河北省张家口市蔚县2022年高考数学全真模拟密押卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

2.若则（）

1、1

A.—>-B.兄'「">1

mn

C.InGn-n）>0D.

22

3.某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A（l,0）作x轴的垂线与曲线

y=e”相交于点3,过3作>轴的垂线与）'轴相交于点C（如图），然后向矩形内投入用粒豆子，并统计出

这些豆子在曲线了=婷上方的有N粒（N<M）,则无理数e的估计值是（）

4.函数〃%）=＜：（«妥与8（力=1-左在［-6,8］上最多有/1个交点,交点分别为（x,y）（i=l....n）,则

£（七+%）=（）

f=l

A.7B.8C.9D.10

5.复数上的共扼复数对应的点位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知a,B是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，且au〃，a［\（3=b,贝U“a〃a”是“a//。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面

（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

A.1B.V2C.73D.272

8.已知双曲线，/*叱。八。）的左、右焦点分别为小匕点尸是C的右支上一点，连接班与y轴交于

息M,若由O|=2|OM|（。为坐标原点），PFJPF”则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±3xB.y=+>/3xC.y=i2xD.y=+\[lx

9.已知函数/(x)=lnx+ln(3-x),则()

A.函数f(x)在(0,3)上单调递增B.函数/(X)在(0,3)上单调递减

C.函数/(x)图像关于x=g对称D.函数/(幻图像关于对称

k

10.若关于X的不等式(！)45有正整数解，则实数％的最小值为()

A.9B.8C.7D.6

11.若a>b>0,0<c<l,则

ccab

A.Iogac<logbcB.Iogca<logcbC.a<bD.c>c

12.己知集合4=卜|沈,1},3=k|3'<1},则40仅8)=()

A.{x|x<0}B.{x|噫!k1)C.{x|-L,x<0}D.{x|x..-l)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，若tan4+tan3+tanAtan8=l,则cos?A+cos?3的范围为•

14.经过椭圆£+丁=1中心的直线与椭圆相交于M、N两点(点M在第一象限)，过点M作x轴的垂线，垂足为

点E.设直线NE与椭圆的另一个交点为P.则cosNNMP的值是.

15.定义在R上的函数“X)满足：①对任意的尤,yeR,都有f(x—y)=/(x)-〃y)；②当x<0时，〃x)>0,

则函数,f(x)的解析式可以是.

16.已知向量心5满足|利=2,旧|=3,且已知向量入5的夹角为60°,3—砂(6-y=0,贝！II臼的最小值是一.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)如图，设点F,(l,0)为椭圆七：二+二=1(。〉人>0)的右焦点，圆。：(工一。)2+〉2=。2,过工且斜率为

ab-

攵(Z>0)的直线/交圆。于A,8两点，交椭圆E于点P,。两点，已知当左=6时，AB=2瓜

(1)求椭圆E的方程.

(2)当「鸟=日时，求APQC的面积.

18.(12分)设抛物线C:[2=2px(p>0)过点(肛2j^)(加〉()).

(1)求抛物线C的方程；

(2)尸是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若丽==2^5,求IA8I的值.

19.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中，A3〃CD,A0=A5=,CD,ZDAB=60。，点旦产分别为CD,AP

2

的中点.

(1)证明：PC〃面BEF；

(2)若Q4LQD,且Q4=P£>,面240上面ABC。，求二面角R—BE—A的余弦值.

20.(12分)在直角坐标系，中，已知点P(l,0),若以线段PQ为直径的圆与y轴相切.

(1)求点。的轨迹C的方程；

⑵若C上存在两动点A,B(A,5在x轴异侧)满足砺.丽=32,且△RW的周长为2k回+2,求的值.

21.(12分)设函数/(x)=ax(2+cosx)-sinx,/(x)是函数f(x)的导数.

(1)若a=l,证明/'(X)在区间上没有零点;

(2)在xe(0,+8)上/(力>0恒成立，求a的取值范围.

22.(10分)已知/(x)=V3sinxcosx-cos2xeR.

(1)求函数的单调递增区间;

3

(2)AAHC的三个内角A、B、C所对边分别为。、b、c,若/(A)=—]且。=2,求面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

________________111115

执行该程序可得5=。+嗯+齐+及+才=布・

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

2.B

【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.

【详解】

若2，">2">1=2°,：.m>n>0,."一">/=1,故〃正确；

而当机=',"=1时，检验可得，A、C、。都不正确，

24

故选：B.

【点睛】

此题考查根据指数幕的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幕或对数的大小关系，需要熟练掌握指数

函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.

3.D

【解析】

利用定积分计算出矩形OABC中位于曲线V=，上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e的等式，

解出e的表达式即可.

【详解】

在函数y=e■'的解析式中，令x=l,可得y=e,则点直线8C的方程为V=e,

矩形OABC中位于曲线y=e'上方区域的面积为S=J(e-e*)公=(ex-e')|；=1,

0

矩形。钻C的面积为lxe=e,

N1M

由几何概型的概率公式得一=一，所以，e=一.

MeN

故选：D.

【点睛】

本题考查利用随机模拟的思想估算e的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域

的面积，考查计算能力，属于中等题.

4.C

【解析】

根据直线g(x)过定点(1,0),采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.

【详解】

由题可知：直线g(x)="-左过定点(1,0)

且,f(x)=cos管在［-6,8］是关于(1,0)对称

如图

通过图像可知：直线g(x)与“X)最多有9个交点

同时点(1,0)左、右边各四个交点关于(1,0)对称

9

所以Z(x，+y)=2x4+1=9

/=!

故选：c

【点睛】

本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数y=cosx的性质，属难题.

5.A

【解析】

1,Q1Q|

试题分析：由题意可得：六=士--i.共物复数为一+―i,故选A.

2-i5555

考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系

6.C

【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与a〃3的关系即可得到答案.

【详解】

若a〃a,根据线面平行的性质定理，可得a〃b；

若aHb,根据线面平行的判定定理，可得a〃a.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.

7.B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.

【详解】

正方体的面对角线长为2&，又水的体积是正方体体积的一半，

且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

即最大水面高度为0,故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.

8.C

【解析】

利用三角形A0M6与相似得|尸浦=2|P闾，结合双曲线的定义求得。，4c的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设耳(―c,0),或(c,0),

由忸a=2|QM|,八。"耳与APE尸相似，

所以|F0身|=忸局川=2八,即.用.=2|.明.，

又因为归国-归周=2a,

所以|P耳|=4a,|尸段=2a,

所以4c2=16/+4/，即/=5〃，b~=4a2>

所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

9.C

【解析】

3

依题意可得了(3-%)=/(%),即函数图像关于x对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；

2

【详解】

解：由/(3-x)=ln(3一%)+ln[3-(3-x)]=ln(3-x)+lnx=f(x),

3

-.f(3-x)=f(x)9所以函数图像关于Xu,对称，

又r*)=一—--=-_在(o,3上不单调.

故正确的只有C,

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.

10.A

【解析】

k

根据题意可将(工¥4_1转化为叱2网叱，令/'(无)=叱，利用导数，判断其单调性即可得到实数Z的最小值.

-27Xkx

【详解】

因为不等式有正整数解，所以1>0,于是转化为也2231n3,1=1显然不是不等式的解，当X>1时,

[x)-27]

,cZlnx…-一〜Inx3In3

lnx>0,所以-----231n3可变形为——>——.

xxk

令/（“）=¥，贝|」广（司=^^，

.••函数/（x）在（0,e）上单调递增，在（e,-8）上单调递减，而2<e<3,所以

当xeN*时，盘x=max{〃2）,〃3）}=¥，故野之乎，解得a9.

33K

故选：A.

【点睛】

本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在

考查学生的转化能力，属于中档题.

11.B

【解析】

试题分析：对于选项A,logac=-^-,logbc=-^1,vO<c<l,lgc<0,而所以lga>lg/?,但不

IgaIgb

能确定lga、lgA的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,1隼/=默,1呜力=芈，怛。>也。，两边同乘以

IgeIge

一个负数J一改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用y=x,在第一象限内是增函数即可得到相〉加，

所以C错误;对于选项D,利用y=c'在R上为减函数易得c“<cJ所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幕或对数值的大小,若塞的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

12.D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合5的补集，然后求AU（4§）

【详解】

A={x|-啜kl},B={x|x<0},所以A|J（M）={X|X..-1}.

故选：D

【点睛】

此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

f3V2'

（22J

【解析】

借助正切的和角公式可求得tan（A+B）=1,即A+8=?则cos?A+cos2B=cos2A+cos2-A]通过降幕扩角

公式和辅助角公式可化简等sin（2A+?）+l,由借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.

【详解】

“c4八f/4八、tanA+tanB,

tanA4-tanB+tanAtanB=1=>tan(A+5)=-------------=1,

1-tanAtanB

IT

所以A+8二，cos2A+cos2B

=—(sin2A+cos2A)+l=—sin2AH—+1.

22I4)

....（c乃、,7CcA乃3万.（A乃、]

因为Ac0,7，所以二<2A+7<：-=>sin2A+：£——,i

444I4）（2

..77（3叵

所以COS~A+COS~J?£—,---hI.

[22_

.f372/

故答案为：+l-

【点睛】

本题考查了三角函数的化简，重点考查学生的计算能力，难度一般.

14.0

【解析】

作出图形，设点/（小,%），则N（一不，一%）、石（%,0）,设点P（x”y）,利用点差法得出匕的•//「=—；，利用斜

率公式得出％NP=g&N，进而可得出4WMMP=T，可得出由此可求得cosNWP的值.

【详解】

设点”小,%）（%>0,%>0）,则N（-/，-%）、石（不，。），设点尸（西,乂），

2_2

-止0,即^^

2

%”"呆"黑2

=2T=2^=^kMN，■■~\=kMPkNP=kMp-

由斜率公式得2NP=&N£3kMN及MP9••=一1，故

MNIMP,

因此，cosZNMP=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

15./(x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一)

【解析】

由/(刀一丁卜”月—八月可得外力是奇函数，再由x<0时，/(x)>0可得到满足条件的奇函数非常多，属于开

放性试题.

【详解】

在/(x-y)=/(x)-/(y)中，令％=丁=0,得/(o)=。；令％=0,

则/㈠)=〃0)-W(y)，故〃x)是奇函数，由尤<0时,/(x)>o,

知/(》)=—或/(》)=—2x等，答案不唯一.

故答案为：〃x)=T(或/(x)=—2x,答案不唯一).

【点睛】

本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.

10.---------------

2

【解析】

求I可的最小值可以转化为求以43为直径的圆到点0的最小距离，由此即可得到本题答案.

【详解】

如图所示，设=月=瓦反=―

由题，得ZAOB=¥,|OX|=2,|OA|=3,SX=M—^C^=B—A,54=2X3XCOS60°=3,

3

又(G-为《5-守)=0,所以画_L而，则点C在以A5为直径的圆上，

取AB的中点为则。1=」(04+。月)，

2

设以A8为直径的圆与线段OM的交点为E,贝U属I的最小值是|瓦|,

因为|两，|=、l-(dA+OB)2=-y]oA+2OA-OB+OB=-x74+2x3+9=叵,

V4222

又AB=yJOA2+OB2-2OAOB-cos60"=^4+9-2x2x3x1=77,

所以I司的最小值是|诟|=OM—ME=0例—』48=叵二也

22

故答案为：巫产

【点睛】

本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现

了数形结合的数学思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)王+汇=1(2)—

989

【解析】

2a-闽/_1\2

(1)先求出圆心C(a,O)到直线/的距离为再根据A3=26得到6+1=/,解之即得a

的值，再根据c=i求出b的值得到椭圆的方程.⑵先求出0件到再求得“QC的面积

5=/.(凡一力)哼.

【详解】

(1)因为直线/过点6(1,0),且斜率％=百.

所以直线/的方程为y=G(x—l),即百x—y—JJ=0,

-百|

所以圆心C(a,0)到直线/的距离为d=j㈣2］，

又因为A8=2几，圆。的半径为。，

2

由“/ABYj22Hn3(o-l)2

所以+d—a,即6H——---—=a~»

I2)4

解之得，。=3或a=—9(舍去).

所以〃=/一，=8,

22

所以所示椭圆E的方程为上+上=1.

98

c1

(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为m：x=9,离心率e=—=二，

a3

10

则点P到右准线的距离为4=£%=?=10,

e±

3

22o

所以9f=10,即全=1,把/,=-1代入椭圆方程］+1_=1得，％=±三，

因为直线/的斜率攵＞0,

所以%=-,,.,./(一1,一|)

因为直线/经过6(1,0)和尸［-1,-|),

4

所以直线/的方程为y=§(x-l),

y=*T),

联立方程组<得3/—4%一7=0,

x2J21

—+—=1,

,98

7

解得x=T或x=].

所以。

所以APQC的面积S=—CF2-yP)=-x2xf-^+-J=-^.

【点睛】

本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和分析推理计算能力.

29

18.(1)y2=4%(2)-

2

【解析】

(1)代入(九2面)计算即可.

(2)设直线AB的方程为y=-x-1),再联立直线与抛物线的方程，消去x可得V的一元二次方程，再根据韦达定理与

砺=2而求解%，进而利用弦长公式求解即可.

【详解】

解：

(1)因为抛物线C:丁=2px(p>0)过点(见2右),所以4m=2pm,所以〃=2，抛物线的方程为y2=4x

(2)由题意知直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=%(x-1),A(x,网王,必).因为旃=2FA，所以

y=^(x-l).444,

%=—2乂，联立'，化简得人力4=。,所以,+%二-，所以一*=2,解得

女=±2Q，所以IA81=

【点睛】

本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.

19.(1)证明见解析(2)2叵

13

【解析】

(D根据题意，连接AC交8E于“，连接FH,利用三角形全等得用///PC,进而可得结论;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角尸-BE-A的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接AC交座于"，连接

-.'AB=CE,ZHAB=NHCE,ZBHA=Z.CHA,

:.MBH迫kCEH,

:.AH=CH旦FH/IPC,

切u面FBE,PC«面FBE,

:.PC//面FBE,

(2)取AD中点。，连P。，QB.由Q4=PD,：.PO±AD

,•1面PAD1面ABCD

.•.2。，面ABC。，又由NZMB=60，AD=AB

：.OB±AD

以OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

设AD=2,则41,0,0),5(0,73,0),£>(-1,0,0),P(0,0,l),E(；,0,g),

EB=DA.—(2,0,0)>BF——y/3,—),

I=(0,0,1)为面BEA的一个法向量，

设面FBE的法向量为后=(占,为，7)，

2xo=O

依题意，〈

-x0-y/3y0+—zn=0

令为=百，解得z<)=6，x0=0

所以，平面EBE的法向量区=(0,6,6),

6_2屈

C0S(〃],〃2

屈一13

又因二面角为锐角,

故二面角F-BE-A的余弦值为独9.

13

【点睛】

本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，

属于基础题.

20.(1)/=4%；(2),同=48

【解析】

(D设Q(x,y),则由题设条件可得J(x-+J/=2><U,化简后可得轨迹c的方程.

(2)设直线=,林+”,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简函.砺=32并求得〃=8,结合焦半径

公式及弦长公式可求〃?的值及|A8|的长.

【详解】

(1)设Q(x,y),则圆心的坐标为三一,。，

因为以线段为直径的圆与y轴相切,

所以+y

化简得C的方程为y2=4x.

⑵由题意设直线A3:x=〃?y+/z,

联立V=4%得V-4my-4n=0,

设A（x，yJ,B（x2,y2）（其中乂必<。）

所以乂+%=4m，％・%，且〃>0,

因为OA-OB=32，所以OA♦OB=x）x+y%=-■~~+X%=32,

916

n2—4n=32,所以（九―8）（〃+4）=0,故〃=8或〃=-4（舍），

直线AB:x=my+8,

因为AE48的周长为21ABi+2

所以|PA|+|冏+|A8|=2|明+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

2

因为|PA|+|PB|=玉+x2+2=m^y{+y2）+18=4/n+18.

又|AB|=\l\+m21y一%|=J1+/〃2•&4m丫+128=441+/叫（8+/叫,

所以4/〃2+18=4^（l+m2）（8+w2）+2,

解得m=+2\/2，

所以,耳=441+/叫（8+叫=4《+8乂8+8）=48.

【点睛】

本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立

方程组并消元得到关于x或）'的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系

中含有内马,%+々或+%，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.

21.（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出f\x）,再由函数/（X）的导数可知，

函数/'（x）在（一剂）上单调递增，在（0,?上单调递减，而/5>0,

可知/（幻>0在区间

7171

上恒成立,上没有零点

5'万

einVcinv

(2)由题意可将/(x)>0转化为依-一出"一〉0,构造函数尸(乃=依-———

2+cosx2+cosx

利用导数讨论研究其在XG(O,+8)上的单调性，由耳而>0,即可求出。的取值范围.

【详解】

(1)若a=l,则/(x)=x(2+cosx)-sinx,/'(x)=2—xsinx,

设〃(x)=/"(x)=2—xsinx,则//(x)=-sinx—xcosx,〃'(0)=0,

h'(-x)=sinx+xcosx=,故函数〃(x)是奇函数.

当时，sinx>0,xcosx>0,这时〃'(x)<0,

又函数"(x)是奇函数，所以当xwg。)时,"(x)>0.

《oj时，函数/'(x)单调递增；当xe(og时，函数/'(X)单调递减.

综上，当xe

2

H=2-f>。，/图=2->。，

又广

故尸(x)>0在区间上恒成立,上没有零点.

，、上，、SJsinx

(2)/(x)=(2+cosx)\ax---------,由cosxe[—l,l],所以2+cosx>0恒成立,

I2+cosx

口”、八rtsinx八、c~、sinx

若/(x)>。，贝!1分--------->0,设/(幻二办----------

2+cosx2+cosx

2cosx+12311V1

F\x)=a----------——CI---------H----------=3+a——

(24-COSX)2+cosX(2+cosx)22+cosx3>3

故当时，/(x)NO,又E(0)=0,所以当x〉0时，F(x)>0,满足