进行垃圾分类管理能将这些垃圾转

化为新能源，同时还能让这些垃圾得到有效的处理，这样能减少对土壤的危害，防止污染空气，但

是人们对垃圾分类知识了解不多，所以某社区通过公益讲座的形式对社区居民普及垃圾分类知识，

为了解讲座的效果，随机抽取了10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识

问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图所示，则（）

95%

90%

蓄85%

骞80%*讲座前

由75%•讲座后

70%

65%

居民编号

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】【解答】解：对于A,讲座前问卷答题的正确率从小到大为：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

••・讲座前问卷答题的正确率的中位数为：70与7咨=72.5%，A不符合题意;

对于B,讲座后问卷答题的正确率的平均数为:

1

高（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）=89.5%>85%,B

符合题意；

对于C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，

••・讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，C不符合题意；

对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%-80%=20%,

讲座前正确率的极差为：95%-60%=35%,

••・讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】对于A,求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B,求出讲座后问卷答题

的正确率的平均数进行判断；对于C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答

题的正确率相对集中，进行判断；对于D,求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的

极差，由此判断D.

4.（2分）如图所示，在长方体48。。一4816。1中，40=411=2,AB=4,点E是棱的中

点，则点E到平面AC%的距离为（）

AEB

A.1B.1C.gD.V2

【答案】B

【解析】【解答】解：设点E到平面AC%的距离为h,

因为点E是棱的中点，

所以点E到平面AC%的距离等于点B到平面AC。1的距离的一半，

又平面ACDi过BO的中点，

所以点B到平面ACDi的距离等于点D到平面ACDi的距离，

由等体积法VD-4CDI=V/Ji-ACD，

-1-1

所以9S"CDi,2h=飞S>ACDeDDI，

SSACD=*X2X4=4，DD]=2,

在△ACDi中，AD±=2V2,AC=CD1=2A/5,

所以S“c4=*x2四xJ(2V5)2-(V2)2=6,

则gx6x2八=恭4x2

解得九=I,

即点E到平面/CD1的距离为|.

故答案为：B.

【分析】设点E到平面力CQ的距离为h,根据力_48]VD.-ACD，利用等体积法即可得出答案.

5.的图像可能是（）

_sM(-x)_sinx

【解析】【解答】解：f（-X）=ln\-x\=~Tn\x\=-f（X）,则函数f（X）是奇函数，图象关于

原点对称,

排除B,D,

函数的定义域为{x|x，O且x杜1},

由f（x）=0得sinx=0,得距离原点最近的零点为兀,

则£(I)=普=/<0,排除C,

oZng/rig

故答案为：A.

【分析】利用函数的奇偶性，定义域和特值法进行判断，即可得到函数图象.

6.(2分)某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用

分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数

列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高

168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费

用最多需要()

A.3233万元B.4706万元C.4709万元D.4808万元

【答案】C

【解析】【解答】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为即万元(n=l,2,3,…，10),

口Ietc—=42,广广tI—a1g=42,.„/口（nn=3,t,c

则52所以1：解得4:'故Qio=Qiq9=1536.

。7—=168,——168,1q=2.

依题意入+1536<1700,即x<164.

所以总费用为10x+ai+a2+…+%0=io%+3（匕1）=10%+3069<4709-

故答案为：C.

【分析】设备费为即万元，根据等比数列的性质可得的一例=42,,由此可求出a”=口他乡=

Q7—04=168,

1536；设每个实验室的装修费用为x万元，由题意可知久+1536W1700,即xW164,再根据等比数

列前n项和，即可求出结果.

7.(2分)已知/(X)=+6℃+b的两个极值点分别为久1，%2(%1。%2)，且%2=微％1，则

函数/(X1)—/(%2)=()

A.-1B.1C.1D.与b有关

【答案】B

2

【解析】【解答】/'(%)=——5ax+6a,故％i+%2=5a,x1x2=6a,S.25a—24a>0,

又42=9％1，所以=2a,%2=3a,故6a=6&2,解得a=0(含■)或者a=1.

此时尤1=2,冷=3，/(x)=^x3—|x2+6x+b>

故fQi)-f(X2)=/X(8_27)遥(4_9)+6(2-3)='

故答案为：B.

【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到久i+%2=5a,%ix2=6a,且25a2-24a>0,解方

程组可以得到了i=2,x2—3>a=1从而可求/(%i)-7'(型)。

8.(2分)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子''的称号，他和阿基米

德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用[制表示不超过x的最

大整数，则丫=[对称为高斯函数，例如：[一3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数/(%)=黑f+5

。(吗=[/(%)]，则下列叙述正确的是()

A.g(x)是偶函数B./(%)在R上是增函数

C./(%)的值域是(一±,+00)D.g(x)的值域是{—1,0,1}

【答案】B

【解析】【解答】对于A,根据题意知，〃%)=咨+卜、高.

7v7l+e"Z2l+ex

♦..g(2)=[/(2)]=g5一言2]=2,

g(-2)=[/(-2)]=[匿当+刍=[岛+}=o，

g(2)Kg(-2),.,.函数g(x)不是偶函数，A不符合题意；

对于B,•;)/=1+靖在R上是增函数，则旷=熹在R上是减函数，则/(%)=£一高在R上是增函

数，B符合题意；

对于・・・即/(%)的

C,,•e”>0,.•1+e”>1,0v-V2,-2<,x<0,.•</(%)<§,

1+e"l+e2)、)2

值域是&,|),c不符合题意；

对于D,•.•/(%)的值域是I),则g(x)的值域是{0,1,2},D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】计算得出g(2),g(-2)判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出

/(x)在R上是增函数，判断选项B正确；由y=l+e*的范围，利用不等式的关系，可求出

/(x)<|，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.

阅卷人

—二、多选题(共4题；共8分)

得分

9.（2分）已知复数z=l+6i，。为z的共趣复数，复数3=9,则下列结论正确的是（）

A.3对应的点在复平面的第二象限

B.|o）|=1

C.3的实部为

D.3的虚部为一整i

【答案】B,C

【解析】【解答】解：因为z=l+gi,所以2=1—Ki,

由2z1-V3i（1一、闵）（1-丹i）-2-2万i1乃.

所以“=万=强标=（］+南（］二廓==一2一亍，

即实部为-义，虚部为一夕，对应的点为（_［,—卓）在第三象限,

乙乙LL

1^1=j（一》2+（一空/=+1=1，

AD不符合题意；BC符合题意.

故答案为：BC.

【分析】根据共辗复数的定义及复数的除法运算求出复数3=-±-亨i，再根据复数的实部和虚部

的定义即可判断CD；根据复数的几何意义可判断A；根据复数的模的计算公式可判断B.

10.（2分）在A4BC中，点。满足前=反，当点E在线段40上（不含A点）移动时，记荏=2荏+

〃而则（）

A.A=2/zB.4=〃

c.3+〃的最小值为1D.2+〃的最小值为4

【答案】B,C

【解析】【解答】•••丽=觉，二O是BC中点，则而=/（而+而），又点E在线段40上，即

1..1

A,E,。三点共线，设ZE=WL4O（0<mW1）,故4E=mA。=2血（48+AC）,4=〃=2m.B对A

不符合题意.

白+〃=3+422J幺•%—1,当且仅当去—z时,即a=4，c对.

*+〃=*+4在46（0,刍上单调递减，当;1=抓最小值孝，D不符合题意.

故答案为：BC

【分析】根据中点和向量共线，可得荏=771而=；771(而+照)，进而可得/1=〃=3M，然后根据

基本不等式以及对勾函数可求最小值.

11.(2分)已知正数x,y,z，满足3X=4，=12Z，则()

12

+C442

<<--=X+y>Z寸<Z

A.6Z3X4yB.XyD.

【答案】A,C

11

【解析】【解答】由题意，可令3、=4丫=122=巾>1,由指对互化得：此3=%，忌"=

y，［og：i2=Z，由换底公式得：=log,n3-^=lo§m44=logm12'则有［+"=B不符合题

思；

-1OA42

=1012,O9

对于A，z~x§)71~gm=SgmW>0，所以％>2z,又因为---=logm81-

logm64=logm||〉o，所以4y>3x,所以4y>3x>6z,A符合题意；

111

为

因+所以z=条；，所以4z2—盯=""二哼次=一型咨<

X-y一=Z-

O

所以xy>4z2,贝ijz(x+y)>4z2,贝ijx+y>4z,所以C符合题思，D不符合题意；

故答案为：AC.

【分析】由题意，可令3”=4y=12Z=7H>1，再利用指数与对数的互化公式，得出忒5=

==z,由换底公式得出1+/=再利用对数的运算法则结合对数函数的单调

性，再结合作差比较大小法，进而选出不等式成立的选项。

12.(2分)已知函数/(久)=黄詈，以下结论中正确的是()

A./(%)是偶函数B./(%)有无数个零点

C./(%)的最小值为一D./(%)的最大值为1

【答案】A,B,D

、cosf—7TX)COS7TX”、

【解析】【解答】对于A选项：因为f(x)的定义域为R,则/(-%)=%:=/(%)，所以

/'(久)是偶函数，A选项正确；

对于B选项：令/(%)=0,贝!Jcosm=0,所以兀%=而+eZ),解得％=k+eZ),所以

/(%)有无数个零点，B选项正确；

对于C选项：因为/(1)=一手所以若/(%)的最小值为-热贝以=1是f(x)的一个极小值点，而

/㈤=(兀x2+7r)sin7rxq2scos7rx,则，⑴=27TSin7r+2cos7r_10)

(%2+1)，、42

x=1不是函数的极小值点，C选项错误；

对于D选项：因为一1wCOS兀XW1,X2+1>1，当久=0时，COS7T支取到最大值1,/+1取到最小

值1,所以此时/(%)取到最大值1,D选项正确；

故答案为：ABD.

【分析】利用函数的性质，三角函数的性质及导数与单调性及极值，及最值关系检验各选项即可判

断.

阅卷入

一三、填空题(共4题；共5分)

得分

13.(1分)已知随机变量X〜B(2,p),P(X=1)=}则。(X)=.

【答案】J

【解析】【解答】解：随机变量X〜B(2,p),则P(X=l)=dp(l—p)=会

即p2—2+/=0,所以p=i,

而D(X)=2xp(l-p)=2x*x(1/

故答案为：!

【分析】根据二项分布的概率公式求出p=%再根据二项分布的方差公式计算可得.

14.(1分)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)=.

®/(x)>0；0/(-%)+/(%)=2.

【答案】x+1(答案不唯一)

【解析】【解答】解：若/(%)=%+1,则/'(%)=1，满足性质①；

/(—%)+/(%)=(-x+l)+(x+l)=2,满足性质②.

故答案为：x+1(答案不唯一)

【分析】根据函数的的单调性和奇偶性求出函数的解析式即可.

15.（1分）若实数a>1,b>2满足2a+b—6=0，则工+言的最小值为

a—1b—Z--------

【答案】4

【解析】【解答】解：：a>l,b>2满足2a+b-6=0,

2（a-1）+b-2=2,a-l>0,b-2>0,

则〃11+〃11+（2、）[2（a-1）+b-2]x,

a—lb—Za—1b—Z2

=4（4+W+^?）|（4+=|（4+4）=4-

当且仅当二=斗印且2a+b-6=0即a=尚，b=3时取得最小值为4.

a—1D—zz

故答案为：4.

【分析】先由己知等式变形，得到2（a-1）+b-2=2,再把所求整理，利用基本不等式即可求出最

小值.

16.（2分）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为

社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改

良前所排放的废气中含有的污染物量为2mg/cm3,首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为

1.94mg/cm3.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为小（单位：mg/cm3）,首次改良后所排放

3

的废气中含有的污染物量为勺（单位：mg/cm）,则第n次改良后所排放的废气中的污染物量rn

（单位：mg/cm3）满足函数模型r”=ro-To-x5°'"+P（pcR,n€N*）.

（1）（1分）％-；

（2）（1分）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过0.08mg/cm3,则

至少进行次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.（参考数据：lg2*

0.3）

【答案】（1）2-0.06x5O-5n-°-5（neN*）

（2）6

【解析】【解答】⑴由题意得r0=2,r1=1.94,

所以当九=1时，n=r0-(r0-n)x505+P,

即1.94=2-(2-1.94)x505+P,解得p=-0.5,

5n-05

所以rn=2-0.06x5°--(nGN*).

(2)由题意可得%=2-0.06x50-5n-0-5<0.08)

整理得5().5n-0.5>盖I，即5O.55O.5232，

可得0.5zi—0.5>loggSZ=j.一igz,即n21—ig/+1,

由lg2«0.3,得n之乎+1=5,3-

又nCN*,所以nN6,

故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.

故答案为：2-0.06x50-5n-a5(nwN*)；6.

【分析】(1)先由2,71=1.94,求出p=-0.5,即可得到心的表达式；

(2)由题意可得％=2-0.06X50-5"一°-530.08,两边取对数，解不等式得到n26,即可得到答案.

阅卷人

四、解答题(共6题；共55分)

得分

*12

17.(10分)已知a<3,设4={x|%2—(3+a)x+3a<0},B=(x\log3(x+4x+4)>2}.

(1)(5分)若“工€力”是“XCB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)(5分)若“4C4”是“x€CRB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)解：因为%2—(3+d)x+3a<0,a<3，解得：a<x<3,所以4=(a,3).又因为

2

log3(x+4%+4)>2,即炉+4%―5〉o,所以久<-5或无>1,即B=(―8,—5)U(1,+oo),

因为“xCA”是"xCB”的充分不必要条件，则有所以有(a,3)$(-00,-5)U(l,+00),

即a21且a<3,所以实数a的取值范围是aW口，3)

(2)解：因为B=(—8,—5)u(l,+8),所以CRB=[-5,1],又“xe2”是"％eCRB”的必要不

充分条件，则CRB04,即[一5,1]旱(a,3),所以实数a的取值范围是aC(-8,-5).

【解析】【分析】(1)先分别解出集合4=(a,3),B=(-00,-5)u(1,+00),由“xeA”是“xe

B”是的充分不必要条件，得到4列不等式，即可求得；

(2)先求出CRB=［—5,1］,由"%eA”是"xeCRB”必要不充分条件，得到CRB崔4即可求出实

数a的取值范围.

18.(5分)已知/(%)是定义在［一1,1］上的奇函数，且/(I)=1,若a,be，且a+

b。0时，有/兜仔)>0恒成立.

Q+/)

(I)用定义证明函数/(%)在［一1,1］上是增函数；

(II)解不等式：/(X+1)</(I-X)；

(III)若/(%)<m2-2m+1对所有尤C［-1,1］恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】证明：(I)设任意xllX2e［-1,1］且Xi<%2，由于/(%)是定义在［一1,1］上的奇函

数，，/(X2)-f(Xl)=/(久2)+因为X1<x2，所以％2+(-X1)H0,由己知有

9；忆［jl)>0,：%2+(-％1)=%2一%1>0，•,•/■(%2)+/(一/)>0,即/，所

1

-1<X+^<1

以函数/(%)在［一1,1］上是增函数.(H)由不等式/(%+&<f(l—x)得｛—1S1—久工1,

z1

%+,V1-X

解得OWx</(III)由以上知/(%)最大值为"1)=1,所以要使/(x)Wm2—2m+l对所

有久e［-1,1］,只需1W一2m+1恒成立，得实数m的取值范围为mW0或622.

【解析】【分析】(1)由函数的单调性定义即可证明出函数的单调性。(2)利用(1)函数的单调性即可得

出关于x的不等式解出即可。(3)由函数的最大值再结合二次函数再指定区间上的最值情况即可得出

关于m的不等式，解出m的取值范围即可。

19.(10分)某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网络问

卷调查，统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成［3,4),

［4,5),［5,6),［6,7),［7,8］五组，整理得到如下频率分布直方图：

2

参考公式：K2二中昂篇备En=a+b+c+d.

参考数据①:

P(K2>fc0)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

②若X〜N(4,M),贝ijP(〃-c<XW〃+<T)=0.6827,P(〃-2c<XW〃+2c)=

(2)(5分)此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足f〜N(〃,0.36),其中M等于甲班学

生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8］的概率.

【答案】(1)解：由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：

(0.250+0.050)x1X40=12人，则甲班学习时间少于6小时的人数为28人；

同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为(0.250+0.200)x1x40=18人，

则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.

由此得到2X2列联表：

不少于6小时少于6小时总计

甲班122840

乙班182240

总计305080

7

因为/<2=80X(12X22-18X28).=192<3841,

K40x40x30x50

所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.

(2)解：甲班学生学习时间的平均数

林=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25X6.5+0.05x7.5=5.6.

<T=VO.36=0.6,

所以P(6.2<fW6.8)=P(〃+c<fW〃+2。)

_PQi—2(r<XW4+2。)—PQi-cr<X</z+cr)

二2

0.9545-0.6827

=------2------=01359.

即甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8］的概率为0.1359.

【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图分别求出甲班、乙班学习时间不少于6小时和少于6小

时的人数，完成2X2列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；

(2)先求出班学生学习时间的平均数卬再根据正态分布的性质求解.

20.(10分)△ABC中，内角为A,B,C,所对的三边分别是a,b,c,已知用=M，cosB=

⑴(5分)求盛+金；

(2)(5分)设瓦5猊=|,求a+c.

【答案】(1)解：•・・b2=ac・•・sin2B=sinAsinC

vcosB=不且B为三角形内角・•・sinCA+C)=sinB=—r-

44

**tan?l+tanC-sinA+sinC-7V

(2)解：BA-BC=，cosB=^••CLC-cosB=^ac=

则〃=ac=2

222222

•na+c-ha+c-2(a+c)—2ac—23

•,cosB=-------=----1

2ac4------=----------4-----------=4-T

•<*(a+c)29，a+c=3

【解析】【分析】(1)由正弦定理得silB=sizMs沆C,由题意得sinB=，，再由切化弦和两角和的

正弦公式，化简即可得解；

(2)由向量的数量积的定义可得ac=2,再由余弦定理可得a+c=3.

21.(5分)己知/'(%)=xlnx,g(x)——x2+ax-3.

(I)求函数/(%)御t,£+2］(t>0)上的最小值；

(II)若对一切％C(0,+8),2/(%)2g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(III)证明：对一切为e(0,+00),都有血>我一2成立.

【答案】解：(I)/'(%)=历久+1,当%€(0,1),f(x)<0,/(x)单调递减，

当％C©,+00),/(%)>0,/(%)单调递增.

①0<t<t+2<",t无解；

②0<t<4<t+2,即0<t时，f(x)min=熊)=-今

®|<t<t+2,即t2/时，/(%)在［t,t+2］上单调递增，

f(.x)min=/(t)=tint,

0<t<-

所以ee

(tint,t>-

o

(II)2xlnx>—x2+ax-3,则a42lnx+%+-，

x

设九(%)=2lnx+%+,(%>0),则九'(x)=.1),

%6(0,1),/iz(x)<0,h(x)单调递增，%G(1,+oo),/i\x)>0,

h(x)单调递减，所以讥=h(l)=4,

因为对一切％6(0,+oo),2/(x)>g(%)恒成立，

所以a工Kx)min=4；

(HI)问题等价于证明％仇%>云-1(%€(0,+oo)),

由⑴可知/(%)=xlnx^x6(0,+8))的最小值是—：，当且仅当先=1时取到，

设M(X)j(X6(0)+8)),则加(X)=g

易得机⑴租以=m(l)=—p当且仅当％=1时取到，

从而对一切工€(0,4-co),都有"—2成立.

【解析】【分析】(I)求出f'(x)=Inx+1,分别令/(%)>0得增区间，f(x)<0得减区间，分三种

情况讨论，从而可得函数f(%)在［3t+2］的最小值；

(II)2xlnx>-x2+ax-3,则+%只需证a工九⑴血讥即可；

(III)问题等价于证%仇》>云—叁(％w(0,+8))明，由%"W(0,+8))的最小值是

-J，一(%)=今一、(％W(0,+8))最大值为巾(%)2=血1)=一小

22.(15分)已知函数/(X)=Inx+2x—ax2,aeR.

(1)(5分)若/(%)在x=l处取得极值，求a的值；

(2)(5分)设g(%)=/(%)+(a-4)》,试讨论函数gQ)的单调性；

(3)(5分)当a=-2时，若存在正实数xltx2满足/(%i)+/(%2)+3/工2=+%2，求

1

证：+%2>2•

【答案】(1)解：因为/(%)=Inx+2%—ax2,所以/'(%)=1+2—2ax,

因为/(%)在％=1处取得极值，

所以f(l)=1+2-2a=0,解得a=|.

验证：当a=|时，/(x)在％=1处取得极大值.

(2)解:因为g(x)=/(x)+(a—4)x=Inx—ax2+(a—2)x

所以g'(%)=g-2ax+(a-2)=-(""+1乎"-D(%>0).

①若a>0,则当xG(0,J)时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,｝上单调递增；

当xe时，^(%)<0，.1.函数g(x)在得+8)上单调递减.

②若a<。，g，(x)=_a(x+12I%>o),

当”一2时，易得函数g(x)在(0,-》和&,+9)上单调递增，

在(二;)上单调递减；

当a=—2时，g\x)>0恒成立，所以函数gQ)在(0,+8)上单调递增；

当一2<a<0时，易得函数g(x)在(0金和(神+8)上单调递增，

在逑-》上单调递减

(3)证明：当a=-2时，/(%)=Inx+2%—ax2,

因为f(%i)+/(%2)+3%I%2=+%2，

22

所以lnxr+/+2%i+lnx2+犯+2%2+3%1%2=0，

2

即i%2+2(%i4-%2之)+(%]+%2)+3%I%2=0，

所以2(%1+%2)2+(%1+x2)=xlx2一加％1%2.

令t=xrx2,(p(t)=t—lnt[t>0),

则/(t)=1-1=(t>0),

当t6(0,1)时，(p'(t)<0,所以函数(p(t)=t-lnt(t>0)在(0,1)上单调递减；

当te(l,4-oo)时，(pz(t)>o,所以函数(p(t)=t-lnt(t>0)在(1,+8)上单调递增.

所以函数<p(t)=t-lnt(t>0)在t=l时，取得最小值，最小值为1.

2

所以2(/+x2)+(%i+x2)>1，

2

即2(%1+%2)+01+%2)-12°，所以％1+%233或+%24一1.

因为%1，%2为正实数，所以％1+%2之;-

当%1+x2=1时，％1%2=1，此时不存在XlfX2满足条件，

所以+%2>3.

【解析】【分析】(1)先求导，利用导数研究函数的极值，即可求出a的值；

(2)先求导，分两种情况讨论a,再利用导数研究函数的单调性，即可求出函数g(x)的单调

性；

(3)先由已知得到2(%i+冷)？+(%1+%2)=%1%2-仇工1%2，令t~xlx2，=t-

lnt(t>0),求导并利用导数研究函数的单调性，得到函数(p(t)=t-lnt(t>0)在t=l时，取

2

得最小值1,可证2(%+X2)+(%!+x2)>1,整理化简即可证明%1+X2>

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：84分

客观题（占比）24.0(28.6%)

分值分布

主观题（占比）60.0(71.4%)

客观题（占比）12(54.5%)

题量分布

主观题（占比）10(45.5%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)5.0(6.0%)

解答题6(27.3%)55.0(65.5%)

多选题4(18.2%)8.0(9.5%)

单选题8(36.4%)16.0(19.0%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(72.7%)

2容易(18.2%)

3困难(9.1%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1等比数列的前n项和2.0(2.4%)6

2频率分布直方图10.0(11.9%)19

3散点图2.0(2.4%)3

4函数奇偶性的判断4.0(4.8%)8,12

5复数的基本概念2.0(2.4%)9

6正弦定理10.0(11.9%)20

7复数代数形式的乘除运算