六下数学第一二单元教材解析

六年级下册第一二单元教材解析感谢区教研室丁老师给我们燕柳小学六年级数学团队这样一次跟大家交流分享的机会。我们负责六年级下册第一二单元《负数》和《百分数（二）》的教材分析。我们先来对六年级下册全册内容进行一个简单的分析：这是六下数学的目录，其中数与代数包括负数、百分数（二）和比例这三个单元，圆柱与圆锥属于图形与几何的内容、用数学解决问题结合百分数（二）、比例和圆柱与圆锥等单元的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。在数学思想方法方面，教材结合本学期五个单元的知识，让学生体会、理解和掌握归纳法、类比法、符号思想、分类思想、演绎推理思想、转化思想、数形结合思想、函数思想等思想方法外，还安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、实验、推理等活动，理解和掌握模型思想、归纳法、演绎推理思想。本册教学重点有百分数（二）、圆柱和圆锥、比例、整理和复习四个板块的系列内容。教学难点为圆柱和圆锥体积计算方法的推导、成正比例和反比例量的判断、解题策略的灵活运用。关于本册教材内容的具体分析老师们可以参照教师用书第1至8页，在此不做赘述。

接下来我们先分析第一单元《负数》。小学阶段教学负数有以下两方面的作用：一是对数系加以扩展，为中学学习有理数做准备；二是会用正、负数表示生活中相反意义的量，提高数学应用能力。本单元一共有3个例题，每个例题的教学内容如课件所示，通过例题教学达成以下教学目标：1、在熟悉的生活情境中初步认识负数，理解正、负数的意义，能正确地读、写正数和负数。2、使学生理解并掌握0既不是正数也不是负数的结论。知道数可以分为正数、0、负数，理解分类讨论思想。3、使学生初步掌握用数轴上的点表示正、负数的方法，体会数形结合思想。下面我们对每一个例题进行具体分析例1首先由温度预报引出生活中的负数，让学生初步认识负数，知道负数的读法；然后借助温度理解负数表示的含义；最后以温度引入负数，体会引入负数的必要性。在这里还要注意利用温度计，让学生直观地看到0℃就是零上温度与零下温度的分界点。例2则通过存折上的收支明细，让学生进一步体会用正数、负数可以表示两种相反意义的量。通过例1温度计得出0既不是正数，也不是负数的结论，0是正数和负数的分界点。最后让学生说说在哪些地方见过负数，有利于丰富对用正、负数表示相反意义的量的生活经验，感受负数在生活中的广泛应用。教材的课后练习中，第7页的第6题，学生习惯于几项收入加起来等于家庭总收入，几项支出（负号后面的钱数）加起来就是家庭的总支出总收入减去总支出就是这个月的余额。值得注意的是在计算余额时，使用的仍为小学阶段的思维（如减去1000元，而不是加上-1000元），但也可为第三学段学习有理数的运算做准备。

这一部分知识还有一些常见及有思维梯度的练习题。

例1：一个物体可以上下移动，如果规定向上移动为正，那么向上移动30cm应该记做（）cm，“-56cm”表示（）。

这部分内容不仅要求给出语言用符号表示，同样要求给出符号用语言去准确的描述。

例2：在直线上，距离0点5个单位长度的数是（）

这个练习题要求学生打破思维定势，真正的理解正负数的意义，让负数这个概念扎根在学生的心里。这个题对我们老师来说是再简单不过的了，但是学生没有充分的理解负数的意思并且建立起牢固的负数的意识之前，还是有一定难度的，这里不妨改一下数，距离10这个点5个单位长度的数是哪些？距离4这个点5个单位长度的数又有哪些呢？

例3：某食品包装袋上标有“质量：200±3g”，质检员抽检了6袋，请在合格产品下的括号里画“√”

205g201g196g203g199g204g

（）（）（）（）（）（）

此题±3的表示方式如果学生善于观察和发现的话，生活中食品包装袋上经常会有这样的标识。其难度不大，只要准确的理解符号的意义就可以。

例4：规定10t记为0t，11t记为+1t，则下列说法错误的是（）

A：8t记为-8tB：15t记为+5t

C：6t记为-4tD：+3t表示质量为13t

正负的方向没有明确的规定，如果向北为正，向南就为负，如果向南为正，向北就为负，但是我们一般按照习惯提前约定正负方向。同样，在0点我们也可以规定某一个数或者数量为0点，此题中就是规定10t为0t，那么10t以上记为正，10t以下记为负，这种方法是一种特殊的求平均数的方法。

例5：一个电器商场八月份的营业额为125万元，九月份比八月份营业额减少了25万元，比八月份负增长了（）%，可以记做增长了（）%

这个题中负增长是课本练习一的最后一个星号题，不难理解，计算起来也不难，它结合了六上百分数一求一个数比另一个数少百分之几的解决问题，只是需要向学生介绍负增长是一个什么样的概念。通过本单元的学习，小学阶段的数轴已经学习完毕，通过一步步的学习，数轴上有数不尽的数在层出不穷的进入学生的认知中，一年级的整数、三年级的小数、五年级的分数、以及六年级的负数，这些数都能在数轴上找到。在这里不妨和学生一起探讨下六上刚刚认识的圆周率π，它能在数轴上找到吗？让学生对数轴的认识更加的丰富，为将来学习有理数、直角坐标系等知识打下基础。

关于例3对应的教材习题，老师们要注意第6页第3题，通过多种素材使学生理解生活中具有相反意义的量。前两个小题都比较好理解并做对，难点在于如果确定了某个方向为正，那么相反的方向则用负数来表示。而且，正、符号后面数的大小是相对于“分界点”而言的，“分界点”的绝对值有时并非为0。第3小题中的200g就是这个分界点，这是学生难以理解的地方，教学时需要特别说明。有了第3题的铺垫，第2题就相对容易理解，并继续巩固，这里北京时间12时就是分界点，把它看作0时。这一部分常见及有思维梯度的练习题有：例1：比较大小（数轴从左向右依次变大）

正正正负负负0

3○3○

-3○-5-eq\f(5,4)○-eq\f(2,3)数的比较大小按照0为分界线的话，可以大致分成三大类，其中，最容易错的肯定是负数与负数的大小比较，如果两个负数相距较大还好，就怕这两个负数比较接近，就像题目中的这两个数一样，学生再比较的过程中，出错率会比较大。在数轴上我们都知道，自左向右依次变大，只要我们知道这两个数谁在数轴的右边，谁就大就可以了。我们可以借助-1来帮助分清楚左右。如果这个题中的-eq\f(5,4)-eq\f(3,4)呢，难度就会进一步加大。因为负数正好和正数相反，学生要先辨别四分之三和三分之二哪个大，前面加上负号的话原来大的那个数就小了，学生需要有一个理解和适应的过程。

例2：在直线上，，，，+这4个数表示的点离起点0最近的是（），离起点0最远的是（）

实际这个问题就是在问绝对值最小和最大，在这里正负号起的作用更大的是方向，去掉符号以后的数字就是距离O点的距离。虽然不直接告诉学生这些内容，但是在教学的过程中，适当性的去引导，过渡。值得强调的是，这四个数的设计是很有意思的，我们可以在数上下点功夫，提高学生的应变能力，为小升初夯实基础。

例3：某地白天最高温度是零上8℃，记做+8℃，夜间的最低温度比白天最高温度下降了10℃，夜间最低温度记做（）℃

温差实际就是在计算两个数的差，小学阶段虽然不直接学习负数的计算，但是在部分练习题中，已经把负数之间如何计算暗含其中，学生也有能力理解这部分内容，我们不妨做几个小游戏。4和-2之间的差是几呀？我们可以借助气温来帮助理解，也可以借助数轴来帮助我们理解。

例4：直线上A、B两点相距（）个长度单位

3②③4④

这个题是典型的利用数轴上的信息就可以解决问题。观察数轴找到答案要远远比通过计算找到答案简单得多。

例5：小强家在学校的东边300m处，记做+300m，现在他从家以每分钟60m的速度向西走，几分钟可以到达-120m处？

求时间首先得知道小强所走的路程，也就是求300与-120的差，我们可以利用前面的例题的方法来解决路程的问题。路程解决了，时间就好求了。

总之，这个单元的内容比较简单，有经验的老师很容易猜中考试的题型，但是，负数这部分知识是小学、初中重要的衔接和转折点，有很多学生进入中学以后数学学习感觉困难，很大程度上是因为小学阶段中的负数以及用字母表示数的学习比较局限，没有给学生形成系统的知识体系，一进入中学，知识突然一下子爆发性的增加，学生难以消化吸收。

第二单元百分数（二）共有4个基础知识点，分别为：折扣、成数、税率、利率，以上4部分都是根据六上学习完百分数（一）以后，具体的生活中的解决问题。课本例5是一个关于促销的例题，与学生的实际生活比较贴近。

在这里特别强调一下六上百分数（一）与六下百分数（二）在学习目标中的区别：

六上学习目标是百分数意义的理解、把分数相应数量关系迁移类推到百分数来解决一般性的百分数问题。六下的学习目标是理解四类特殊百分数的现实含义，除了掌握一般性的数量关系以外，更需要学生理解很多“数学之外”的知识来帮助学生解决生活中的实际问题。本单元的教学目标是：1、使学生理解折扣、成数、税率、利率的含义，知道它们在生活中的应用，会进行相关计算。2、使学生联系已有的知识和经验进行分析、比较、抽象、概括、归纳、推理等活动，提高解决有关百分数的实际问题的能力。3、使学生感受数学知识和方法的应用价值，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和信心。折扣的教学首先让学生明确打折的含义，即几折就表示十分之几，也就是百分之几十。是按原价的百分之几十出售。解决现实问题时，掌握原价×折扣=现价的数量关系，转化成单位“1”×对应分率=对应量的百分数问题自行解决。相应的教材习题中，练习二第3题属于“已知比一个数少百分之几的数是多少求这个数”的问题，明确数量关系，找准对应关系，元对应原价的（1-80%）。成数的原始出处（表示农业收成的增减）及延伸用途（表示各行各业的发展变化情况）。它的实际含义与折扣中的几折表示原价的十分之几类似，几成表示十分之几。涉及成数的实际问题一般是以“增加几成”“减少几成”的形式呈现的，引导学生将问题转化为“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”。关于成数的练习，课本二第4、5题分别可以转化为“求比多30%的数是多少”和“已知比一个数多30%的数是，求这个数”的百分数问题。这一部分常见及有思维梯度的练习题有：例1：（1）一件上衣按原价的60%销售，也就是打（）折销售，现价比原价便宜（）%。

（2）今年的小麦产量比去年增产三成五，意思是今年的小麦产量比去年增加了（）%，即今年的小麦产量相当于去年的（）%

上面两个题比较基础，不再赘述。

例2：（1）一架飞机模型，原价200元，商场促销八折销售，现价多少钱？

（2）一架飞机模型，原价200元，商场促销价是160元，商场促销打几折？

（3）一架飞机模型，商场搞促销八折出售，售价160元，原价多少钱？

按照以前的分类方式，本学期百分数（二）仍然可以分成以上三类，分别是求单位“1”、对应分率、对应量。在折扣、成数的教学中通过这样的练习题与之前的知识联系在一起。这都是最基本的知识。

例3：（1）张叔叔到家电商场购买热水器，如果按九折购买需要花1125元，那么按八折购买，需要花多少钱？

（2）一件家具按标价4800元出售，可盈利20%，如果按标价打八折出售，还赚钱吗？为什么？

在折扣问题中，会出现很多学生不熟悉易混淆的名称，比如标价、盈利、定价、成本等等，这些价格在不同的题型中起到不同的作用，需要和学生细细分析。理清楚它们之间的关系是重中之重。像第二题中的标价4800元，盈利20%都需要和学生进行沟通，让学生熟悉买卖过程中的这些名词，关键是分析清楚谁是单位“1”，谁又是对应量才行。题目弄明白了，都是纸老虎而已。

例4：一件180元的衣服打九折出售，小红的妈妈因为有商场的贵宾卡，在打折的基础上又享受了八折的优惠，小红的妈妈买这件衣服花了多少钱？

折中折问题在实际生活中也经常出现，学生需要理解到折中折实际到底打了几折这个层面，如果可以理解到这个层面，对很多问题的解决会有很大的帮助，后面还有关于折中折问题的设计。

例5：某商品的售价是按进价提高四成定价的，打出“九折优惠酬宾”的广告后，每件商品仍可获利390元，这种商品的进价是多少元？

解决这个问题不妨把进价设为单位“1”，定价就是，九折以后就是×=，获利的部分就是=，,390和对应，这样直接可以求出进价。与之前学习的内容是对应在一起的。

例6：（1）一种毛衣受季节的影响准备打折出售，如果按标价的七五折出售，每件将赔30元，如果按九折出售，每件可赚30元，这件毛衣的标价是多少元？成本价呢？

（2）买一辆汽车，分期付款要加价7%，如果现金支付可打九五折。李叔叔算了算，发现分期付款比现金支付要多付7200元。这辆车的原价是多少元？

其实上学期这两个问题经常出现在一些拓展题中，应该是买房贷款和一次性付清的问题。我们还是应该让学生去找对应，只要建立好对应，这个题只是情景看似比较复杂的一般百分数应用题而已。第一个的对应是多少，第二个的对应是多少。

例7：白云服装店以每套110元的价格进了50套春装。以每套180元的价格卖出60%后，因为天气变化，全部五折出售，并售完。这批春装的额外的成本费用约800元，请你算一算，店家最后有没有亏本？

个别的练习册中会出现这样的比较复杂的应用题，我认为还是分步计算，弄清楚每一步求的是什么，按照实际生活把这个题演绎一遍就差不多了。每套110元进了50套，一共花了5500元，卖出60%就是卖了30套，一套180元一共卖了5400元，剩下的20套五折单价就是55元，一共卖了1100元，这样一共是卖了6500元，去除掉成本一共赚了200元。

税率首先让学生明确纳税的含义及税收的意义，将税率问题转化为百分数解决问题是教学的关键点。解决问题时学生最困难的是对于税种、应税额（一个数）及税率（百分之几）的确定，所以教学这部分内容时教师应关注学生认真审题。比如课本第10页的做一做，明确这一问题中的“一个数”指的是哪一部分应税额，“百分之几”指的是哪个税率。题中的应税额是月工资扣除3500元所剩余的部分而不是所有的工资。课本第14页第6、7、8、10题是关于税率的对应练习。第6题中的审稿费和第10题中的劳务费用，收入的性质不同，计税的基数（即应税额）是不同的。第10题的应税额是2200元。第11题为折扣和纳税的综合问题，旨在提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。这一部分常见及有思维梯度的练习题有：例1：爸爸买了一只售价是7500元的手表，还需要支付售价20%的消费税，爸爸为此支付的消费税多少元？

税率这一块比较麻烦的就是各种税的名称（消费税、增值税、营业税、个人所得税、契税、城建税……）问题一般都比较简单，但是这个税在叙述的过程中往往比较繁琐，比如下面这个题。

例2：某城市中的酒店除了要按营业税中应纳税的部分的3%缴纳增值税外，还要按增值税的7%缴纳城建税。如果一个酒店营业额中应纳税的部分是150万元，那么这两种税各应缴纳多少钱？

如果单纯求增值税还好说，城建税是按照增值税的7%加收的，这些名词对于学生来说比较陌生，在教学中，这些各种税的名字还是应该给孩子适当的介绍一下，告诉学生不要害怕复杂的文字说明，一般情况下，复杂的文字背后就是一道简单题型。

例3：农村合作医疗规定在县级医院的起付线为800元，起付线以上的部分按55%报销，王大爷在县医院的住院费是3800元，他自己需要花多少钱？

住院报销是经常见的题型，这里面涉及到起付线，也就是分段计费，与五年级上学期的出租车分段计费问题联系在一起。难点就在起付线上。3800元首先减掉800元，能够符合报销的是3000元，其中55%报销，剩下的45%是自己支付的费用，可以有两种方式，45%×3000+800，或者用3800减去55%×3000，在这里一定会有学生算不明白。

例4：下面是我国税法2022年9月1日起施行对工资所得征收个人所得税的规定：

2022年5月份，赵工程师的工资是9000元，他这个月实际领到手的工资是多少钱？

找这个题的原因是因为去年五年级的期末考试卷，其中最后一个分段计费出错比较多，出错就在9000直接×20%了，学生对于分段计费的理解还是不够深刻，这样一来直接5分就全没了，我们应该避免这个情况的发生。这里的9000元是有陷阱的，需要仔细的观察题才能发现，9000应该先减去3500，剩下的就是5500元，这5500元是在缴税的范围内，然后再分析5500在所属哪一栏下面，。。。

现如今学校和家长注重学生财商的培养，适逢春节把压岁钱存入银行，让学生了解储蓄的意义，同时明确本金、利息、利率以及三者之间的数量关系。利率是一个与存期直接相关的概念，与存期有对应性。同时注意三个变量：利率、存期、本金。尽管现代经济生活日益灵活，各种储蓄、理财方式层出不穷，但其收益的基本计算模式是不变的。课本练习二第12题，难点在于第二种方式是1年到期后连本带息取出后再存入，第一年利息为1×4%×1（即万元），第二年的本金就变成了万元，本金多了，相同存期和利率时，利息也会多。这一部分常见及有思维梯度的练习题有：例1：妈妈把8万元存入银行，定期五年，年利率是%，到期后可得利息是多少？连本带息共多少？

关于利率例1是常考常见的题型，在这种类型的题目中，容易错的地方就是忘记乘存期。

例2：小鹏把2400元存入银行，存期半年，年利率是%，到期可得到利息多少元？

这个题的特点是，不够一年的求利息的题也应该在平时有所涉及，半年×eq\f(1,2)，6个月就是×eq\f(6,12)。

例3：王阿姨将30000元存入银行，年利率为%，到期时得到利息2475元，你知道王阿姨将这些钱存了几年吗？

除了直接出利息或者本息的题型以外，也可以反着求利率或者存期，这个题的解法可以直接根据公式进行推导，也可以先求一年的利息，再用2475除以就可以了。

例4：2022年6月:2日，奶奶把20000元存入银行三年，有两种存款方案。

哪种方案存款合算？很多习题集的最后一个题都是类似这样计算量比较大的题型，希望通过这个题能够让学生明白两点，一个是通过自己的计算发现，还是按照三年期的利率存最合适，第二个是希望学生了解到本金20000在这里可以不用这个条件，直接研究利息的分率就可以，三年期的分率就是%×3=%，但是一年一年存的利息求解起来比较麻烦，（1+%）的3次方-1≈%

本单元最后一个例题是解决实际问题——促销。学生通过计算解决完例题后，教师可以追问“不计算，知道哪个商场的折扣多吗？”、“在B商场，相当于打了几折？”“什么时候两个商场折扣差别最小？什么时候差别最大？”在追问中让学生进一步加深对两种不同促销方式的理解，体会数学知识在生活中的价值，发展学生的数学核心素养。课本练习二第13、14题是例