河北省秦皇岛市2022年高三下学期联考数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-V-

1.已知函数,f（x）=In•j—+x+l且/（。）+/（。+1）＞2,则实数。的取值范围是（）

1-X

2.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

3.在关于x的不等式以2+2x+l〉0中，“。＞1”是“加+2%+1＞（）恒成立，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

4.已知双曲线三—亲■=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为£、8，圆Y+y2=〃与双曲线在第一象限内的交点

为M,若四照=可用闾.则该双曲线的离心率为

A.2B.3C.72D.百

5.已知复数「，则-的共枕复数在复平面对应的点位于（）

一

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如图所示，矩形ABC。的对角线相交于点。，E为A0的中点，若诙=4而+〃而（九〃eR）,则2+〃等于

().

11

A.一一B.-C.1D.-1

22

7.若函数f(x)=ak可go,a,l)满足f(l)=1,则f(x)的单调递减区间是()

9

A.(—oo,2]B.[2,+oo)

C.[-2,+8)D.(-00,-2]

8.已知集合A={x|x<l},fi={x|3r<lb则

A.AAfi={x|x<0}B.A\JB=R

C.AUB={x|x>l}D.Ap\B=0

9.若直线二不平行于平面二，且二仁二，则（）

A.二内所有直线与二异面

B.二内只存在有限条直线与二共面

C.二内存在唯一的直线与二平行

D.二内存在无数条直线与二相交

10.若复数z满足(l+3i)z=(l+i)2,则|z|=()

A751t石rVionVio

A.---B.——C.------D.------

4525

在MBC中，OA+OB+OC^6>~AE=2EB>\ab

11.|叫阿,若荏•而=9而•或，则实数/l=（)

A/6

A.-----o.-----C.-----D.

323V

12.已知函数〃x)=eP，g(x)=ln]+l,若〃w)=g(〃)成立，则〃一”的最小值为（）

5+In6

A.0B.4C.3e--D.

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在体积为v的圆柱a。?中，以线段aa上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

V4-V

匕，则干上的值是.

14.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是cm3;最长棱的长度是cm.

俯视图

v-22

15.己知双曲线C:二一v二=一13>00>0)的左、右焦点分别为目，瑞，直线/是双曲线。过第一、三象限的渐近

少b~

线，记直线/的倾斜角为a,直线l':y=tan5・》,F2M11',垂足为M，若M在双曲线C上，则双曲线C的离

心率为_______

16.函数/(x)=Jg：-1的定义域为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|4x—1|—|x+2].

(1)解不等式等(%)>2；

⑵记函数y=/(x)+5|x+2］的最小值为攵，正实数。、b满足a+6b=(,求证：丝士

9Vab

18.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的

还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均

相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款).

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

(1)若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还251。元，试计算小

张该笔贷款的总利息；

(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月

收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)；

(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：LOCHMyZSl.

19.(12分)已知数列｛4｝的前“项和为S“，且满足q=-1,4〉0(〃22),S,二二间—9〃—1,〃wN*,各项均为正

6

数的等比数列也｝满足々=%也=%

(1)求数列｛。“｝,｛d｝的通项公式；

(2)若%=；4•b„,求数列｛5｝的前n项和Tn

20.(12分)已知抛物线C：y2=2px(〃>()),点尸为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+2=0的距离为4，

焦点尸到抛物线。的准线的距离为4，且2=；.

(1)求抛物线。的标准方程；

(2)若x轴上存在点"，过点〃的直线/与抛物线C相交于P、Q两点,且=;不+—T厂为定值，求点"的

坐标.

21.(12分)如图，在正四棱柱A8CD—4BCa中，已知45=1,阴=2.

D

B

(i)求异面直线AC与直线A2所成的角的大小;

(2)求点C到平面R的距离.

22.(10分)已知A是抛物线E：V=2px(p>0)上的一点，以点A和点8(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于M,

N两点.

(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程；

(2)若OVpVL抛物线E与圆(x-5)2+V=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为的中点，O为坐标原点，求直

线OG斜率的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

构造函数尸(x)=/(x)-l,判断出b(x)的单调性和奇偶性，由此求得不等式〃。)+/(。+1)>2的解集.

【详解】

1_Ly*1y-

构造函数尸(x)=〃x)—l=ln^—+x,由^—>。解得所以尸(X)的定义域为(-1,1),且

\—x\—X

1IY1_yC1-Y、

F(-x)=ln---=---x=-\\n--+x=-F(^),所以尸(x)为奇函数，而

1—x1+xII+X)

F(x)=In+x=InJ-1++x,所以尸(x)在定义域上为增函数，且*0)=lnl+0=0.由

1Xy1XJ

4+4+1>0

/(a)+/(a+l)>2得f(a)-l+/(a+l)—1>0,即/(a)+b(a+l)>(),所以<—l<a<l=>-1<«<0,

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

2.D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000(户)，A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800(户)，B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350(户)，C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600(户)，D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

3.C

【解析】

讨论当。>1时，办2+2%+1>()是否恒成立；讨论当以2+2X+I〉O恒成立时，4>1是否成立，即可选出正确答案.

【详解】

解：当”>1时，A=4—4a<0,由y=60?+2x+l开口向上，则ox?+2x+l>()恒成立；

当以2+2》+1>0恒成立时，若。=0,贝!|2x+l>0不恒成立，不符合题意，

_[a>0

若。。()时，要使得以2+2工+1>0恒成立，贝叫“..c,即。>1.

△=4-4a<0

所以“a>1”是“ax2+2x+l>0恒成立”的充要条件.

故选:C.

【点睛】

本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若pnq,则推出〃

是q的充分条件；若q=>p,则推出P是q的必要条件.

4.D

【解析】

本题首先可以通过题意画出图像并过M点作垂线交6K于点〃，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形

。加工的形状并求出高的长度，的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出“点坐

标，最后将以点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

【详解】

根据题意可画出以上图像，过A/点作白与垂线并交耳与于点，，

因为用=3|M闾，M在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，|摩|-|岫|=2"，即3|MR|-|M£|=2a,段=a,

因为圆d+y2=〃的半径为。，OM是圆Y+y2=〃的半径，所以QW="

222

因为OA/=Z?,6|=a,0F2-c,a+h=c

所以？OMg90,三角形。加工是直角三角形，

因为人。鸟，所以OFJMHOM?MF2,MH=*即"点纵坐标为当，

将M点纵坐标带入圆的方程中可得¥+哆=〃，解得用，

将加点坐标带入双曲线中可得m-《=1,

化简得/d-=&2,2,伊-。2)~-/=。2c2,02=3/,e=£=G，故选D。

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结

合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。

5.C

【解析】

分析：根据复数的运算，求得复数二，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案.

详解：由题意，复数，一，一，则

口=五=(—三=7+口

所以复数：在复平面内对应的点的坐标为：_：__：：，位于复平面内的第三象限，故选C.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数二是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力.

6.A

【解析】

——1——3——13

由平面向量基本定理，化简得DE=—AB--AD,所以九=—,口=-一，即可求解，得到答案.

4444

【详解】

由平面向量基本定理，化简沃=方式+屈=嬴+,品=一项+工(囚豆+

44、

1——3—131

=—AB——AD,所以九=一，［1=--,即九+口=——，

44442

故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到阮-3AB是解答

44

的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题.

7.B

【解析】

由f(l)=4a2=-,

Qq

•,.a=：或a=-g舍)，

即f(x)=gj)|2X-4.|由于丫=a-4|在(-8,2］上单调递减,在［2,+8)上单调递增,所以f(x)在(-8,2］上单调递增，在［2,+oo)上单调递减,

故选B.

8.A

【解析】

•.•集合6={x|3'<1}

/.B={x|x<0}

•.•集合A={x|x<l}

二AcB={x|x<0},AD3={X|X<1}

故选A

9.D

【解析】

通过条件判断直线二与平面二相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线二不平行于平面二，且二仁二可知直线二与平面二相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

10.D

【解析】

31

先化简得2=j+gi,再求|Z|得解.

【详解】

2i2i(l-3i)3j_.

z---------~10--5+51

l+3i

所以|z|=巫.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11.D

【解析】

将Id、蔗用福、元表示，再代入而.恁中计算即可.

【详解】

由丽+0月+。6=0，知。为AABC的重心，

——21―.—.1_._.

所以A。=耳x,(AB+AC)=-{AB+AC)，又演=2EB>

___________9____9__.

所以EC=AC-AE=AC—AB99AO,EC=3(AB+AC),(AC—AB)

33

22

=AB-AC-2AB+3AC=AB-AC>所以2通2=3*2,丸=器=/3_76

2-V

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.

12.A

【解析】

令"〃7)=g(〃)=r，进而求得“一机=2e'T-21nf-2,再转化为函数的最值问题即可求解.

【详解】

•.,/(m)=g(〃)=r...=ln]+l=f(r>0),：.n-m=2e'~'-2lnt-2,

9

令：〃(r)=2^"-21nr-2,”(r)=2e"—上,"(r)在(0,+”)上增，

且〃'(1)=0,所以人⑺在(0,1)上减，在(1,+8)上增，

所以〃(。疝n=〃(l)=2—2=0,所以〃一”的最小值为0.故选：A

【点睛】

本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示〃和，”是本题的

关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.—

3

【解析】

根据圆柱GQ的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

I111V+V1

由题得，OO得-^=了

VZ+K=-50(?1.0(7,+-SGO22=-5^0,0,=-V,

故答案为：—

3

【点睛】

本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

14.22G

【解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面A5CD为直角梯形，AD//BC,AD_L侧棱PAL底面ABC。,

由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度.

【详解】

由三视图还原原几何体如下图所示：

该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ADA.AB,侧棱底面ABCD,

则该几何体的体积为V=—x1I,2)―Zx2=2(cin'),

32v7

PB=,2?+2?=2血(cm),PC=>/22+22+22=273(cm),

因此，该棱锥的最长棱的长度为2a•机.

故答案为：2；2百.

【点睛】

本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

15.75-1

【解析】

2aa.ab

由啖网=c,则10Mbecos0,所以点ccos-；7，ccos二•sin；；；,因为tana=—，可得

I222a

sin«=-,cosa=-,点"坐标化简为(彳,二］,代入双曲线的方程求解.

cc\227

【详解】

设NMO6=?。闾=以

bsinexb.,

则tana=—,即an-----=—,sm"2a+cos2a=i,

acosaa

er.ba

解得sina=—,cosa=—,

a

则10M|=ccos-,

aa.a

所以ccos2—,ccos—sin—

I222

c+ab\

即M-T-,2r

(c+a)2b2

代入双曲线的方程可得二19

4«246

所以。2+2。。-4/=0

所以/+2e-4=0

解得e=>/5-1.

故答案为：V5-1

【点睛】

本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档

题.

16.jx[O<x<M

【解析】

由题意可得，\x,解不等式可求.

Lx

【详解】

->0

解：由题意可得，\x,

、X

解可得，0cX,1,

故答案为卜1。<%,

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)—(2)见解析.

【解析】

(1)分xW-2、-2<X<:、xN；三种情况解不等式/(力>2,综合可得出原不等式的的解集；

(2)利用绝对值三角不等式可求得函数y=/(x)+5|x+2|的最小值为k=9,进而可得出。+6。=1,再将代数式

9与。+6。相乘，利用基本不等式求得+'的最小值，进而可证得结论成立.

ahab

【详解】

(1)当xW—2时，由/(x)>2,得l-4x+x+2>2,即1-3%>0,解得x<；,此时xW—2；

133

当—2<x<一时，由/(x)>2,得1—4%—%一2>2,即5x+3<0,解得x<——，此时一2<%<一一；

455

当xN；时，由/(x)>2,得4x—l-》一2>2,即3x—5>0,解得x>|,此时x>g.

综上所述，不等式/(力>2的解集为卜

（2）y=/（A：）+5|x+2|=|4x-l|+4|x+2|=|4x-l|+|4x+8|>|4x-l-（4x+8）|=9,

当且仅当（4x—l）（4x+8）W0时取等号，所以4=9,a+6b=\.

所以幺+，=61)(a+6b)=6+^+幺+6212+2

—I—24,

abab>''ab

当且仅当迎=3,即a=L,匕=工时等号成立，所以£+2224.

ab212ab

所以、口+工22几,即J段22①.

NabVab

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考

查运算求解能力，属于中等题.

18.(1)289200元；(2)能够获批；(3)应选择等额本金还款方式

【解析】

(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还

款总额，减去本金即为还款的利息；

(2)根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x元，由等比数列求和公

式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；

(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.

【详解】

(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为｛4｝，

S”表示数列｛q｝的前〃项和，则4=4900,440=2510,

贝！I5244)=240(。；+电40)=]20*(4900+2510)=889200,

故小张该笔贷款的总利息为889200-600000=289200元.

(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列,

则x+x(l+0.004)+x(l+0.004『+…+x(l+0.004139=600000x(1+0.004)〃°,

Aiinnj240、

所以xL可-=600000X1.OO4240,

I1-1.004J

600000xl.00424Ox0.004600000x2.61x0.004

即nnx=---------------------»-------------------®3891,

1.OO4240-12.61-1

因为3891<10000x-=5000,

2

所以小张该笔贷款能够获批.

(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为：

3891x240-6(XXXX)=93384()—6(XXX)0=33384(),

因为333840>289200,

所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.

【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于

中档题.

19.(1)/=3〃一4；勿=2"(2)7；,=(3〃-7卜2"+7

【解析】

(1)由一一9〃一1化为=6S“+9”+1,利用数列的通项公式和前〃项和的关系，得到｛见｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

(2)由(1)得到q,=(3〃-4>2"T,再利用错位相减法求解.

【详解】

(1)vS,,=出"「9〃―1可以化为.=6S”+9〃+1,

6

"=6ST+9(〃-1)+1,

••.%j：=6a“+9(〃N2),

,,.。"+；=(4,+3)2,

又Q〃22时，an>0

=«„+3(n>2)

•••数列｝从«2开始成等差数列，

•••%=-1,代入5„="J9"1

“6

得％=2,—4=3

••.｛4｝是首项为1,公差为3的等差数列，

/.。〃=3〃-4,

,/=a2=2也=%=8也=2”.

(2)由(1)得c.=(3〃—4>2"T,

7；,=-1-2°3-2-3'42?+(n-)•"L

27；,^-l^'^2-22+?+(n-)•",

•••两式相减得

-7；,=-l+3(2'+22+?--+2"T)-(3〃-4)•2",

=-l+6(2n-'-l)-(3n-4)-2n,

二7；=(3〃-7).2"+7.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前〃项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20.(1)/=4%

⑵(2,0)

【解析】

d.1

(1)先分别表示出4,4，然后根据于=彳求解出P的值，则c的标准方程可求；

a22

(2)设出直线/的方程x=my+1并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出岛下+面*并

代入韦达定理形式，由此判断出』j商+；7'T为定值时加的坐标.

|PMI'|QMI'

【详解】

(1)由题意可得，焦点尸(5,0),P>0,贝(l

_士_上,g

5~5

3x^+2

d―i—1解得p=2.

U1_3_1

d2P2

抛物线C的标准方程为)，2=4x

(2)设M(r,O),设点P(4X),。(孙羽)，显然直线/的斜率不为0.

设直线/的方程为X=，*+2

x=my+t.

联立方程12；,整理可得V-4,利-4f=0

y=4x

A=16(z+m)2>0,乂+%=4m,必当=-4，

2

.••IPM1=Jl+加2M,IQM\=Vl+/n|y2|

.1।1=1।1=褚+必

**IPM|2|QM|2(1+/叫y：(1+/叫),；(1+/叫

=(y+?)=2"+f

一(l+m2)y,2^~2rm2+2t2

112t

要使IR+|I)为定值，必有:=解得‘=2，

\PM\\QMI2t22r

•.•万徐+总"为定值时，点M的坐标为(2,0)

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.(1)处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立

直线方程借助韦达定理形式是常用方法；(2)直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化

运算的作用。

21.(1)arccos-^^?(2)—.

103

【解析】

(1)建立空间坐标系，通过求向量卡与向量函的夹角，转化为异面直线4c与直线所成的角的大小；(2)

先求出面A旦R的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可.

【详解】

以4为原点，A四,AAA所在直线分别为％，xz轴建系，

设4(0,0,0),C(l,1,2),A(0,0,2),£),(0,1,0)

所以京=(1,1,2),AD；=(0,1,-2)

4c四_lxl+2x(-2)V30

cos<AjC,AD>=

1丽西76x75lo-

所以异面直线A。与直线AQ所成的角的余弦值为噜,异面直线4。与直线所成的角的大小为arccos暮.

(2)因为皿=(0,1,-2),^=(-1,1,0),设〉=(x,y,z)是面的一个法向量,

心孙'=0y-2z=0