河北省迁西县2022年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以下关于f（x）=sin2x-cos2x的命题，正确的是

A.函数/（X）在区间上单调递增

B.直线x需是函数y=图象的一条对称轴

O

C.点是函数y=/（x）图象的一个对称中心

D.将函数y=/（x）图象向左平移需!个单位，可得到y=J^sin2x的图象

O

2.已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，当x»0时，/（尤）=e*+x,则a=/（_328）@=/（l°g29），c=/（1—逐）的

大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

3.已知£_1_民机匚%〃<=尸,£口万=/,则“m_Ln”是“m_LV的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数，，_；_的图象可能是下面的图象（）

二仁）

5.（X-］）的展开式中，含,一项的系数为（）

A.-60B.-12C.1260

6.已知a,bGR,3+ai=b-（2a-1）i,则（）

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

2

7.已知（1+Ax）"展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，（1+AxY=%+alX+a2x+…+,

若4+%+…〃〃=242,则/一％+生---卜（-1）"%的值为（）

A.1B.-1C.81D.-81

8.已知AASC中，|阮|=2,丽•元=-2.点P为8c边上的动点，则定•（丽+丽+定）的最小值为（）

325

A・2B.C.—2D.-------

412

9.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向

后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

10.函数/（x）=sin（5+o）®>0,0<°<"）的图象如图所示，为了得到g（x）=cosox的图象，可将/（x）的图

VA

象（）

A.向右平移B个单位B.向右平移三个单位

612

C.向左平移三个单位D.向左平移F个单位

126

11.已知点（叫8）在第函数/（幻=（m一1）/的图象上，设。=7-Lb=f（\n;u\c=f（n）9则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知函数/(x)=m(2x+l)3-2e”,若曲线y=/(x)在(0,7(0))处的切线与直线4x+y-2=()平行，则

m=.

</l

14.已知实数x,y满足)'一"'则x+y的取值范围是______.

y>Q,

15.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示:

不喜欢喜欢

男性青年观众4010

女性青年观众3080

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取〃个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取

了8人，则"的值为.

16.(无2+2)(2X-11的展开式中所有项的系数和为,常数项为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=2coscz[x.=x

17.(12分)在直角坐标系尤Oy中，曲线C的参数方程为.为参数，将曲线C经过伸缩变换’.

、

y=sma[y]=2y

后得到曲线G.在以原点为极点，》轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为pcose+Qsin。-5=0.

(1)说明曲线G是哪一种曲线，并将曲线G的方程化为极坐标方程；

7F

(2)已知点M是曲线G上的任意一点，又直线/上有两点E和尸，且1比|=5,又点E的极角为彳，点尸的极角

为锐角.求：

①点尸的极角；

②AEA/F面积的取值范围.

18.(12分)已知函数/(力=|九一3|+|x—1|.

（1）求不等式/（X）<6的解集；

（2）设“X）的最小值为M，正数。，。满足/+破=”，证明：a+2b>4ab.

19.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程

[0

x=---1

2

在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为乙L。为参数）.以原点。为极点，尢轴的正半轴为极轴建

.忆

y=1H-----1

[2

立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为夕=2&cos

（1）写出直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

（2）设直线/上的定点P在曲线C外且其到。上的点的最短距离为后一友,试求点P的坐标.

20.（12分）已知AAAC1中，BC=2,6=45°,。是AB上一点.

（1）若S.8=l，求8的长；

（2）若A=30°,BD=3AD,求瞥黑的值.

sinZ-DCB

21.（12分）已知数列｛a.｝满足，4=1,々=4,S.an+2-4a„+l+3an=0（neN*）.

（D求证：数列为等比数列，并求出数列｛4｝的通项公式；

（2）设勿=2〃y,求数列也｝的前〃项和S,.

22.（10分）已知点P（o,l）,直线>=》+。。<0）与抛物线.寸=2；1交于不同两点4、B,直线24、依与抛物线

的另一交点分别为两点C、D,连接CO,点P关于直线CO的对称点为点。，连接AQ、BQ.

（1）证明：AB//CD；

（2）若AQAB的面积S21-r,求f的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(x)=&sin(2x-?),再逐项判断正误得到答案.

【详解】

f（无）=sin2x-cos2x=41sin（2尤——）

4

fO\1Q

A选项，0,Je(-/，-^)函数先增后减，错误

I3J4412

B选项，x=g=>2x-f=0不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=fn2x-1=£,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需三个单位得到y=0sin(2(x+马-2)=0sin2x,正确

884

故答案选D

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

2.C

【解析】

333

根据函数的奇偶性得。=/(_2办=/(2可，再比较逐,2?』og,9的大小，根据函数的单调性可得选项•

【详解】

333

依题意得。=/(_23)=/(25)，：逐<&=2血=25<3=log28<log29»

当x»0时，/(x)=e，+x,因为e>l,所以y=e•'在R上单调递增，又V=x在R上单调递增，所以/(x)在［0,+8)

上单调递增,

/（log29）>/⑵）>即）〉a>c，

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性的应用、幕、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.

【解析】

构造长方体A5CD-48iGDi,令平面a为面底面A5CD为。然后再在这两个面中根据题

意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.

【详解】

如图，取长方体A5CD-A151GD1,令平面a为面ADDMi,底面A5C0为p,直线AO=直线/。

若机U,由平面A8CD_L平面可知，直线机垂直于平面0,所以机垂直于平面0内的任意

一条直线〃

，帆_1_〃是ml.I的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从机_L〃=/n_L/?和

/n±/=^±«?两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析.

4.C

【解析】

因为江仁所以函数二（二）的图象关于点（2,0）对称，排除A，B.当二<。时,

□(C)=仁-；尸二（I-；），

in（二一2）：>0,（二一2><0所以二（二）<0,排除D.选C.

5.B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令X的事指数等于3,求出「的值，即可求得含V项的系数.

【详解】

。一马)的展开式通项为却=C；-x6-r=葭•(一2丫,

令6-3厂=3,得r=1,可得含X?项的系数为C：x(—2)=-12.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

6.C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+成=/一(2a-l)z,

3=b

得,即4=一,b=l.

a=\-2a3

'.b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

7.B

【解析】

根据二项式系数的性质，可求得及，再通过赋值求得为以及结果即可.

【详解】

因为(i+AXy展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,

故可得〃=5,

令1=(),故可得1=。0,

又因为4+g+…+%=242,

令x=l,则(1+X)=/+q+a?+,•,+/=243,

解得2=2

令x=-1)则(1—2)=4—q+。2一,■*+(—

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.

8.D

【解析】

以8C的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得B(-1,O),C(1,O),设P(a,O),A(x,y),运用向量的坐标表示,

求得点A的轨迹，进而得到关于“的二次函数，可得最小值.

【详解】

以5c的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得B(-l,O),C(1,O),设尸(a,0),A(x,y),

由前83=一2，

可得(x+l,y)-(2,0)=2x+2=—2,即x=—2,y^O,

则定便+而+4)=(l-a,0>(x-a-l-a+l-a,y+0+0)

=(1—«)(x—3iz)=(1—a)(-2-3£z)=3a2-a-2

当。=，时，定•(刀+方+定)的最小值为

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

9.B

【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.

【详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用表示，

利用列举法，可得下表，

原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次数为4次.

故选：B

【点睛】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.

10.C

【解析】

根据正弦型函数的图象得到/(x)=sin^2x+|j,结合图像变换知识得到答案.

【详解】

,LT7"7171E―

由图象知：一一=K=>T=71,/.69=2.

212122

又工==I时T函数值最大，

12

所以

：.(p=—,从而/(x)=sin2x+—,,g(x)=cos2x=sin2x+—=sin2x+—+—

只需将的图象向左平移看个单位即可得到g(尤)的图象，

故选C.

【点睛】

已知函数'=Asin(Q*+o)+8(A>0,<w>0)的图象求解析式

⑴国=1迪.二2皿,B=2a+1毡.(2)由函数的周期7求T=朋.

22co

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求口，一般用最高点或最低点求.

11.B

【解析】

先利用事函数的定义求出〃［的值，得到塞函数解析式为/CO="3,在R上单调递增，再利用幕函数/(%)的单调性,

即可得到mb,C的大小关系.

【详解】

由累函数的定义可知，/n-l=L：.m=2,

・,•点(2,8)在塞函数/(x)=/上，

；・2〃=8,・"=3,

工基函数解析式为/(X)=必，在R上单调递增，

,m2,

・一二一,l</zi7t<3,〃=3,

n3

m

—<.lnn<.n,

n

J.a<b<c,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了募函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.

12.A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.——

3

【解析】

先求导/'(x)=6根(2x+1)2-2ev,/,(0)=6加一2,再根据导数的几何意义，有尸(0)=-4求解.

【详解】

因为函数以x)=m(2x+1月一2ex,

所以所(x)=6m(2x+I)2-2ev,//(0)=6m-2,

所以6加一2=T,

1

解得m=-3-•

1

故答案为：-3-

【点睛】

本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.

14.［-1,夜］

【解析】

根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得x+＞的取值范围.

【详解】

由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示，

如图所示，图中直线所示的两个位置为y=-x+z的临界位置，

根据几何关系可得y=-x+z与y轴的两个交点分别为(0,-夜)，

所以x+y的取值范围为［-1,夜］.

故答案为：［-i,V2］

【点睛】

本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题.

15.32

【解析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.

【详解】

Q|

由题可知，抽取的比例为F=—,被调查的总人数为40+10+30+80=160人，

405

则分层抽样的样本容量是gx160=32人.

故答案为：32

【点睛】

本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.

16.3-260

【解析】

(1)令x=l求得所有项的系数和；(2)先求出(2x—J)展开式中的常数项与含《的系数，再求(f+2)(2x—展

开式中的常数项.

【详解】

将x=l代入(f+2)(2x—,得所有项的系数和为3.

因为的展开式中含*的项为(2x)2哼,卜一：)的展开式中含常数项烧(2力]—=-160,所以

(f+2)(2x—4)的展开式中的常数项为60-320=-260.

故答案为：3；-260

【点睛】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)曲线G为圆心在原点，半径为2的圆.G的极坐标方程为0=2(2)①[②—；--5,——+5

844

【解析】

(1)求得曲线c伸缩变换后所得G的参数方程，消参后求得G的普通方程，判断出G对应的曲线，并将G的普通

方程转化为极坐标方程.

(2)

①将E的极角代入直线/的极坐标方程，由此求得点E的极径，判断出A£O歹为等腰三角形，求得直线/的普通方程,

由此求得进而求得/人?£=〈，从而求得点尸的极角.

②解法一：利用曲线G的参数方程，求得曲线C上的点M到直线/的距离d的表达式，结合三角函数的知识求得d的

最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.

解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆G上的点到直线/的距离的最大值和最小值，进而求得

AEME面积的取值范围.

【详解】

(1)因为曲线C的参数方程为1.(a为参数)，

y=sina

x,=x,\x.=2cosa,

因为｛c则曲线G的参数方程c.

y[=2y[y=2sina

所以G的普通方程为x；+才=4.所以曲线C,为圆心在原点，半径为2的圆.

所以G的极坐标方程为P之=4,即。=2.

TT

(2)①点E的极角为歹，代入直线/的极坐标方程「以"。+。3116-5=0得点七

极径为2=5,且|£/|=5,所以AEOE为等腰三角形，

又直线/的普通方程为x+y-5=0,

TT

又点尸的极角为锐角，所以NEEO=—,所以NFOE=——,

48

TT37r7t

所以点尸的极角为一—-

288

②解法1：直线/的普通方程为x+y-5=0.

曲线G上的点M到直线/的距离

.|2cosa+2sina-5|

什---------6---------

6

当sin[a+?J=l,即a=2Qr+((&eZ)时,

，而刈豆।修品12血—5|572c

d取到最小值为-——尸~-=-----2.

V22

当sin（a+?Tt）=-l,即二=2攵万一与（左eZ）时,

4

解法2：直线/的普通方程为x+y-5=0.

10+0-51572

因为圆G的半径为2,且圆心到直线/的距离”

V22

因为述〉2,所以圆G与直线/相离•

2

所以圆a上的点M到直线/的距离最大值为1+「=述+2,

2

最小值为4一「=逑-2.

2

事）

所以AEME面积的最大值为gx5x

所以AEA/r面积的最小值为gx5x(5夜,25夜.

--------L

2

一5,莘+"

故AENF面积的取值范围

【点睛】

本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直

线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼

考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

18.(1)[-1,5](2)证明见解析

【解析】

(1)将/(X)表示为分段函数的形式，由此求得不等式/(x)w6的解集.

(2)利用绝对值三角不等式求得了(x)的最小值利用分析法，结合基本不等式，证得不等式。+2人24,必成立.

【详解】

4-2x,x<1

(1)/(x)=<2,l<x<3,

2x-4,x>3

,、x<\[x>3fl<x<3

不等式〃x)W6,即或4或,

')[4-2x<6[2x-4<6[2<6

即有一iWxWl或3WxW5或l<x<3,

所以所求不等式的解集为[T5].

(2)f(%)=|x+3|+|x—1||x—3—x+1|=2,M=2,

因为a>0,b>0,

所以要证a+2A24",只需证(a+232216a2〃，

BPffia2+4b2+4ab>16a2b2.

因为/+4犷=2,所以只要证2+4"216a2从，

即证8(aZ?)2—2a/?—140,

即证(4必+1)(2必一1)40,因为々出+1>0,所以只需证

因为2="+4匕224皿，所以成立，

2

所以a+a24aA.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.

19.(1)/的普通方程为x—y+l=O.。的直角坐标方程为0—1)2+(y—1)2=2(2)(-1,0)或(2,3)

【解析】

(1)对直线/的参数方程]2L消参数/即可求得直线/的普通方程，对夕=2血cos(e-g]整理并两边乘以

y=i+k，

P,结合X=QCOS6,y=psin。即可求得曲线C的直角坐标方程。

(2)由(1)得：曲线C是以Q(1,1)为圆心，夜为半径的圆，设点P的坐标为(x,x+l),由题可得：|PQ|=6,

利用两点距离公式列方程即可求解。

【详解】

旦

x=

2

解：(1)由L消去参数/，得y=x+i.

।V2

y1+——t

2

即直线I的普通方程为X-y+1=0.

因为p=2夜cos（。一工），，22=2\/^Q（COS6+sin6）-----=22（cos。+sin。）

42

又x=/?cos6,y=0sin。

二曲线C的直角坐标方程为(X—+(y-=2

(2)由(％-1)2+(丫-1)2=2知，曲线C是以Q(1,1)为圆心，血为半径的圆

设点P的坐标为(x,x+l),则点P到。上的点的最短距离为|PQ|一正

即陷=技.力(1)2+/=6,整理得2=0,解得％=-1,々=2

所以点P的坐标为(-1,0)或(2,3)

【点睛】

本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了

方程思想及计算能力，属于中档题。

20.(1)CD=y/2(2)—

6

【解析】

(1)运用三角形面积公式求出的长度，然后再运用余弦定理求出CO的长.

(2)运用正弦定理分别表示出sinNACD和sinNOCB,结合已知条件计算出结果.

【详解】

।万

(1)由SgcD=^BC•BD-sin45°=gBD=l=>BD=6

在△BDC中，由余弦定理可得

CD2=BC2+BD2-2BC-8Q-cos450=4+2-4=2=8=0

(2)由已知得应)=3AT>

上十在+E-CDAD..sinA-ADAD

在AADC中，由正弦定理可知=--------=sinZACD=------------=

sinAsinZACDCD2CD

+F舫axfflbinCDBD.“°CsinB•BD叵BD

在ABDC中，由正弦定理可知----=---------nsin/BCD=-----------=--------

sinBsin/BCDCD2CD

AD

sinZACD:2CD=AO=1=0

故--------=

AinZBCD丘BD一&BD一30-6

^2CD

【点睛】

本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型,

能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.

21.(1)证明见解析；a=芝二(2)5=(2"T)X3""+3—”("+1)

"242

【解析】

(1)根据题目所给递推关系式得到a,.—。“+1=3(4向-4)，由此证得数列｛。「4｝为等比数列，并求得其通项公

式.然后利用累加法求得数列｛4｝的通项公式.

(2)利用错位相减求和法求得数列他,｝的前〃项和S“

【详解】

<1)已知4+2—4a〃+|+3%=0,

则4+2-4田=3(%+「。“)，

且%-4=3,则｛凡*「。"｝为以3为首相，3为公比的等比数列，

所以a.+i_an=3",an=(«„-Q“_|)+(凡_|一«„_2)+...+(々—q)+q

(2)由(1)得：bn-n-3"-n,

2

Tn=1X3'+2X3+……+〃x3",①

37；=1x32+2x3，+……+(〃-I)x3"+〃x3"+i,②

①一②可得-2T,=3'+32+……+3"—〃x3e=-~—-nx3"~,

"2

3'山一3।〃x3"i_(2〃-1)X3"+I+3

424

(2n-l)x3,,+l+3〃(〃+l)

即s.=

42

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.

3

22.(1)见解析；(2)—00,---

2

【解析】

(y\\,,

(1)设点A三,X、B彳y\,必，求出直线Q4、心的方程，与抛物线的方程联立，求出点C、。的坐标，利

2)I2J

用直线48、CO的斜率相等证明出AB〃CD

(2)设点尸到直线AB、CO的距离分别为4、d2,求出4,利用相似得出“2,可得出AQAS的边A8上的高,

并利用弦长公式计算出|AB|,即可得出S关于r的表达式，结合不等式可解出实数/的取值范围.

【详解】

(2\、2(XT)

(1)设点A、B言y\，＞2»则卜?人=