几道圆锥曲线高考模拟试题的背景探究与拓广（广州六中吴林）20220806

几道圆锥曲线高考试题的背景探究与拓广吴林（广州市第六中学）纵观近几年各地高考题，不少试卷都会选择用圆锥曲线相关内容命制压轴题，通过对高考题的研究，笔者发现不少高考题都是以课本的习题为素材，通过变形、延伸和拓展来命制的.课本是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据，理应成为高考试题的源头，因此我们平时教学中应该加强对典型习题的探究，教会学生识别相关模型，理解问题的本质，达到通过做几道题，解决一类题的目的.本文对此作出探讨，请广大同仁批评指正.ylMSAylMSATBOx题1、（2022年福建卷理科19题）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)略；（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.题2、（2022年陕西卷理科20题）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1）求的值；(答案：2,1)DAMNOByx（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.DAMNOByx题3、（2022年山东卷文科21题）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．（Ｉ）求椭圆的方程；(答案:)（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；（ii）略.二、背景的探究上述三道高考试题都涉及到“椭圆上任意一点与椭圆上关于原点对称两点的连线斜率之积”的问题，笔者认为这三道题是以课本（人教A版数学《选修2－1》，下同）P41的例题3为基础素材编制而成的.xyMO题4、如图，设点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.xyMO对此题进行拓展延伸，我们不难得到以下结论（相关证明略）：结论1:设点的坐标分别为(-a,0),(a,0).直线相交于点，且它们的斜率之积是(a>b>0)，则点的轨迹方程为.结论2:若点是椭圆(a>b>0)上不同于左、右顶点的任意一点，则点M与椭圆的左、右顶点连成的直线的斜率之积为定值.利用结论2，我们很容易就可以解答题1：设直线AT的斜率为k，由结论2可知，=，所以，而直线SM与BT垂直，从而，由直线AT可求出S点的坐标为，所以.若O、M、S三点共线，则，所以.结论3:已知椭圆（m>0,n>0）上不同两点，是不同于P,Q的任意一点，如果直线PM和QM的斜率存在，则.利用此结论，易得题2和题3的解答：题2的解答：由结论3可知,,又,设直线PA的斜率为k,则直线PA和QA的斜率分别为和，则直线PB为：，直线QA为：，联立求得点Q的横坐标为,代入抛物线方程得，故直线l为：.题3的解答：设直线AB的斜率为k，则直线AD的斜率为，由结论3可知：，所以，设，，则直线BD为：，求得点，考虑到，所以点，从而，所以.三、问题的拓广将上述问题从椭圆拓展延伸到双曲线中，可以得到类似的性质：结论4:设点的坐标分别为(-a,0),(a,0).直线相交于点，且它们的斜率之积是(a>b>0)，则点的轨迹方程为.结论5:点是双曲线(a>b>0)上不同于左、右顶点的任意一点，则点M与左、右顶点连成直线的斜率之积为定值.应用此结论，不难解出以下两道高考试题：题5、（2022年广东卷理科20题）已知双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)略.略解：设直线A1P与A2Q交点M，则由结论5可知，，又，，所以，，由结论1可知，点M的轨迹E的方程为题6、（2022年辽宁理科20题）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;(II)略.根据题4,同理解出此题：点M的轨迹是双曲线（在第三象限的部分）.题5的标准答案的思路：设点P的坐标，写出直线方程：，，两式相乘，利用消去参数.这种方法称为“交轨法”，其本质是对结论2的证明.在平时的教学中，我们多在这类典型例题上下功夫，让学生识别图形、理解问题的本质，这样学生在新的情景下，才能将所学方法应用到新问题中，减少运算量和思维量.事实上，因为圆、椭圆和双曲线都是有中心的二次曲线，所以我们对上述问题进一步拓展延伸，可以得到如下结论[1]：结论6：直线l和曲线相切于点P，O为曲线的中对称中心，若和存在，则.证明:设切点P,则,而,从而得证.结论7：直线l和曲线相交A、B两点，M为弦AB的中点，O为曲线的中对称中心，若和存在，则.以椭圆为例证明：如图，由结论3可知，。结论8：若点P为曲线外一点，过该点作PA、PB分别切曲线于点A、B，若和存在，则，且直线OP平分弦AB.证明：切点弦AB所在的直线方程为：，显然，设线段AB的中点为M，则由结论7可知，所以O、P、M三点共线，所以，OP平分弦AB.教材中有不少题目，如果我们对其进行挖掘、延伸、转化和拓广，就会得到一些综合性强，符合高考命题精神的新命题，这样不仅能激发学生的兴趣，而且符合高考题源于课本、高于课本的命题思想，同时能引导学生跳出“题海”，回归课本，重视教材.这种寻找背景、探究拓展的过程，令人兴趣盎然，也是学好数学的正确途径。数学教学的本质是学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，使自己得到全面发展的过程[2]。对问题的探究拓广是习题教学中常见的有效的手段，在教学中，我们应该通过启发、鼓励学生自己发现问题的规律、内在的联系、识别图形模式、掌握代数运算中反应的本质问题，使学生真正地将方法内化，将问题形成串，结成网，以促进学生知识的系统化、结构化、综合化和应用化，从而真正提高学生的数学能力与数学素养.参考文献:[1]陈国伟,蔡小雄.改进：为了追求问题本质的习题教学.中学数学教学参考:上旬,2022(11):51-52.[2]何小亚.数学教与学的心理学.华南理工大学出版社.(145).注：本文是广州市教育科学“十二五”规划2022年度课题“同课异构对高中青年数学教师教学目标编制及教学内容重组能力影响的研究”的研究成果。课题编号：2022C014。吴林广州市第六