2019全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

2019全国硕士研究生入学考试《数学2》真题卷面总分：21分答题时间：240分钟试卷题量：21题练习次数：20次

单选题（共8题，共8分）

1.设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax＝0的基础解系中只有2个向量，则r（A*）＝（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：A

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本题解析：伴随矩阵的秩

由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故选A。

2.已知平面区域D＝{（x，y）∣∣x∣＋∣y∣≤π/2}，记

则（）。

A.I3＜I2＜I1

B.I2＜I1＜I3

C.I1＜I2＜I3

D.I2＜I3＜I1

正确答案：A

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本题解析：

3.当x→0时，若x－tanx与xk是同阶无穷小，则k＝（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C

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本题解析：

4.曲线y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜2π）的拐点是（）。

A.（0，2）

B.（π，－2）

C.（π/2，π/2）

D.（3π/2，－3π/2）

正确答案：B

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本题解析：由y＝xsinx＋2cosx计算y″得，y″＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，令y″＝0得x＝0，x＝π。在x＝0的两侧，y″不变号，即y″（0－）y″（0＋）＞0，所以（0，2）不是拐点；在x＝π的两侧，y″变号，即y″（π－）y″（π＋）＜0，所以（π，－2）是拐点。

5.下列反常积分发散的是（）。

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：D

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本题解析：

6.

A.1，0，1

B.1，0，2

C.2，1，3

D.2，1，4

正确答案：D

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本题解析：

7.设函数f（x），g（x）的2阶导函数在x＝a处连续，则

是两条曲线y＝f（x），y＝g（x）在x＝a对应的点处相切及曲率相等的（）。

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

正确答案：A

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本题解析：①充分性

在x＝a处，由泰勒公式得

代入

可得f（a）＝g（a），f′（a）＝g′（a），f″（a）＝g″（a），因此两条曲线在x＝a处相切且斜率相等。

②必要性

必要性不成立。例如f（x）＝（x－a）2，g（x）＝－（x－a）2，它们在点a相切且具有相同的曲率，但

故选A。

8.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：C

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本题解析：

填空题（共4题，共4分）

9.曲线

在t＝3π/2对应点处的切线在y轴上的截距为

正确答案：3π/2＋2

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本题解析：暂无解析

10.曲线y＝lncosx（0≤x≤π/6）的弧长为

正确答案：（ln3）/2

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本题解析：暂无解析

11.

正确答案：（cos1－1）/4

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本题解析：暂无解析

12.已知矩阵

Aij表示|A|中（i，j）元的代数余子式，则A11－A12＝

正确答案：－4

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本题解析：暂无解析

问答题（共9题，共9分）

13.求不定积分

正确答案：

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本题解析：

14.已知函数

求f′（x），并求f（x）的极值。

正确答案：

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本题解析：

15.设函数y（x）是微分方程

满足条件

的特解。

（Ⅰ）求y（x）；

（Ⅱ）设平面区域D＝{（x，y）|1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。

正确答案：

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本题解析：（Ⅰ）用一阶线性微分方程通解公式，可得

由

得C＝0，所以

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求出的函数y（x），且D＝{（x，y）|1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，可得旋转体体积为

16.

正确答案：

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本题解析：

17.

正确答案：

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本题解析：

18.

正确答案：

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本题解析：

19.已知函数f（x）在[0，1]上具有2阶导数，且f（0）＝0，f（1）＝1，，证明：

（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝0；

（Ⅱ）存在η∈（0，1），使得f″（η）＜－2。

正确答案：

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本题解析：

20.

正确答案：

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本题解析：

21.

正确答案：

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本题解析：（Ⅰ）相似的矩阵有相同的特征值，因此特征值之和相同，又因为矩阵特征值之和等于矩阵的迹（矩阵对角线元素之和），所以有Σaii＝Σbii，|A|＝|B|，即

求解得