河北省张家口市2021-2022学年高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/(x)=cos2x+竽9的图象大致是)

2—1

2.已知向量3=(2,—4),5=(左,3),且£与B的夹角为135°，贝iJ%=()

A.-9C.-9或1D.一1或9

3.已知椭圆「:靛+y=1(.＞匕＞0)的左、右焦点分别为£,B，上顶点为点A，延长A8交椭圆〃于点8,若

为等腰三角形，则椭圆广的离心率e=

R百

».-----

3

V2

D.—

2

4.如图是二次函数/(x)=/-法+。的部分图象，则函数g(x)=alnx+/'(x)的零点所在的区间是()

C.(1,2)D.(2,3)

5-已知全集二={二|二74,二e二}，二=52y则二二二=（）

A-{-/}B-{-1.0}c-{-2,-1.0}D-{-2,-1.0.1,2}

6.集合A={x|V-3x〈o},3={x［y=lg（2-x）},则Ac3=（）

A.{x|0<x<2）B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3）D.{x|O<x<2}

7.已知定义在R上的函数/（幻=尤2凶，a=/（log3石），^=-/（log31）,c=/（ln3）,则“，b,c的大小关

系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>h

8.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（）

A.24〃B.8瓜兀C.拽2D.12乃

3

9.在AABC中，，为BC上异于8,C的任一点，M为47的中点，若丽=4通+〃/，则4+〃等于（）

10.已知。，b,c分别是AABC三个内角A,B,。的对边，acosC+6csinA=Z?+c,则4=（）

11.若［瓶+』］的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为（）

Ix）

A.85B.84C.57D.56

12.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业

岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知x为实数，向量。=(2,-1),O=(l,x),且。上力，贝！]|2。+"=

14.复数z=i(2+i)(其中i为虚数单位)的共扼复数为.

15.如图所示，点A(l,2),8均在抛物线)，2=4x上，等腰直角AABC的斜边为8C,点C在x轴的正半轴上，则点

_z.c4s“3〃+5%

16.记等差数列也｝和r也｝的前〃项和分别为S“和T“，若宁=7万，则j=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=tanx+asin2x_2x[oWx<'

(1)若。=0,求函数/(x)的单调区间；

(2)若/(x)20恒成立，求实数〃的取值范围.

18.（12分）如图，在等腰梯形ABCO中，AD=AB=CD=2,BC=4,M,N,。分别为8C,CD,

AC的中点，以AC为折痕将AACD折起，使点。到达点尸位置(P/平面ABC).

（1）若”为直线QN上任意一点，证明：〃平面ABP；

兀

（2）若直线AB与直线MN所成角为一，求二面角A-PC-3的余弦值.

4

19.（12分）如图,四棱锥458,侧面240是边长为2的正三角形,且与底面垂直，底面ABC。是Z48C=60的

PM

菱形，”为棱PC上的动点，且正=〃/1由0,1］）.

⑴求证："BC为直角三角形;

（II）试确定九的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为竽.

20.（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x

与烧开一壶水所用时间》的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

10c10c1010

£(西-可一£(叱-访)£(x-x)(y..-y)

XywiZ(w,-刃)(y,-9)

i=li=li=\/=l

1.4720.60.782.350.81-19.316.2

1_110

表中吗=7，W=/£叱・

xi1Uj=[

（1）根据散点图判断，y="+区与y=c+?哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数X的回归方程

类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立关于x的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量/与旋转的弧度数x成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知工为多少时，烧开

一壶水最省煤气？

附：对于一组数据（％，匕）,（“2，岭），（生，匕），…,（乙，乙）,其回归直线v=d+pit的斜率和截距的最小二乘法估计值分

,硕匕-工）

别为P=-—,a=v-pu

i=\

21.（12分）已知函数/（0=入历”|/_%,折尺小2.718283是自然对数的底数.

（1）若,讨论/（x）的单调性；

（2）若/（x）有两个极值点王,々，求。的取值范围，并证明：斗々＞玉+々.

22・（1。分）在直角坐标系师中，直线/的参数方程为〃（/为参数，0^＜八在以。为

y=l+fsina，'八”，

正半轴为极轴的极坐标中，曲线C：夕=4cos8.

71

（1）当&=1时，求C与/的交点的极坐标；

（2）直线/与曲线c交于A,3两点，线段A3中点为"（1,1）,求|A8|的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

2cos2%T+1-

,:/(x)=cos2x+-----------=--------xcos2x，

2V-12V-1

2-J+12V+1

〃r)=xcos(-2x)=-xcos2x=-/(%)»

Tx-\2^1

二函数/(x)为奇函数，

.•.排除选项A,Bi

又•.•当时，〃x)>0,

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

2.C

【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求Z的值.

【详解】

〃.万2%-120

解：由题意可得cosl35=———=—==~/二一--,

⑷•闻5/4+16-^2+92

求得％=-9,或％=1,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题.

3.B

【解析】

设愿上，则|叫|=2-T,\AB\=a+t,

因为|A4|=a,所以|A8|>|A百若IM|=|%I,贝!|a=2«—,所以。=f,

所以1M|+|明|=|A8|=2a,不符合题意，所以|B£H45］,则以-t=a+f,

所以a=2f,所以|班|=|AB|=3t,|AFt|=2t,设NBA耳=2。，贝!)e=sin。，

在AA54中，易得cos2〃=：,所以1一241?。=」，解得sine=、5(负值舍去)，

333

所以椭圆厂的离心率e=X3.故选B.

3

4.B

【解析】

根据二次函数图象的对称轴得出。范围，)，轴截距，求出。的范围，判断g(x)在区间端点函数值正负，即可求出结论.

【详解】

'：f(x)=x2-bx+a,结合函数的图象可知，

二次函数的对称轴为x=g,0</(0)=a<l,

—<x=—<l,7f'(x)=2x-b,

22

所以g(x)=alnx+f'(x)=aInx+2x-b在(0,+oo)上单调递增.

又因为g(g)=aln^+l-/?<0,g(l)=«lnl+2-^>0,

所以函数g(x)的零点所在的区间是［g』］.

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.

5.C

【解析】

先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.

【详解】

由题意得二={二।匚；=4,二e二}={二।-2=二=2二e二}={-2,-1,0,1.2),

7=={1.2?

•二匚={-2,-1,0}・

故选C.

【点睛】

本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合二和熟悉补集的定义，属于简单题.

6.A

【解析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.

【详解】

由/一3兀<0可得OWxW3,所以A={x|0<x<3},由2-%>0可得x<2,所以B={x|x<2},所以

AcB={R0Wx<2},故选A.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.

7.D

【解析】

先判断函数在x>0时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到。=/Qog32),比较

loga石』og32,ln3三个数的大小，然后根据函数在x〉O时的单调性，比较出三个数a,方,c的大小.

【详解】

WAAv

当x〉O时，/(x)=x-2=x-2=>/(%)=2+x-ln2-2>0>函数在x>0时，是增函数.因为

H

/(-%)=-X-2=-x-2'=-f(x),所以函数fM是奇函数，所以有b=-/(log,g)=/(-log3g)=/(log32),

因为In3>l>log3石>log32>0,函数f(x)在x>0时，是增函数，所以c>a>A,故本题选D.

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

8.A

【解析】

将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.

【详解】

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同,

•.•四面体所有棱长都是4,

.•.正方体的棱长为2夜，

设球的半径为广，

则2r="2及『+4?,解得厂=指，

所以S=4〃/=24%,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对

角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.

9.A

【解析】

根据题意，用福，亚表示出而，曲与丽7,求出九〃的值即可.

【详解】

解：根据题意，设丽=x瓦,则

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC,

2222222

又丽7=/1而+〃正，

X,=1—(八1—x)、,//=—1x,

。—1(八1-X、)+—1x=—1,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

10.C

【解析】

原式由正弦定理化简得由sinCsinA=cosAsinC+sinC，由于sinCxO,0<A<不可求A的值.

【详解】

解：由«cosC+J§csinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+V3sinCsinA=sin5+sinC.

因为B=;r—A—C,所以sinB=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得GsinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCxO,所以sin1/l-7)=g.

又0<A<〃，故4=工.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

11.A

【解析】

先求"，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.

【详解】

解：(板的展开式中二项式系数和为256

故2"=256，〃=8

8-r8-4r

要求展开式中的有理项，则厂=2,5,8

则二项式展开式中有理项系数之和为：C：+C；+C；=85

故选：A

【点睛】

考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.

12.D

【解析】

根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假.

【详解】

在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

56%X39.6%=22.176%>20%,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%,所以是正确的；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；

在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判断互联网

行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.5

【解析】

由。=(2,-1),b=(l,x),且11)，得a/=2—x=0,解得x=2,则加+》=2(2,-1)+(1,2)=(5,0),贝!!

\1a+b\=V52+02=5.

14.-1-2/

【解析】

利用复数的乘法运算求出z,再利用共辑复数的概念即可求解.

【详解】

由z=i(2+i)=2i—1=一1+27,

则1=-1-23

故答案为：一1—2i

【点睛】

本题考查了复数的四则运算以及共粗复数的概念，属于基础题.

15.（3,26）

【解析】

设出区C两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得3的坐标.

【详解】

设B（a,8）,C（c,0）,（a,0,c>0）,由于3在抛物线上，所以〃=4/由于三角形4BC是等腰直角三角形，AC1BA,

所以原c•原6£.三=T•由=得J(l—a)2+(2—4="+(1—)2,化为

山+(2-4=4+/-v可得(4—〃)，[16+(2+匕)[=64*16+(2+3],所以/一4=8,解得

4J(2+4

b=2E，则a=3.所以8（3,20）.

故答案为：（3,2百）

【点睛】

本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

16.U

5

【解析】

13（q+阳）

结合等差数列的前〃项和公式，可得?=粤=sit2C，求解即可•

U电13仅+%）6

2

【详解】

由题意,=I'"'+砧=13%，"="('+%)=134,

22

S,,3/1+5%_13%_S]3_3x13+5_11

因为广〃+7，所以百一画一年_13+7

1n

故答案为:，.

【点睛】

本题考查了等差数列的前八项和公式及等差中项的应用，考查了学生的计算求解能力,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

\7171\71\71

17.(1)增区间为[7万＞减区间为0,-；(2)y-l,+a)

【解析】

(1)将。=0代入函数y=/(x)的解析式，利用导数可得出函数y=/(x)的单调区间；

(2)求函数y=/(x)的导数，分类讨论a的范围，利用导数分析函数y=/(x)的单调性，求出函数,V=的最

值可判断7(x)20是否恒成立，可得实数。的取值范围.

【详解】

(1)当a=0时，/(x)=tanx-2x=-^^-2x|0<x<—

cosxI2J

口I“、cos2x+sin2x11—2cos2xcos2x

贝J/(x)=------o-------2=2=---------=-----—，

cos~Xcos~XcosXCOS~X

当0Wx<?时，cos2x>0,则/'(x)<0,此时，函数y=/(x)为减函数；

当7Vx<5时，cos2x<0,则/'(x)>0,此时，函数y=/(x)为增函数.

所以，函数卜=/(力的增区间为(7,5),减区间为0,()；

f].则/⑼=0,

(2)/(x)=tanx+tzsin2x-2x0<x<

/1x)=-——F2QCOS2X-2=-——F2tz(2cos2x-l)-2

')COS2XCOS2A：\)

4tzcos4x-(2tz+2)cos2x+1(2cos2x-l^(2acos2x-1)

—2—2

COSXCOSX

①当2aWl时，即当时，2acos2x-lS0，

2

由r(x)?0,得(Wxc],此时，函数y=/(x)为增函数;

由/'(x)W0,得OWxW?,此时，函数y=/(x)为减函数.

则/(无)min=/[)</⑼=°，不合乎题意；

②当2a>1时，即。>，时,

2

1

不妨设COS玉)=—r==,其中令r(x)=。，则或/.

yJ2a

TT

(i)当时，x0>—>

当OMx<?时，/'(x)>0,此时，函数.y=/(x)为增函数；

当？<x<x0时，/'(x)<0,此时，函数>=/(%)为减函数；

当Xo<x<］时，/'(x)>0,此时，函数y=/(x)为增函数.

此时/⑸向=啕以/⑼J(x。)｝，

2

］fn/(>\))=tanx0+tzsin2x0-2x0=tanx0(14-2tzcosx^-2x0=2(tanx0-x0),

构造函数g(x)=tanx-x,0<xv£,则短(工)=—L——1=tan2x>0,

2cosx

所以，函数g(x)=tanx-x在区间(0卷］上单调递增，贝||g(x)>g(0)=0,

即当时，tanx>x,所以，/3)=2(tan%-%)>0.

・••/(现血=〃°)=°，符合题意；

②当。=1时，/'(x)20,函数y=/(x)在0,5J上为增函数，

•■■/(^=/(0)=0«符合题意；

③当;<a<l时，同理可得函数y=/(x)在［0,%)上单调递增，在(X。,上单调递减，在?上单调递增,

此时/(x)min=而1/⑼,/闺｝,则/0=1+。一会2(),解得］―l《a<L

综上所述，实数。的取值范围是y-h+^.

【点睛】

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.

18.(1)见解析(2)上

7

【解析】

(1)根据中位线证明平面MNQII平面RS,即可证明MH〃平面A8P；(2)以。M,QC,QP为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接QM，

,：M,N,Q分别为8C,CD,AC的中点，

：.QMHAB,

又•.•QMz平面ABI平面

QM〃平面Q46,

同理，QN〃平面Q46,

•.•QMu平面MNQ,QNu平面MN。，QMp|QN=Q,

/•平面MNQ||平面PAB)

,•,MHu平面MNQ,

.••M"〃平面/IBP.

(2)连接PQ,在AABC■和AACO中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC'

由NABC与/ADC互补，AD=AB^CD=2,BC=4,可解得AC=2百,

于是BC2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMVAC,

ir

•：QM//AB,直线AB与直线MN所成角为一，

4

7F

：.ZQMN=-,又QM=QN=\,

4

TT

/.ZMQN=-,即QMLQN,

.•.QM_L平面APC,

，平面ABC_L平面APC,

•.•。为AC中点，PQ±AC,

：.PQJ•平面ABC,

如图所示，分别以QM,QC,QP为X,如二轴建立空间直角坐标系，则8（2,-百,0）,C（0,V3,0）,P（（）,（）』）,

PB=(2,-V3,-1),PC=(0,73,-1).

设平面PBC的法向量为n=（%y,z）,

n-PB=Q2x-6y-z=0

.y一，即〈二■.

n-PC=0[6y-z=0

令y=l,则x=&,z=J5,可得平面PBC的一个法向量为万=（百,1,6）.

又平面APC的一个法向量为比=（1,0,0）,

.___m-nV21

・・cos<m,n>=--------=-----,

|沅|・|万|7

二面角A-PC-B的余弦值为—.

7

【点睛】

此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.

19.（1）见解析；（H）2=

【解析】

试题分析：（1）取AO中点。，连结OROC,以。为原点，0C为x轴，OD为）'轴，0P为z轴，建立空间直角坐标

系,利用向量法能证明APBC为直角三角形；⑵设M（a,4c）,由篝=4（2式0,1]）,得M（疯,0,石一岳）,

求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量,，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.

试题解析：⑴取中点。，连结OROCAC,依题意可知A/>AD,A4CQ均为正三角形，所以OC，

又0Cc0P=0,0。（=平面/>0。,0。匚平面20。，

所以4），平面POC,

又PCu平面POC,所以AQJ.PC,

因为BC〃4),所以6CLPC,即ZPC5=90,

从而APBC为直角三角形.

(H)法一：由⑴可知P01AD,又平面PAD，平面ABCD,平面PAD0平面ABCD=AD,

POu平面PAD,所以PO1平面ABCD.

以。为原点，建立空间直角坐标系。-肛z如图所示，则

P(0,0,6),4(0,-1,0),0(0,1,0),C(百,0,0),定=(百,0-6)

由而=九斤=a(G,o,-百)可得点A/的坐标(⑶,o,6-6/1)

所以加=(百/LjG-g/Q,血=(百4—1,百一Gx),

n-AM=0

设平面M4£)的法向量为〃=(x,y,z),贝小

n-DM=Qf

6/lx+y+(6—6/l)z=0A-l

X—z

解得2

V32%-^+(V3-732)Z=0

y=0

令z=4,得〃=(/l-1,0,4),

显然平面PAD的一个法向量为OC=(73,0,0),

,一,\n-OC\73(2-1)275

依题意卜。5(〃,oc)=|=

1M\OC\次J+__])J2.65

解得2或4=7(舍去)，

3

所以，当力=■!■时，二面角P—AD—M的余弦值为毡.

35

法二：由⑴可知AO_L平面POC,所以AO,OM,AO_LOP,

所以NPOM为二面角P-AD—M的平面角,

即cosZPOM=

5

在APQM中，sinZPOM=—,PO=y/3,AOPM=-,

54

所以sinZPMO=sin/POM+?

•万✓r-)XA■a♦13。

sinZPOMcos—+cosZPOMsin—=-------

4410

PM_△

PMPO

由正弦定理可得即6一3晒

sin/POM-sinZPMO

510

解得

3

又PCudPCf+OC)，所以4=器

3?

所以，当2=!时，二面角P—AD—M的余弦值为毡.

35

IC

20.(1)选取y=c+二更合适；(2)y=5+—；(3)x=2时，煤气用量最小.

JT厂

【解析】

根据散点图的特点，可得v=c+4更适合；

(1)

X

先建立y关于⑷的回归方程，再得出)'关于x的回归方程;

(3)写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.

【详解】

(1)选取y=c+r更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型

x

(2)y=c+dw

10

.Z(叱-访)5-9)

由公式可得：d=上'-------------=7777=20,

/—\20.01

Z(吗-町

/=1

2=y一加=20.6-20x0.78=5,

所以所求回归直线方程为：f+生

(3)根据题意，设，=依，4>0,

则煤气用量5=*=依(5+方］=5依+迎22」5代•迎=20%,

X~JX\X

当且仅当5丘=上匕时，等号成立，

x

即x=2时，煤气用量最小.

【点睛】

此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.

21.(D减区间是(0,，］,